多元函数微分法及其应用

1、第九章 多元函数微分学§9.1多元函数的基本概念一、教学目的、要求：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义；2、理解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质，会求简单的二元函数的极限问题；3、通过与一元函数相应概念的比较，培养学生分析与解决问题的能力。二、教学的重点和难点：（一）教学的重点：二元函数的极限与连续性。（二）教学的难点：二元函数的极限问题。三、教学的内容：（一）、平面点集和n维空间1、平面点集的相关概念（1）平面点集：坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为平面点集, 记作 E=(x, y)| (x, y)具有性质P（2）邻域：设P0(x0,

2、y0)是xOy平面上的一个点，d是某一正数。与点P0(x0, y0)距离小于d的点P (x, y)的全体，称为点P0的d邻域，记为U(P0,d)，即 或注：邻域的几何意义：U (P0, d)表示xOy平面上以点P0(x0, y0)为中心、d >0为半径的圆的内部的点P (x, y)的全体。 点P0的去心d邻域，记作，即。（3）点与点集之间的关系：任意一点PÎR2与任意一个点集EÌR2之间必有以下三种关系中的一种： (a)内点:如果存在点P的某一邻域U(P),使得U(P)ÌE,则称P为E的内点； (b)外点：如果存在点P的某个邻域U(P)，使得U(P)

3、9;E=Æ，则称P为E的外点； (c)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点为E的边点。E的边界点的全体，称为E的边界，记作¶E。注：E的内点必属于E,E的外点必定不属于E, 而E的边界点可能属于E,也可能不属于E。（4）聚点：如果对于任意给定的d>0，点P的去心邻域内总有E中的点，则称P是E的聚点。 由聚点的定义可知，点集E的聚点P本身，可以属于E，也可能不属于E。（5）开集：如果点集E 的点都是内点，则称E为开集。 （6）闭集：如果点集的余集E c为开集，则称E为闭集。（7）连通性：如果点集E内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线

4、上的点都属于E，则称E为连通集。 （8）区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域。 （9）闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。 （10）有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得EÌU(O, r), 其中O是坐标原点，则称E为有界点集。（11）无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集。2、n维空间定义1：设n为取定的一个自然数，n元有序数组的全体，即 称为n维空间。称为n维空间Rn中的一个点，xi称为该点的第i个坐标。当n =1, 2, 3时，n维空间R n分别是我们熟悉的数轴、平面及三维空间。n维空间Rn中两点与的距离规定为 注：在n维空间R

5、n中定义了距离后，平面中邻域、区域及关于点集E的内点、边界点、聚点等概念均可类似地推广到n维空间Rn的点集上去。（二）、多元函数的定义例1.圆柱体的体积V 和它的底半径r、高h之间具有关系V =pr2h。这里，当r、h在集合(r,h)|r>0, h>0内取定一对值(r,h)时，V对应的值就随之确定。 例2.一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系，其中R为常数。这里，当V、T在集合(V ,T)|V>0, T>0内取定一对值(V, T)时， p的对应值就随之确定。定义2：设D为平面上的一个非空点集。如果对于D中每一点P(x,y)，按照法则f，总有唯一确定的

6、实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，记为z=f(x,y)，(x,y)ÎD或z=f(P)，PÎD点集D称为函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量。注：（1）在定义2中，D中每一点(x, y)对应的实数z称为f在点(x, y)的函数值；数集R =D称为该函数的值域；点集S =D称为二元函数的图形。(2) 关于二元函数的定义域，我们作如下约定: 如果该函数采用解析式表示，而没明确指出定义域，则该函数的定义域理解为使这个解析式有意义的那些点所组成的点集, 这种点集也称为该函数的自然定义域。例3.求函数的定义域。定义3：设D是n维空间R的非空子集。如果对于D中每一点，按照某

7、一法则f总有唯一确定的实数y与之对应，则称f是定义在D上的n元函数。记作y=f(x1,x2 ,.,xn),(x1,x2 ,.,xn)ÎD，或y=f(P),P ÎD。点集D称为函数的定义域, x1, x2 ,.,xn称为自变量，z称为因变量。在定义中, D中的点P(x1, x2 ,.,xn) 唯一确定的数y称为f在点P的函数值。值域和n元函数的图形也可类似地定义。（三）、多元函数的极限与连续1、多元函数的极限定义4：设二元函数z=f(x,y)的定义域为D，P0 (x0,y0)是D的聚点。如果对任意给定的正数e，总存在正数d，使得对任意点D Ç(P0,d)时，即当0&

8、lt;|P-P0| =<d时,总有成立，则称常数A为函数z=f(x,y)当(x,y)®(x0,y0)时的极限。记作或注：（1）二元函数的极限又叫做二重极限；(2)二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无限接近于A；(3)如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，则函数的极限不存在。例4.求极限。例5.求下列各极限（1） ；（2）例6.设函数, 证明：当时，函数的极限不存在。二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数w=f(P)上去。定义4*：设n元函数w=f (P)的定义域为D，P0() 是D的聚点。如果对任意给定的正数e，总存在正数d，使得当点P(x1, x

9、2,xn)ÎD Ç(P0,d)时，即当0<|P-P0| =<d时, 总有|f (P)-A| <e成立，则称常数A为函数w=f(P)当P® P0时的极限。记作或f(P)®A。2、多元函数的连续性定义5：设n元函数w=f (P)的定义域为D，P0ÎD且P0是D的聚点。如果 =f (P0)，则称函数f (P) 在点P0连续。特别,对于二元函数来说，如果，则在点连续。例7.（补）设f(x,y)=sinx, 证明f(x, y)是R2上的连续函数。定义6：设函数f(x, y)的定义域为D，P0(x0, y0)是D的聚点。如果函数f(x,

10、y)在点P0(x0, y0)不连续，则称P0(x0, y0)为函数f(x, y)的间断点。注：根据定义，若函数f(P)的定义域的聚点P0 是该函数的间断点，则必属于下列三种情形之一：（1）f(P)在点P0无定义；（2）f(P)在点P0有定义但极限不存在；（3）f(P)在点P0有定义且存在，但¹ f (P0)。例如，直线上的任何一点都是函数的间断点。定理1：多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数。定理2：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。注：所谓的多元初等函数与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示

11、的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的。例8.求极限。3、多元连续函数的性质性质1（有界性定理）如果多元函数f (P)在有界闭区域D上连续，则该函数在D上有界，即存在常数M>0使得对于任意PÎD，都有|f(P)|£M。性质2（最大值与最小值定理）如果多元函数f(P)在有界闭区域D上连续，则该函数在D上取得它的最大值和最小值，即存在D上点和使得和分别为函数的最大值和最小值。性质3（介值定理）如果多元函数f (P)在有界闭区域D上连续，则该函数在D上必取得介于最大值M和最小值m之间的任何值，对于任何c: m &

12、#163; c £ M ，存在P0 ÎD 使得f(P0)=c 。§9.2 偏导数一、教学目的、要求：1、理解多元函数偏导数的概念；掌握多元函数偏导数的求法；2、了解高阶偏导数的求法；3、培养学生利用所学的知识解决问题的能力。二、教学的重点和难点：（一）教学的重点：偏导数的概念和求法。（二）教学的难点：高阶偏导数的求法。三、教学的内容：（一）、多元函数偏导数的概念1、偏导数的定义对于二元函数z=f(x, y)，如果只有自变量x 变化, 而自变量y固定，这时它就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数z=f(x, y)对于x的偏导数。定义1：设函数z=f(x,

13、 y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Dx时，相应地函数有增量f(x0+Dx, y0)-f(x0, y0)。如果极限 存在，则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数，记作，或例如。类似地，函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y 的偏导数定义为，记作 ，或fy(x0, y0)。注：（1）偏导函数指的是如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x, y)对自变量的偏导函数，记作，或。偏导函数的定义式：类似地，可定义函数z=f(x, y)

14、对y的偏导函数，记为，zy ，或。偏导函数的定义式：。（2）求时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求时，只要把x暂时看作常量而对y求导数。（3）偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子分母之商。（4）偏导数的概念还可推广到二元以上的函数。例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为 其中(x,y,z)是函数u=f(x,y,z)的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题。一般地，如果n元函数在点P的邻域有定义，则它关于第个自变量的偏导数定义为。例1.求在点处的偏导数。 例2.（补）求z=x2sin 2y的偏导数。. 例3.设，求证：。例4.已知理想气体的状

15、态方程（为常量），求证：。2、偏导数的几何意义二元函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的偏导数的几何意义： fx(x0, y0)=f(x, y0)x¢是截线z=f(x, y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率。 fy(x0, y0) =f(x0, y)y¢是截线z=f(x0, y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率。 3、偏导数与连续性 对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。例如 在点(0,0)有fx(0,0)=0, fy(0,0)=0, 但函数在点(0,0)并不连续。（二）、高阶偏导数定义2：设函数在区域D内具有偏导数，那么，在D内与都是和

16、的函数。如果它们的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数。由于对变量求导的次序不同，函数的二阶偏导数有如下四个： , ， , 其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数。同样，对二阶偏导数继续求对和偏导数（如果它们存在），可得三阶偏导数。二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。例5.设，求,。定理1 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续，则在该区域内，这两个二阶混合偏导数必相等。例6.设，验证 。§9.3 全微分一、教学目的、要求：1、理解全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件；2、了解全微分在近似计算上的应用；3、培养学生的相应的运算能力。二、教学的重点和难点：

17、（一）教学的重点：全微分的概念及计算。（二）教学的难点：全微分存在的条件。三、教学的内容：（一）、全微分的定义1、全微分的概念根据一元函数微分学中增量与微分的关系，有偏增量与偏微分：f(x+Dx, y)-f(x, y)»fx(x, y)Dx, f(x+Dx, y)-f(x, y)为函数对x的偏增量，f x(x, y)Dx为函数对x的偏微分；f(x, y+Dy)-f(x, y)»fy(x, y)Dy，f(x, y+Dy)-f(x, y)为函数)对y的偏增量，f y(x, y)Dy为函数对y的偏微分。 全增量：Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)。计算全增量比较复

18、杂，我们希望用Dx、Dy的线性函数来近似代替之。 定义1：如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y) 可表示为，其中A、B不依赖于Dx、Dy 而仅与x、y 有关，则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分，而称ADx+BDy为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分，记作dz，即dz=ADx+BDy。 注：（1）如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微分。（2）可微与连续：可微必连续，但偏导数存在不一定连续。（3）可类似地给出n元函数的全微分定义例1.求 z=x2+3xy+y 4 在点（1，2）的全微分。

19、例2.求 的全微分。2、全微分平的充要条件定理1(必要条件) 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分，则函数在该点的偏导数、必定存在，且函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为 。注：偏导数、存在是可微分的必要条件，但不是充分条件。例如函数在点(0,0)处虽然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0，但函数在(0,0)不可微分。定理2(充分条件) 如果函数z=f(x, y)的偏导数、在点(x, y)连续, 则函数在该点可微分。综合以上两个定理可知，多元函数的连续性、偏导数存在、可微、偏导数连续有如下关系： 偏导数存在 偏导数连续 可微 函数连续 （二）、全微分在近似计

20、算中的应用当二元函数z=f(x, y)在点P(x, y)的两个偏导数f x (x, y)，f y (x, y)连续,，并且|Dx|，|Dy|都较小时，有近似等式Dz »dz=f x(x,y)Dx+f y (x,y)Dy 即f(x+Dx,y+Dy)»f(x,y)+f x(x,y)Dx+f y (x,y)Dy 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算。例3.计算的近似值。例4.对一大水管表面进行油漆，需求其侧面积，即一圆柱体的侧面积。测量圆柱体底半径和高分别为20cm和 500cm，可能产生的最大误差分别为0.1cm和1.5cm。试估计因测量而引起该测面积的绝对误差和相对误

21、差。§9.4-9.5 多元复合函数与隐函数的求导法一、教学目的、要求：1、理解掌握多元复合函数的求导法则，会用此法则求多元复合函数的（偏）导数；了解全微分形式的不变性；2、掌握隐函数的求导法则；3、培养学生归纳总结和综合应用的能力。二、教学的重点和难点：（一）教学的重点：多元复合函数的求导法则。（二）教学的难点：隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。三、教学的内容：（一）、求导的链式法则1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形设z=f(u,v)，而u=j(t)，v=y(t)，如何求？ 设z=f(u,v)，而u=j(x,y)，v=y(x,y)，如何求和？定理1 如果函数u=j(t

22、)及v=y(t)都在点t可导，函数z=f(u,v)在对应点(u, v)具有连续偏导数，则复合函数z=fj(t)，y(t)在点t可导，且有 注：上述定理可推广：设z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 则z=fj(t), y(t), w(t)对t 的导数为： 上述称为全导数。例1.设z=sinuv，求全导数。2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u=j(x,y)，v=y(x, y)都在点(x, y)具有对x及y的偏导数，函数z=f(u, v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z=f j(x, y),y(x, y)在点(x,y)的两

23、个偏导数存在，且有 , 注：推广：设z=f(u,v,w)，u=j(x,y)，v=y(x,y)，w=w(x,y)，则 , 例2.设，求。例3.设的所有二阶偏导数都连续，证明：，这里。3、复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u=j(x, y)在点(x, y)具有对x及对y的偏导数，函数v=y(y)在点y可导，函数z=f(u,v)在对应点(u, v)具有连续偏导数，则复合函数z=fj(x, y), y(y)在点(x, y)的两个偏导数存在，且有 , 例4.设z=eusinv,u=xy,v=x2。求和。例5.（补）设w=f(x+y+z, xyz), f具有二阶连续偏导数

24、，求及。（二）、全微分形式的不变性设z=f(u, v)具有连续偏导数，则有全微分。如果z=f(u, v)具有连续偏导数，而u=j(x, y)，v=y(x, y)也具有连续偏导数，则 . 由此可见，无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的。这个性质叫做全微分形式不变性。例6.设，的所有偏导数连续，求 、。（三）、隐函数的微分法定理1（隐函数存在定理1）设函数F(x, y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数，F(x0,y0)=0, Fy(x0,y0)¹0，则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的

25、函数y=f(x)，它满足条件y0=f(x0)，并有。注：利用上式可方便地计算隐函数的导数。果的二阶偏导数连续，那么，我们又可求得隐函数的二阶导数。 例7.方程所确定隐函数的一阶与二阶导数。定理2（隐函数存在定理2）设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，F(x0,y0,z0)=0, Fz(x0,y0,z0)¹0 , 则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)，满足条件z0=f(x0,y0)，有, 。例8.由方程所确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数，。§9.6

26、 多元函数微分学的几何应用一、教学目的、要求：1、了解偏导数在几何上的应用；2、掌握曲线的切线方程和曲面的切平面方程的求法。二、教学的重点和难点：（一）教学的重点：线的切线方程和曲面的切平面方程的求法。（二）教学的难点：综合应用所学的知识求曲线一般方程的切线方程。三、教学的内容：（一）、空间曲线的切线与法平面1、设空间曲线G的参数方程为 x=j(t)，y=y(t)，z=w(t)这里假定j(t)，y(t)，w(t)都在a, b上可导。（1）曲线的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量。向量 T=(j¢(t0)，y¢(t0)，w¢(t0)就是曲线G在点M0处的一个切向

27、量。（2）法平面：通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线G在点M0 处的法平面，其法平面方程为 j¢(t0)(x-x0)+y¢(t0)(y-y0)+w¢(t0)(z-z0)=0例1.求螺旋线在处的切线方程与法平面方程。2、设空间曲线的方程为，取x为参数，则上述方程可转化为以x为参数的参数方程：。 若函数、在处可导，则曲线在点处的切线方程及法平面方程分别为： 和。（二）、曲面的切平面与法线设曲面S的方程为F(x，y，z)=0，M0(x0，y0，z0)是曲面S上的一点，并设函数F(x，y，z)的偏导数在该点连续且不同时为零。在曲面S上，通过点M0任意引一条曲线G，假定曲

28、线G的参数方程式为x=j(t)，y=y(t)，z=w(t)。t=t0对应于点M0(x0，y0，z0)且j¢(t0)，y¢(t0)，w¢(t0)不全为零。曲线在点的切向量为T =(j¢(t0)，y¢(t0)，w¢(t0)。考虑曲面方程F(x，y，z)=0两端在t=t0的全导数 Fx(x0，y0，z0)j¢(t0)+Fy(x0，y0，z0)y¢(t0)+Fz(x0，y0，z0)w¢(t0)=0引入向量n=(Fx(x0，y0，z0)，Fy(x0，y0，z0)，Fz(x0，y0，z0), 易见T与n是垂直的。因为

29、曲线G是曲面S上通过点M0的任意一条曲线，它们在点M0的切线都与同一向量n垂直。所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上。这个平面称为曲面S在点M0的切平面。这切平面的方程式是Fx(x0，y0，z0)(x-x0)+Fy(x0，y0，z0)(y-y0)+Fz(x0，y0，z0)(z-z0)=0。（1）曲面的法线：通过点M0(x0，y0，z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。法线方程为 （2）曲面的法向量：垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量。向量 n=(Fx(x0，y0，z0)，Fy(x0，y0，z0)，Fz(x0，y0，z0)就是曲面S在点M0处的一个法向量。

30、例2.求旋转抛物面在点处的切平面方程和法线方程。例3.求椭球面上平行于平面的切平面方程。§9.7方向导数与梯度一、教学目的、要求：1、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法；2、了解方向导数与梯度的关系。二、教学的重点和难点：（一）教学的重点：方向导数的计算方法。（二）教学的难点：方向导数的概念以及方向导数与梯度的关系。三、教学的内容：（一）、方向导数1、方向导数的概念设l是xOy平面上以P0(x0, y0)为始点的一条射线，el=(cos a, cos b)是与l同方向的单位向量。射线l的参数方程为 x=x0+tcosa, y=y0+tcosb (t³0)定义：设函数z

31、=f(x，y)在点P0(x0, y0)的某一邻域U(P0)内有定义，P(x0+t cos a, y0+t cos b)为l上另一点，且PÎU(P0). 如果函数增量f(x0+tcos a, y0+tcos b)-f(x0,y0)与P到P0的距离|PP0|=t的比值 当P沿着l趋于P0(即t®t0+)时的极限存在则称此极限为函数f(x，y)在点P0沿方向l的方向导数。记作，即 。注：从方向导数的定义可知，方向导数就是函数f(x, y)在点P0(x0, y0)处沿方向l的变化率。2、方向导数的计算定理：如果函数z=f(x，y)在点P0(x0, y0)可微分，那么函数在该点沿任一

32、方向l 的方向导数都存在。且有 , 其中cosa，cosb是方向l 的方向余弦。注：（1）当射线的方向是, 即x轴的正向时，；当射线的方向是, 即x轴的负正向时，. 当射线的方向分别为轴的正向、负向时，有类似的结果。（2）易证函数在点存在偏导数的充要条件是函数在点沿轴正向、负向的方向导数都存在且相等。（3）类似地，若三元函数在点可微，则三元函数在点沿方向e =的方向导数是例1.求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。（二）、梯度1、梯度的概念定义：设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P0(x0,y0)ÎD，都可确定一个向量 fx(x0,y0)i+fy(

33、x0,y0)j, 这向量称为函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的梯度。记作gradf(x0,y0)。即 grad f(x0,y0)= fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j2、梯度与方向导数如果函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微分，el=(cosa, cosb)是与方向l同方向的单位向量，则 , = gradf(x0, y0)×el =| gradf(x0,y0)|×cos(gradf(x0,y0) el)注：（1）这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系。特别，当向量el与grad f(x0, y0)的夹角q=0，即沿梯度方向时，方向

34、导数取得最大值，这个最大值就是梯度的模|grad f(x0, y0)|。这就是说：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。（2）上述梯度和向量场的概念可以推广的多元函数上去。例2.设f(x,y,z)=yz2+x3z。求（1）gradf(x,y,z)，（2）gradf (1,2,1)。例3.求grad(其中k为常数)。§9.8 多元函数的极值及其求法一、教学目的、要求：1、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值；2、会用拉格郎日乘数法求条件极值，

35、会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题；3、培养学生分析解决实际问题的能力。二、教学的重点和难点：（一）教学的重点：1、多元函数极值和条件极值的求法；2、多元函数的最值应用。（二）教学的难点：多元函数的最值问题。三、教学的内容：（一）、无条件极值1、极值的概念定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点(x,y)，都有 f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值)f(x0, y0)，点称为函数的极大（小）值点。极大值点、极小值点统称为

36、极值点；极大值、极小值统称为极值。例如，函数在点有极小值；函数在点没有极值；函数在点有极大值。注：以上关于二元函数的极值概念，可推广到n元函数。设n元函数u=f(P)在点P0的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于P0的点P，都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P 0)则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)。2、极值存在的充要条件定理1(必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数, 且在点(x0,y0)处有极值，则有fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0。 注：（1）从几何上看，这时如果曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处有切平面，则切平面z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)成为平行于xOy坐标面的平面z=z0。（2）类似地可推得，如果三元函数u=f (x,y,z)在点(x0,y0,z0)具有偏导数，则它在点(x0,y0,z0)具有极值的必要条件为fx(x0,y0,z0)=0，fy(x0,y0,z0)=0，fz(x0,