勾股定理练习题及答案

1、勾股定理课时练11 .在直角三角形ABC中,斜边AB=1,那么AB2BC2AC2的值是A.2B.4C.6D.82 .如图1824所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD/BC,斜腰DC的长为10cm,/D=120,那么该零件另一腰AB的长是cm结果不取近似值.3 .直角三角形两直角边长分别为5和12,那么它斜边上的高为.4 .一根旗杆于离地面12m处断裂,犹如装有钱链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m,旗杆在断裂之前高多少m?9.如图,在四边形ABCD中,/A=60°,/B=/D=90°,BC=ZCD=3求AB的长.第9题图10.如图,一个牧童在小河的南4km的

2、A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？5.如图,如以下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面米处,那么这棵树折断之前的高度是米.3米处折断,树的顶端落在离树杆底部第5题图11如图,某会展中央在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,地毯平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米？7.如下图,无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60c

3、m,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的f处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？所走的最短路线的长度8.一个零件的形状如下图,AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm.求CD的长.第8题图第一课时答案:22.2221.A,提示：根据勾股定理得BCAC1,所以abBCAC=1+1

4、=2；9.解：延长BCAD交于点E.(如下图)./B=90°,/A=60°,E=30°又CD=3：CE=6：BE=8,2.4,提示：由勾股定理可得斜边的长为5m,而3+4-5=2m,所以他们少走了4步.3.60,提示：设斜边的高为X,根据勾股定理求斜边为1322-V12252m6913,再利8设AB=X,贝UAE=2X,由勾股定理.得(2X)2X282X-3,310.如图,作出A点关于MN的对称点A',连接A'B交MN于点P,用面积法得,1512113x,x60;22134 .解：依题意,AB=16m,AC=12m,在直角三角形ABC中,由勾股定理

5、,2_2_2_2_22BCABAC161220,所以BC=20m,20+12=32(m),故旗杆在断裂之前有32m高.5 .86 .解：如图,由题意得,AC=4000米,/C=90°,AB=5000米,由勾股定理得bc=/50002400023000(米),所以飞机飞行的速度为一嘉一540(千米/小时)36007 .解：将曲线沿AB展开,如下图,过点C作CELAB于E.在RtCEF,CEF90,ef=18-i-i=16(cm),1CE=30(cm),2 .60由勾股定理,得cf=CE2EF230216234(cm)8解：在直角三角形ABC中,根据勾股定理,得BC2AC2AB23242

6、25在直角三角形CBD中,根据勾股定理,得CD=BC+BD=25+1T=169,所以CD=13.勾股定理的逆定理2一、选择题1.以下各组数据中,不能作为直角三角形三边长的是A.9,12,15B.53C.0.2,0.3,0.4D.40,41,9一,1,一442 .满足以下条件的三角形中,不是直角三角形的是A.三个内角比为1：2：1B.三边之比为1：2：<5C.三边之比为J3：2：<5D.三个内角比为1：2：33 .三角形两边长为2和6,要使这个三角形为直角三角形,那么第三边的长为A.2B.210C.4/或2<10D.以上都不对4 .五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,

7、25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是8 .在三角形ABC中,AB=12cm,AC=5cm,BC=13cm,贝UBC边上的高为AD=cm.三、解做题9 .如图,四边形ABCD中,/B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.10 .场网,E、F分别是正赢"ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,>口第9题图CE=BCF为CD的中点,连接AF、AE,ABCD二、填空题5 .ABC的三边分别是7、24、25,那么三角形的最大内角的度数是.6 .三边为9、12、15的三角形,其面积为.7 .三角形abc的三边长为a,b,c满足a

8、b10ab18,C8,那么此三角形为三角形.11 .如图,AB为一棵大树,在树上距地面10m的D处有两只猴子,它们同时发现地面上的C处有一筐水果,一只猴子从D处上爬到树顶A处,利用拉在A处的?#绳AC,滑到C处,另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,两猴子所经路程都是15m,求树高AB.1 1-12513AD;2 2三、9.解：连接AC,在RtAABC中,AC2=AB2+BC2=32+42=25,:AC=5.在4ACD中,:AC2+CD2=25+122=169,而AB2=132=169,AC2+CD2=AB2,/ACD=90°.11一故Shwabcd=Saabc+Saacd=AB

9、BC+ACCD=-X3X4+-22X5X12=6+30=36.12 .如图,为修通铁路凿通隧道AC,量出/A=40°/B=50°,AB=5公里,BC=4公里,假设每天凿隧道0.3公里,问几天才能把隧道AB凿通？10 .解：由勾月定理得AE2=25,EF2=5,AF2=20,AE2=EF2+AF2,.AEF是直角三角形11 .设AD=x米,贝UAB为(10+x)米,AC为(15-x)米,BC为5米,：(x+10)2+52=(15-x)2,解得x=2,10+x=12(米)12 .解：第七组,a27115,b27(71)112,c1121113.第n组,a2n1,b2n(n1),

10、c2n(n1)113 .2勾股定理的逆定理答案：一、1.C;2.C;3.C,提示：当已经给出的两边分别为直角边时,第三边为斜边=2262210;当6为斜边时,第三边为直角边=,62224J2；4.C；二、5.90.提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,所以最大的内角为190.6.54,提不：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形,面积为一91254.72直角,提示：2222222(ab)100,得ab2ab100,ab100218648c;60138.,提不：先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形,再利用面积法求得勾股定理的逆定理3求证：4ABC是直角三角形、根底稳固1 .满足以

11、下条件的三角形中,不是直角三角形的是.A.三内角之比为1：2：3B.三边长的平方之比为1：2：3C.三边长之比为3：4：5D.三内角之比为3：4：52 .如图1824所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD/BC,斜腰DC的长为10cm,/D=120,那么该零件另一腰AB的长是cm结果不取近似值.fL?区图18k,图182-5图18263 .如图18-25,以RtAABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,且S=4,S2=8,那么AB的长为.4 .如图18-26,正方形ABCD的边长为4,E为AB中点,F为AD上的一点,且AF=1AD,4试判断EFC的形状.图18289

12、 .如图1829所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A3,1,B2,4,AOAB是直角三角形吗？借助于网格,证实你的结论.图182910 .：在4ABC中,/A、/B、/C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断AABC的形状.5 .一个零件的形状如图1827,按规定这个零件中/A与/BDC都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗？图18276 .4ABC的三边分别为k2-1,2k,k2+1k>1,求证：ABC是直角三角形12.：如图18210,四边形ABCD,AD

13、/BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求：四边形ABCD的面积.2-10二、综合应用7 .a、b、c是RtABC的三边长,AAiBiCi的三边长分别是2a、2b、2c,那么AAiBiCi是直角三角形吗？为什么？8 .：如图1828,在4ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD-BD.参考答案一、根底稳固1 .满足以下条件的三角形中,不是直角三角形的是-A.三内角之比为1：2：3B.三边长的平方之比为1：2：3C.三边长之比为3：4：5D.三内角之比为3：4：5思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余;两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等

14、于这条边的一半由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理,所以.应选D.答案：D2 .如图1824所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD/BC,斜腰DC的长为10cm,/D=120,那么该零件另一腰AB的长是cm(结果不取近似值).Af>QwEC图18.24解：过D点作DE/AB交BC于E,那么公DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形,.AB=DE.,:/D=120,：/CDE=30.又在直角三角形中,30°所对的直角边等于余边的一半,：CE=5cm.根据勾股定理的逆定理得,DE=.102525.3cm.AB=102525/3cm.3 .如图18-25,以RtA

15、ABC的三边为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,且S=4,S2=8,那么AB的长为.图1825图1826思路分析：由于ABC是RtA,所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3,所以S3=12,由于S3=AB2,所以AB=&.1223.答案：2.34 .如图18-26,正方形ABCD的边长为4,E为AB中点,F为AD上的一点,且AF=AD,4解：E为AB中点,BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.ce2+ef2=cf2,.EFC是以/CEF为直角的直角三角形.5

16、.一个零件的形状如图18-27,按规定这个零件中/A与/BDC都应为直角,工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4,AB=3,BD=5,DC=12,BC=13,这个零件符合要求吗？思路分析：要检验这个零件是否符合要求,只要判断r7ADB和4DBC是否为直角三角形即可,这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.解：在ABD中,AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2,所以ABD为直角三角形,/A=90°.在BDC中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以BDC是直角三角形,/CDB=90.因此这个零件符合要求.6 .4ABC的三边分别为k2-1,2k,k

17、2+1(k>1),求证：ABC是直角三角形.思路分析：根据题意,只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可证实：:k2+1>k21,k2+12k=(k1)2>0,即k2+1>2k,：k2+1是最长边.:(k21)2+(2k)2=k42k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,.ABC是直角三角形.二、综合应用7 .a、b、c是RtABC的三边长,AAiBiCi的三边长分别是2a、2b、2c,那么AAiBiCi是直角三角形吗？为什么？思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数,得到的三角形还是直角三角形(例2已证).解：略8 .：如图1828

18、,在4ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD-BD.求证：4ABC是直角三角形.试判断EFC的形状.思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度,再利用勾股定理的逆定理判断即可它们的面积分别为DAMM=6Qdbc312.22图1828思路分析：根据题意,只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可证实：ac2=ad2+cd2,BC2=CD2+BD2,-AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD-BD+BD2=(AD+BD)2=AB2.ABC是直角三角形.9 .如图18-2-9所示,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为A(3,1),B(2,4),OAB是直角三角形吗？借助于网格,证实

19、你的结论.图1829思路分析：借助于网格,利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度,再利用勾股定理的逆定理判断OAB是否是直角三角形即可.解：OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,oa2+ab2=OB2.OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形m10 .阅读以下解题过程：a、b、c为4ABC的三边,且满足a2c2b2c2=a4-b4,试判断ABC的形状.解：a2c2b2c2=a4b4,(A)：c2(a2b2)=(a2+b2)(a2-b2),(B)：c2=a2+b2,(C)/ABC是直角三角形.问：上述

20、解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号;错误的原因是厂;此题的正确结论是.思路分析：做这种类型的题目,首先要认真审题,特别是题目中隐含的条件,此题错在无视了a有可能等于b这一条件,从而得出的结论不全面.答案：(B)没有考虑a=b这种可能,当a=b时ABC是等腰三角形；ABC是等腰三角形或直角三角形.11 .：在4ABC中,/A、/B、/C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断AABC的形状.思路分析：(1)移项,配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0,那么都为0;(3)a、b、c,利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形解：

21、由可得a2-10a+25+b224b+144+c226c+169=0,配方并化简得,(a5)2+(b12)2+(c13)2=0.,(a-5)2>0,(b-12)2>0,(e-13)2>0.a-5=0,b-12=0,c-13=0.解彳1a=5,b=12,c=13.又丁a2+b2=169=c2,.ABC是直角三角形.12.：如图18210,四边形ABCD,AD/BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求：四边形ABCD的面积.图18210思路分析：(1)作DE/AB,连结BD,那么可以证实AABDAEDB(ASA);(2)DE=AB=4,BE=AD=3,EC=EB=3;(3

22、)在DEC中,3、4、5为勾股数,DEC为直角三角形,DELBC;(4)利用梯形面积公式,或利用三角形的面积可解.解：作DE/AB,连结BD,那么可以证实AABDEDB(ASA),DE=AB=4,BE=AD=3.BC=6,EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD2,.DEC为直角三角形.又EC=EB=3,：DBC为等腰三角形,DB=DC=5.在ABDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,.ABDA是直角三角形.*,-S四边形abcd=Sabda+Sadbc=6+12=18.6.如图,在RtAB计,/ACB=90,CD,AB,BC=QAC=8,求AB、CD的长勾股定理的应用

23、41.三个半圆的面积分别为Si=4.5无,&=8无,S3=12.5无,把三个半圆拼成如下图的图形,那么ABC一定是直角三角形吗？说明理由.2.求知中学有一块四边形的空地ABCD如以下图所示,学校方案在空地上种植草皮,经测量/A=90.,AB=3mBC=12mCD=13mDA=4m假设每平方米草皮需要200天,问学校需要投入多少资金买草皮？7.在数轴上画出表示,彳7的点不写作法,但要保存画图痕迹F处,AB=8cmBC=10cm3.12分如下图,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点求EC的长.8.如图,四边形ABCD中,/B=90°,AB=4,BC=3CD=1ZAD=13求

24、这个四边形的面积4.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?9.如图,每个小方格的边长都为1.求图中格点四边形ABCD的面积.今东5.8分观察以下各式,你有什么发现？32=4+5,52=12+13,72=24+2592=40+41这到底是巧合,还是有什么规律蕴涵其中呢?(1)填空：132=2请写出你发现的规律.3结合勾股定理有关知识,说明你的结论的正确性.勾股定理复习题5一、填空、选择题题：3.有一个边长为5米的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞口,圆的直径至少为米.4、

25、一旗杆离地面6米处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,那么旗杆折断之前的高度是()米.6、在4ABC中,/C=90°,AB=10O(1)假设/A=30°,那么BC=,AC=.(2)假设/A=45°贝UBC=,AC=.8、在ABC中,/C=90°,AC=0.9cm,BC=1.2cm.那么斜边上的高CD=m19、有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？22.11、二角形的二边abc,满足(ab)c2ab,那么此三角形是

26、三角形.12、小明向东走80米后,沿另一方向又走了60米,再沿第三个方向走100米回到原地.小明向东走80米后又向方向走的.13、ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cnflUAC的长为cm14、两人从同一地点同时出发,一人以3米/秒的速度向北直行,一人以4米/秒的速度向东直行,5秒钟后他们相距米.15、写出以下命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗？两直线平行,内错角相等.()如果两个实数相等,那么它们的平方相等.()2.2右ab,贝1Ja=b()全等三角形的对应角相等.()角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.()16、以下各组线段组成的三角形不是直角三

27、角形的是()(A)a=15b=8c=17(B)a:b:c=1:3:2(C)a=2b=c=(D)a=13b=14c=155517、假设一个三角形的三边长为6,8,x,那么使此三角形是直角三角形的x的值是().A.8B.10C.J28D.10或,2818、以下各命题的逆命题不成立的是()A.两直线平行,同旁内角互补B.假设两个数的绝对值相等,那么这两个数相等22C.对顶角相等D.如果a=b或a+b=0,那么ab20、一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？(其中丈、尺是长度单位,1丈=10尺)21、某港口位于东西方向的海岸线上.“远航号、“海天号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航号每小