时间序列分析讲义2011研究777

1、时间序列分析讲义山西财经大学统计学院 孟勇本学期讲授的主要内容第一部分 差分方程和滞后算子第二部分 平稳ARMA过程及预测第三部分 谱分析第四部分 协方差-平稳向量过程第五部分 向量自回归第六部分 卡尔曼滤波第七部分 协整第八部分 异方差时间序列模型第九部分 马尔科夫机制转换模型参考教材：1. J. Hamilton. Time Series Analysis. Princeton: Princeton University Press, 1994.2. P. Brockwell., and R. Davis. Time Series: Theory and Methods. Second e

2、dition. New York: Springer-Verlag, 1991.3. W. Enders. Applied Econometric Time Series. New York: Wiley, 1995.4. H. White. Asymptotic Theory for Econometricians. New York: Academic Press, 1984.教学计划：36学时第一部分 时间序列建模思想本课主要在于为分析依次连续观察到的数据提供必要的工具。由于数据和新生成量不再独立，标准的推论技巧需要进一步细化才能发挥作用。这就需要考虑估计量和检验统计量的渐近特征。理论上

3、解决相关问题的可行方法取决于产生新生变量的机制，该机制可以将观察出的非独立变量分解成独立的新生成量。这种机制即通常所说的时间序列模型。时间序列分析根据对系统观测得到的时间序列数据通过曲线拟合和参数估计或谱分析等来建立系统的统计模型的理论和方法。它的理论基础是数理统计学。时间序列建模分为时域建模和频域建模两类，一般采用时域建模，需要分析系统的频率特性时则采用频域建模。最简单地理解，时域就是和时间相关联的范围，频域就是与频率相关的范畴，频域是时域的倒数，时域分析是直接在时域中对系统进行分析的方法，它描述统计函数和时间的关系。时域分析的横轴是时间，纵轴是系统或函数的变化。频域分析就是分析系统的频率特

4、点。简单地讲，频域就是在一个时间点上观察一个系统的各个侧面。对任何一个事物的描述都需要从多个方面进行，每一方面的描述仅为我们认识这个事物提供部分的信息。例如，眼前有一辆汽车，我可以这样描述它的颜色，长度，高度以及排量、品牌、价格等。频域分析，横轴也就是自变量是频率，纵轴是统计函数或系统频率的变化幅度。对时间序列进行分析时，即使统计函数的时域参数相同，并不能说时间序列性质就是相同的，因为时间序列不仅随时间变化，它还与频率、相图等有关系。所以在做时间序列的时域分析时，还需要作频域分析。时域建模采用曲线拟合和参数估计的方法（如最小二乘法等），频域建模采用谱分析的方法。时间序列建模主要决定于被观测序列

5、的性质、可用观测值的数目和模型的使用情况等三个因素。时间序列建模的时域建模步骤是：用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统的时间序列数据。根据时间序列数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数。相关图能显示出变化的趋势和周期，并能发现跳点和拐点。跳点是指与其他数据不一致的观测值。如果跳点是正确的观测值,则在建模时应考虑进去,如果是反常现象，应把跳点调整到期望值。拐点则是指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点。如果存在拐点，则在建模时必须用不同的模型去分段拟合该时间序列。辨识合适的随机模型,进行曲线拟合,即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。对于短的或简单的时间序列，可用趋势模型和季节模

6、型加上误差来进行拟合。对于平稳时间序列可用通用线性随机模型（自回归联合滑动平均模型）及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型。混合自回归滑动平均模型等来进行拟合。当观测值多于50个时一般都采用通用模型。对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间序列进行差分运算，化为平稳时间序列，再用适当的随机模型去拟合这个差分序列。估计模型参数。可用最小二乘法等方法，必要时可叠加上专门设计的误差项。灵敏度分析和模型结构变化分析。当时间序列发生变化时，可用贝叶斯方法对模型结构变化进行分析。第二部分 差分模型引言差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方

7、程。差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常

8、重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析

9、建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面

10、建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。我们介绍的主要内容是一阶和阶差分方程及其矩阵和算子表示形式。差分方程就是表示一个变量与其前期值之间关系的一种模式。它是研究随着时间顺序发生的事件的原因及结果。一阶差分方程的形式是： 1.1.1阶差分方程的形式是： 1.1.2如果把它写成矩阵的形式就是： 1.1.3其中 是其他变量。经济金融问题的研究离不开时间序列数据，而时间序列模型的建立与求解在很多情况下都用到了差分方程。我们举一个股票市场的例子。第一个例子，股价模型令表示股票价

11、格，表示红利。假设投资者在时期买进股票，在时期卖出股票，投资者将得到红利收益和资本利得收益。那么投资者的总收益就是： 1.1.4我们来考虑一个简化的模型，也就是假设不同时期的收益率是不变的股市模型：将模型作一简单变换：这个形式的方程就是一阶差分方程。这里，。经过反复迭代，模型变为：这就是一个很典型的利用差分方程研究股市的模型。第二个例子，商业贷款还款模型设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是 ，今采用月还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。 模型假设：设

12、贷款后第 k个月后的欠款数是元，月还款为元，月贷款利息为。模型建立：关于离散变量，考虑差分关系有： ， 即： 这里已知有： 模型求解：令，则 这就是差分方程（3.15）的解。把已知数据代入中，可以求出月还款额。例如： 时，可以求出：元。模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等。如果令，则，并且 当时，总有，即表明：每月只还上了利息。只有当时，欠款余额逐步减少，并最终还上贷款。第三个例子，养老保险模型 问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际

13、的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？ 模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。 模型假设：这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第月止所交保费及收益的累计总额为，每月收益率为，用分别表示60岁之前和之后每月交费数和领取数，N表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份。

14、模型建立：在整个过程中，离散变量的变化规律满足：， 在这里实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人帐户上的资金数值，我们关心的是，在第M个月时， 能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析来看，引入变量，很好地刻画了整个过程中资金的变化关系，特别是引入收益率 ，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础。 模型计算：以25岁起保为例。假设男性平均寿命为7

15、5岁，则有 ，初始值为，我们可以得到：在上面两式中，分别取和并利用可以求出：利用数学软件或利用牛顿法通过变成求出方程的跟为：同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为第四个例子，宏观经济的例子：这个例子是戈德费尔得（1973）估计的美国货币需求函数，该模型是公众持有真实货币量的对数（）关于真是总收入的对数（）、银行帐户利率的对数（）和商业票据利率对数（）的函数：这里，为了好理解，我们可以将上述模型进一步简化：那模型就化为：第五个例子，蛛网模型在市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售

16、价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，要想取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划。这样我们就需要建立数学模型来表现和分析市场趋势。模型假设与模型建立将市场演变模式划分为若干段，用自然数n来表示；设第n个时段商品的数量为，价格为，n=1,2.;由于价格与产量紧密相关，因此可以用一个确定的关系来表现：即设有 这就是需求函数，f 是单调减少的对应关系;又假设下一期的产量是决策者根据这期的价格决定的，即：设，h是单调增加的对应关系，从而，有关系： g也是单调增

17、加的对应关系.因此可以建立差分方程： 这就是两个差分方程。属一阶非线性差分方程。模型的几何表现与分析。为了表现出两个变量和的变化过程，我们可以借助已有的函数f和g ,通过对应关系的几何表现把点列，和在坐标系中描绘出来，进而分析它们的变化规律、趋势、找稳定点等等。其中将点列连接起来，就会形成象蛛网一样的折线，这个图形被称作为蛛网模型。可以设想，这种形式可作为差分方程分析与求解的重要手段，它的主要数学技术是：图形的描绘，曲线上点列的描绘（设法由前一个点的一个坐标分量来算出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观

18、、几何形式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来。这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线上如果知道了一个分量，就可以作出另一个分量。可见几何形式表示有关系的变量是既方便又有意义的。见：如果点列最后收敛于点，则，并且就是两条曲线的交点，从而稳定的。这也表明，市场在长期运行之后会保持一种稳定的状态，说明市场处于饱和状态。要想进一步发展就必须打破这种平衡，在决策机制和方法上有所改进。几何上的进一步分析表明，如果曲线和在交点处切线的斜率的绝对值记为：，则当时，是稳定的；当 时，是不稳定的。(4) 模型的差分方程分析设点满足：，在点附近取函数的一阶近似： 合并两式可得： 这是关于 的一阶线性差分方

19、程。当然它是原来方程的近似模型。作为数学模型，本来就是客观实际问题的近似模拟，现在为了处理方便，适当取用其近似形式是合理的。其中，为f 在点处的切线斜率；为g(x)在点处切线的斜率。方程（3.9）递推可得： 所以，点稳定的充要条件是：即：这个结论与蛛网模型的分析结果是一致的。第六个例子，种群生态学中的昆虫繁衍模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为，每年一个成虫平均产卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的

20、产卵分布状况），则有：，这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为，故减少数应当与它成正比，从而有：这个模型可化成：，这是一阶非线性差分方程。这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法，即（14）式来获得。如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例

21、关系、周期关系、增量关系等等。还有模型大量用到差分方程模型。本章先讨论简化的差分模型，即将输入变量视为确定性变量序列，同时回答，差分方程模型中，输入变量是如何影响值的。然后在进一步研究，如果输入变量是随机变量的情形下，输出变量的统计性质。，也就是模型一章的主要内容。第一章 差分方程、递归方程与特征根一、 差分方程的解析（1） 递归替代法求解差分方程假如对所有期的行为都适用，那么我们可以作如下推导：0 1 2 T 若将（1.1.10）代入（1.1.11）可得： 若将（1.1.11）代入（1.1.12）可得： 以此方式连续递归可得： 这个过程被称为递归替代法求解差分方程。（2）特征根与特征向量假如

22、一个矩阵,也就是方阵，如果存在一个非零的向量和一个标量有如下关系： 被称为的特征向量，被称为相应的特征值。等式可以进一步写为： 或者 假如矩阵非奇异，那么其逆矩阵必存在，这样方程可求出： 因此，如果存在满足特征方程的非零向量，那么必然存在一个值使得特征矩阵是奇异矩阵，也就是矩阵的特征值是满足下述等式的值：按照映射的观点，一个线性变换的特征向量是在这个线性变换下简单地乘以一个标量的非零向量。也就是说满足：其中缩放因子称为这个特征向量的特征值，或者说线性变换的特征值，反之，一个实数是线性变换的特征值，当且仅当存在一个非零向量满足上面的方程。同时，给定一个向量空间，从到自身的线性变换,是一个保持向量

23、加法和标量乘法的的函数。比如旋转、反射、拉伸、压缩，或者是这些变换的组合。而一个抽象的线性变换可以通过他们在向量上的作用而可视化。一般来讲，一个向量经过线性变换后可以变为任何可能的向量，但特征向量具有更好的性质。所有具有相同特征值的特征向量和零向量一起构成了一个向量空间，称为线性变换的一个特征空间，一般记作.如果这个特征空间是有限维的，那么它的维数就称为的几何重数。线性变换的主特征向量是模最大的特征值对应的特征向量。有限维向量空间上的一个变换的谱是其所有特征值的集合。（3）递归与矩阵结合求解差分方程 如果我们的模型是期的依赖于它的期滞后值以及输入变量： 这也就是一个阶线性差分方程。这个方程我们

24、应该使用矩阵 方法求解。如果我们记： 这样可写成一阶向量差分方程： 一阶向量系统是阶数量系统的替代表示，但是这样一个变换，使我们能够更容易求解差分方程。 按照一阶差分系统的处理方法，我们可以求得0期的值：1期的值： 一直递推下去可得到：将其矩阵形式写出：该系统中的第一个方程，它代表了的值。如果令表示中第（1，1）个元素，令表示中第（1，2）个元素，以此类推。那该系统中第一个方程就可表示为：上式将期的表示成的个初始值和输入变量自0期的历史值的加权和。我们可以注意到，对于一阶差分方程，只需要的一个初始值，而阶差分方程需要的个初始值。显然我们可将该系统进一步推广为：由此还可推出：对于阶差分方程，我们

25、可推出：这里是矩阵的第一行第一列元素。如果=1，那么是矩阵的第一行第一列元素，也就是的第一行第一列元素，也就是参数。因此，对于阶差分系统，一单位的增加对的作用，也就是动态乘子，由下式计算：=很显然模型参数可以通过此式计算。（4）模型动态的解析特征值方法我们可以通过数值模拟的方法分析模型的动态过程，求解差分模型参数。由上面内容我们推导出阶差分方程的动态乘子方法如下：令，令所有其他期的值是0，利用，利用该式计算时的值，可计算出，然后利用计算，利用计算，一直递归下去。期 的值给出了变化一个单位对的影响。比如利用递推公式，由于，可计算出，这正好是的第一行第一列元素是，也就是，出了变化一个单位对的影响。

26、但是递推方法毕竟要比特征方法繁琐。如果利用特征值的方法要简便很多。只要我们知道了矩阵的特征值，系统的动态行为即可由特征值表示。矩阵的特征值由下式求得： 矩阵的特征值也是下面方程求得的： 现给出其证明，的特征值满足：根据的定义，该行列式的值为：我们知道，如果我们将行列式某一列的常数倍加到另一列上，行列式的值不变。我们将矩阵第列乘以再加到列上，矩阵变为：然后再将列乘以再加到列上=继续上述过程，我们可得到如下的行列式：=的特征值即是使的值，也就是：（5）利用特征值解析特差分方程（5.1）求解动态乘子 考虑具有相异特征根的阶差分方程的情况。根据矩阵知识，如果方阵的特征根是相异的，那么存在一个非奇异矩阵

27、，满足： 其中，是一个矩阵，其对角线元素是由的特征根组成，其他元素为零： 而且 那么 令表示的第行第列元素，令表示的第行第列元素。方程可写成： =由此可算出的第一行第一列的元素是：为简便，令，那么由于上式右边是矩阵的第一行第一列的元素，其为单位矩阵，因此：。同时我们可以证明，如果矩阵的特征值是相异的，的取值是： 由前面我们已知：由此说明，差分方程更复杂的动态系统可以有矩阵的特征值决定。这就是为何要讨论矩阵特征值的原因。（5.2）求解长期现值影响如果特征值的模全部小于1，那么将趋于零，并且如果和都是有界的，我们有：我们从可直接推出向量中任一元素的一个改变对中任一元素的影响：动态乘子，就是的第一行

28、第一列元素。如果矩阵的所有特征值的模都小于，那么的一个变化对的现值的影响是：的一个变化对的现值的影响为：它的值正好是矩阵的第一行第一列元素。证明如下：假如的逆不存在，由于：的逆不存在，意味着上式就为零，那么就是矩阵的特征值，很显然这与前提条件是矛盾的。因此是非奇异的。令是第行第列元素，=我们在矩阵两边右乘：这相当于将列乘以加到列上。=此过程一直持续下去，最后成为：=由此可以推出：二 滞后算子与差分方程前面的章节使用矩阵代数分析了线性差分方程的的动态，本章将使用时间序列算子研究同样的结果。我们首先介绍一些有用的时间序列算子。之所以这样，是因为如果不需要知道差分方程特解中系数的实际值，运用滞后算子

29、通常要更方便一些。§2.1 基本概念时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。一般情况下，我们是从某个特定的时间开始采集数据（比如说），直到另一个固定的时间为止（比如说），我们可以将获得的数据表示为： 如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期，那么上面的数据区间可以进一步扩充。相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为：例2.1 几种代表性的时间序列(1) 利用时间序列中的第个元素来表述时间序列。比如时间趋势本身也可以构成一个时间序列，也就是说在时刻的值正好是观测的日期。此时：；(2) 另一种特殊的时间序列是常数时间序列，即：，是常数，这种时间的取值

30、不受时间的影响；(3) 在随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为： ， 是一个独立随机变量序列，每个随机变量都服从 分布。例2.2 几种代表性的时间序列转换时间序列之间也可以进行转换，类似于使用函数关系进行转换。它是将输入时间序列转换为输出时间序列。一个时间序列算子可以将一个时间序列或一个时间序列组转换成新的时间序列。(1) 假设是一个时间序列，假设转换关系为： ，这种算子是将一个时间序列的每一个时期的值乘以常数转换为一个新的时间序列。(2) 假设和是两个时间序列，算子转换方式为： ，此算子是将两个时间序列求和。时间序列算子：我们用表示这种运算法则。定义2.1 如果算子运算是将一

31、个时间序列的前一期值转化为当期值，则称此算子为滞后算子，记做。即对任意时间序列，滞后算子满足： (2.1) 类似地，可以定义高阶滞后算子，例如二阶滞后算子记为，对任意时间序列，二阶滞后算子满足： (2.2) 一般地，对于任意正整数，有： 可以将时间序列转换为新的序列，其中期的值生成期的值：这被称作对时间序列应用滞后算子，在我们的课程中，该运算符号一般用表示。如果我们运用两次滞后算子，计算结果为： 依次类推，对任何整数 命题2.1 滞后算子运算满足线性性质：(1) （2.3）(2) （2.4）证明：利用滞后算子性质，可以得到： End 滞后算子严格遵从和乘法算子同样的代数规则。例如： 由于滞后算

32、子具有上述运算性质和乘法的交换性质，因此可以定义滞后算子多项式，它的作用是通过它对时间序列的作用获得一个新的时间序列，并且揭示这两个时间序列之间的关系。显然，滞后算子作用到常数时间序列上，时间序列仍然保持常数，即：。二、 滞后算子与递推法的等价性-基于一阶差分方程： （2.5）（1）如果用滞后算子表示： （2.6）整理后得： 现在考虑将方程（1.1.4）两边乘以下面的算式： （2.7）结果变为： （2.8）我们知道： （2.9）将（1.1.7）带入（1.1.6）可得： （2.10）也就是：即：（2.11）通过滞后算子计算的结果和第一章利用递归替代的方法求解差分方程是一样的。（2）如果利用递归替

33、代法求解（1.1.1）： 0 1.1.10 1 1.1.112 1.1.12 T 1.1.13若将（1.1.10）代入（1.1.11）可得： 1.1.14若将（1.1.11）代入（1.1.12）可得： 1.1.15以此方式连续递归可得： 1.1.16比较（1.1.9）和（1.1.16）可以看出，运用滞后算子得到的结果与递归法推倒的结果是一样的。（3）算子的逆当变大时算子的性质序列有界的定义：一个序列 被称为是有界的，如果存在一个有限的数 ： 对所有假如，如果我们将讨论局限在有界序列或者平稳随机过程和，且是有限的数时，也就是序列有界，也就是存在一个有限的数，对所有的，使得成立。我们可以推出：因此

34、我们可以将近似看作的逆。算子具有性质：这里1是恒等运算符。推导如下：接前面：也就是说，与相差，如果，且是有限的数，残差将随着的增大变得可以忽略不计：假如，如果我们将讨论局限在有界序列或者平稳随机过程和，方程两边可以乘以，可以得到：或：但是如果我们不将序列和限定为有界序列或平稳随机过程和，那么表达式：就不一定是方程的必然结果。方程：增加上 也就是：那么这个序列对于任意的 都是一致的。为了证明二者是一致的，方程两边同乘以，所以：因此：这便证明了一致性。（4）根据对一阶差分方程进行分解 对于形如的一阶差分方程，萨金特建议：当时应该向后求解方程，也就是乘以 当时，应该向前求解方程，也就是乘以 这也就相

35、当于说，当时，且当以及都是有界序列时，的逆是，当时，且当以及都是有界序列时，的逆是。三、 以算子表示的二阶及 阶差分方程和特征根（一）二阶差分方程写成滞后算子的形式：对于二阶差分方程，我们可以将分解成该计算与求下面矩阵 也就是： 中特征值的计算相同。矩阵的特征值与下面方程中的系数相同。计算矩阵的特征值与滞后算子多项式分解之间的对应是很有启发意义的。但是这要注意概念上的混淆，我们可以将滞后算子的二阶多项式求出分解因子，及求数值和，使得：我们知道，如果和的根都小于1，那么是稳定的。有时也说当的根全部落在单位圆内。否则只要和的模任意一个大于1，则是发散的。当特征根和落在单位圆内的时候(这也是差分方程

36、的稳定性条件)，滞后算子多项式分解为：，这时二阶差分方程解可以表示为：注意到算子分式也可以进行分项分式分解(如此分解需要证明，参见Sargent，1987，p. 184)：将上述表达式带入到二阶差分方程解中：其中：，利用上述公式，可以得到外生扰动的动态反应乘子为：， (14)上述利用滞后算子运算得到的乘数与以前所得完全一致。可能出现的混淆是我们通常直接利用计算下面方程的根。两个方程的根互为倒数。因此，如果方程的根落在单位园内时，或者方程的根落在单位圆外时，差分方程是稳定的。这两个说法是等价的。主要是要将两个方程区分清楚。（二）以算子表示的阶差分方程可以将此方程写作滞后算子形式：如果我们记： 那

37、么阶差分方程可以写为一阶向量差分方程：如果我们可以将阶差分方程分解为：这等同于求解，以至于对所有的，两边的多项式的值都相等：我们将两边同时乘以，且定义：显然，能使上一方程右边为零，也必然使上一方程的左边为零。也就是：我们可以证明：矩阵的特征值是由满足：的值组成。由此得出几个结论：（1）阶滞后算子多项式分解因式的计算和求解矩阵的特征值相同。（2）矩阵的特征值与的系数相同，其解由给出。四、 利用滞后算子求解动态乘子及现值的影响（1）动态乘子的求解假定特征值都落在单位圆之内，而且和都是有界序列时，那么都存在，差分方程可以写为：进一步假定特征值是相异的，那么多项式可分解为各分式：=等式两边同乘以该式应该对每一个都成立，我们令，这样可解出：同样我们令，依次可求得：上述结果与递归法完全一样，而且。于是能被写作：也就是：动态乘子的求解：结果与递推法是一致的。（2） 对现值影响的求解 由上一节推导可知： 其中我们可以将其写成滞后算子形式：其中=这里是动态乘子，对的现值的影响由下式给出：=可以理解为，为利率。由前面推导：同时前述推导也有：于是对任何：也就是：那么：=这和递推法得出的结论是一样的。假设给定下述线性差分方程： 一般情况下，求解p阶差分方程的特解，需要p个初值：，也需要外生变量的一个输入序列：，这样一来根据差分方程结构，便可以确