RLC串联电路与弹簧振子的类比分析

1、RLC串联电路与机械振动的类比分析摘 要:我们对RLC串联电路与弹簧振子进行较全面地类比分析，两系统的结构参数、描述方程、储存能量等方面均极其相似。现从RLC电路和弹簧振子的类比分析出发，较全面地导出两系统的所有对应关系。据此用电路的Multisim仿真分析求解电学与力学振荡系统。关键词：RLC电路 弹簧振子 振荡频率 阻尼振动 共振 The analog of RLC series circuit and  Mechanical vibrationAbstract：Study RLC series circuit and

2、the spring oscillator in a comprehensive analysis of, the structural parameters , describing equations and stored energy of the two systems are very similar. Based on the analog of RLC circuit and the spring oscillator , I derived 

3、;a more comprehensive conclusion of the two systems. By means of Multisim circuit simulation I analyzed the electrical and mechanical oscillation systems.Keywords: RLC circuit, Spring oscillator, Oscillation frequency, Damped vibration ,Resonance 一.

4、引言通过物理实验5.6.3及大学物理课程，我们可以知道RLC 电路是以电感L和电容C组成的电路系统，当我们在分析它的电路特性时，往往会遇到一些困难。弹簧振子是以弹簧和质点构成的电路系统，当一个物理量在观测时间内在极大值和极小值之间作多次往复变化时, 这种状态的变化叫做振动。根据该定义, 如果作振动的物理量是力学量, 则该振动称为机械振动；如果作振动的物理量是电学量, 则所作的振动称为电磁振荡。两系统的结构参数、描述方程、储存能量等方面均极其相似。现从理想LC电路和理想弹簧振子的类比分析出发，较全面地导出两系统的所有对应关系，这一方面有利于深入理解两系统的物理过程，同时用电路的Multisim仿

5、真分析作为求解电学与力学系统的辅助工具。二理想与实际中的电路振荡和机械振动1.理想电路振荡和机械振动的类比理想LC电路 弹簧振子振动理想LC电路与理想弹簧振子分别如图3所示。对于电路系统，由元件的约束关系和电路的KVL 可得 ，若电容中初始电荷为Q。(初始电压 )，电路的初始电流为0，则电容电压(或极板电荷)的变化规律 如： 其中是电路的固有振荡频率。对于理想弹簧振子系统，由牛顿第二定律可得运动方程为：. 这里，x为质点相对于平衡位置的位移，k是弹簧的弹性系数，m为质点的质量。若t=0时，将质点拉伸至x=A 处并自由释放，则x的变化规律如： .其中是力学系统的固有振荡频率。将上述各式进行比较可

6、知，若将C与1/k对应，L与m对应，极板电荷Q与质点位移A对应，则两系统的描述方程、变化规律、振荡频率是完全一致的。可以说，其中一个系统的解必为另一系统的解，或者说，求解力学系统的运动方程完全可用求解电路方程替代。对于理想LC电路，电磁振荡过程是电场能与磁场能相互转换过程。若系统初始时刻的电场能为：，初始磁场能为0，振荡后，电场能的变化为：， (1)电感中磁场能为：， (2)总能量：, (3)此式表明系统总能量始终等于初始值。同样，理想弹簧振子振荡过程是势能与动能的相互转换过程。若力学系统的初始位移为A，初始速度为0，则初始势能是：，由式可知，振荡后弹性势能：， (4)质点动能： ， (5)总

7、能量：, 系统总机械能始终不变。由比较理想与实际中的LC串联电路与弹簧振子，可以从能量、频率、振动方程等总结出两系统的一一对应关系，下面我给出了具体的对应表格：表1 LC电路与弹簧振子系统的对应关系电路系统机械系统电容C弹性系数1/k电感L质点质量m磁场能动能电场能势能谐振频率振荡频率电阻R阻尼系数衰减系数阻尼因数衰减振荡频率阻尼振动频率2.实际电路与实际振子的类比实际上，电感线圈中总有电阻存在，LC电路实际等效为RLC串联回路，若R为线性电阻，描述它的方程如：，这里 （6）在前述初始条件下，当R<2 时，电路为欠阻尼振荡放电过程，则变化规律为，其中衰减系数，振荡频率； 当R2 时，没有

8、振荡过程发生，因电容能量放电一次，就被电阻消耗殆尽。对于弹簧振子，物块m在某媒体中运动，粘滞阻力通常不可忽略，若粘滞阻力正比于运动速度，则系统的运动方程为： （7）其中阻尼因数 ，为阻尼系数。若再将与电路中的R对应，则 与(6)式中的对应，两系统的方程完全一致，(7)式也有与(6)式相同的解，其运动规律类似于电路中电容电压。当， 足，质点作阻尼振荡，振荡频率。必须指出，弹簧振子所受的阻尼包括摩擦阻尼和辐射阻尼，它并不严格与运动速度成正比，其阻尼系数为运行速度的函数，即，于是(7)式变为： （8）求解该方程通常是困难的，甚至有时是不可能的。根据电路系统与力学系统的对应关系，可组成RLC串联电路，

9、其中R=R(i)为非线性电阻，描述该电路的方程为： （9）只要选择R(i)与有相同的函数关系，选择与力学系统对应的电路参数和初始值，则方程有相同的解。对上述的求解，可用电路的Multisim模拟仿真系统进行。模拟系统输出的波形，便是弹簧振子的振动波形。三、机械能与电磁能的类比众所周知，力学系统的机械能为动能与势能的总和，而电路系统的能量为电容储存的电场能与电感储存的磁场能之和。那么，必须从各元件的本质特性进行分析，看看电路系统中的电场能与机械能中的哪一种能量形式对应。先考虑电容充电过程，充电电路及充电电流的变化过程如图l(a)、(b)所示。由图可知，充电电流开始时最大，电容极板上出现电荷积累，

10、电容电压增加，随之电流逐渐下降，逐渐上升。充电完毕后，i=0，=，电路达到平衡，电容器中储能。若继续保持这种电路状态，电容中电场能始终不变。与此相对应的是力学系统中的弹簧振子，在自然状态下，当受到恒定外力F挤压时的运动状态：开始时速度最大，振子出现位移，弹力逐渐增加，随之振子位移速度减小。系统最后达到平衡，质点最终位移为，且满足，其中k正是弹簧的弹性系数，储存弹性势能为 。如果不释放弹簧，该势能始终存储在系统中。上述类比清楚的表明，电容中的电场能与机械系统中的势能相对应。在电压源Us一定时，正比于电容C；在外力F一定时，弹簧中的势能 ，正比于1k，所以，C与lk对应。再来分析电感充磁过程，图2

11、(a)、(b)分别示出了电感充磁电路和电感电压的变化规律。由图可知，初始电感电流为0，电感电压 处于最大值，随后，上升，下降，直到稳态时，电感储存磁场能 。若突然切断电感中电流，电感两端将感应很高的电压。与此类似，若考虑一质量为m的自由质点，在随时不断减小的外力F(如被压缩弹簧的恢复力)作用下，质点的运动速度由零逐渐上升，最后(当外力为零时)达到匀速 ，质点获得动能。如欲强行阻止该质点的运动，则该质点必将对阻挡物以巨大的冲击力作用。所以，电感中的磁场能与机械系统中的动能相对应，同时也可看到，电感L与质量m相对应，电感电流与质点运行速度相对应，电感两端电压与质点上的作用力相对应。四RLC振荡与力

12、学振动Q值Q值是衡量电感器件的主要参数。是指电感器在某一频率的交流电压下工作时，所呈现的感抗与其等效损耗电阻之比。电感器的Q值越高，其损耗越小，效率越高。电感器品质因数的高低与线圈导线的直流电阻、线圈骨架的介质损耗及铁心、屏蔽罩等引起的损耗等有关。 也有人把电感的Q值特意降低的，目的是避免高频谐振/增益过大。降低Q值的办法可以是增加绕组的电阻或使用功耗比较大的磁芯。 Q很大时，将有VL=VC>>V的现象出现。这种现象在电力系统中，往往导致电感器的绝缘和电容器中的电介质被击穿，造成损失。所以在电力系统中应该避免出现谐振现象。而在一些无线电设备中，却常利用谐振的特性,提高微弱信号的幅值

13、。品质因数又可写成Q=2pi*电路中存储的能量/电路一个周期内消耗的能量通频带BW与谐振频率和品质因数Q的关系为：BW= /Q，表明Q大则通频带窄，Q小则通频带宽。五结论本文对RLC串联电路和弹簧振子两个系统在理想与实际情况中分别作了类比分析。通过类比分析和使用Multisim仿真系统实现的系统求解，得出LC电路与弹簧振子系统极其相似，两系统的结构参数、描述方程、储存能量等方面均极其相似。现从理想LC电路和理想弹簧振子的类比分析出发，较全面地导出两系统的所有对应关系，这一方面有利于深入理解两系统的物理过程。而进一步分析两系统中的的Q值的代数式和意义，可以通过调节Q值的大小来得到更完备的振荡电路，从而实现预想的功能。经过上述类比方法讲述电路之后,再对正弦电路进行具体分析, 能使我们从不同的角度正确理解振荡电路和机械振动中各物理量的变化规律及在不同悄况下振荡系统的特点，加探了我们对谐振的理解。参考文献1蒋达娅，肖井华，朱洪波，陈以方.大学