(3)2015年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

1、2015 年高考理科数学试卷全国卷 (3)参考答案1 A【解析】由已知得B x 2 x 1 ，故 A B 1,0 ，故选A考点：集合的运算2 B【解析】由已知得4a (a2 4)i 4i ，所以 4a 0,a2 44，解得 a 0，故选B考点：复数的运算3 D【解析】由柱形图得，从2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D考点：正、负相关4 B【解析】 设等比数列公比为q ， 则a1a1q2a1q421， 又因为a13， 所以q4q2 60，解得 q22，所以a3a5a7(a1a3a5)q242，故选B考点：等比数列通项公式和性质5 C【 解 析 】 由 已

2、 知 得 f ( 2) 1 log24 3 ， 又 l o2 g 1 ，2 所 1 以f (log 212) 2log212 1 2log26 6，故f( f 2 2) ，故选C (l o考点：分段函数6 D【解析】 由三视图得，在正方体ABCD A1B1C1D1中，截去四面体A A1B1D1 ， 如图所示， 设正方体棱长为11313a ，则VA A B Da a ，故剩余几何体体积1113 2631353为 a3a3a3， 所以截去部分体积与剩余部分体661积的比值为，故选D5考点：三视图7 C32127【解析】 由已知得kAB， kCB3， 所以kAB kCB1 ， 所以 AB CB ，1

3、 434 1AB CB即 ABC 为 直 角 三 角 形 ， 其 外 接 圆 圆 心 为 (1, 2) ， 半 径 为 5 ， 所 以 外 接 圆 方 程 为(x 1)2 (y 2)2 25，令 x 0，得 y 2 6 2，所以 MN 4 6，故选C考点：圆的方程8 B【解析】程序在执行过程中，a ， b 的值依次为a 14 ， b 18 ； b 4 ； a 10 ； a 6 ；a 2； b 2，此时a b 2程序结束，输出a的值为2，故选B考点：程序框图9 C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC 的体积最11213大，设球O 的半径为R ，此时VO A

4、BC VC AOBR2 RR3 36 ，故 R 6 ，则O ABC C AOB 326球 O 的表面积为S 4 R2 144 ，故选C考点：外接球表面积和椎体的体积10 B【 解 析 】 由 已 知 得 ， 当 点 P 在 BC 边 上 运 动 时 ， 即 0 x 时 ，423P A P B ta2nx 4t；当点a nxP 在 CD 边上运动时，即x , x时，442PA PB (11)2 1( 11)2 1 ， 当x 时， PA PB2 2； 当点P 在tanxtanx232AD 边上运动时，即x 时， PA PB tan x 4 tan x，从点P 的运动过程4可以看出，轨迹关于直线x

5、对称，且f ( ) f ( ) ，且轨迹非线型，故选B考点：函数的图象和性质311 D13 12a b 与 a 2b 平行，所以22xy解 析 】 设 双 曲 线 方 程 为x2 y2 1(a 0, b 0) ， 如 图 所 示 ， AB BMabABM 1200 ， 过 点 M 作 MN x 轴 ， 垂 足 为 N ， 在 Rt BM N中 ， BN a，MN 3a ，故点 M 的坐标为M (2a, 3a) ，代入双曲线方程得a2 b2 a2 c2，即c2 2a2，所以e 2 ，故选D考点：双曲线的标准方程和简单几何性质12 A解 析 】 记 函 数 g(x) f (x) ， 则 g'

6、;(x) xf (x )2 f x( ，) 因 为 当 x 0 时 ， xx''xf( x) f( x) ，故当 0 x 0 时， g (x) 0，所以 g(x) 在 (0,)单调递减；又因为函数f(x)(x R) 是 奇 函 数 ， 故 函 数 g(x) 是 偶 函 数 ， 所 以 g(x) 在 (,0) 单 调 递 减 ， 且g( 1) g(1) 0 当 0 x 1 时， g(x) 0 ，则 f (x) 0；当x 1 时， g(x) 0，则f(x) 0，综上所述，使得f(x) 0成立的 x的取值范围是(, 1) (0,1) ，故选A考点：导数的应用、函数的图象与性质k，1a

7、 b (k a 2b) ，则所以1 2k,2考点：向量共线3142【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形 为 y x z， 当 z 取 到 最 大 时 ， 直 线 y x z 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平13移到 D(1, ) ，则 z x y的最大值为22考点：线性规划515 3【解析】试题分析：由已知得(1 x)4 1 4x 6x2 4x3 x4， 故 (a x)(1 x) 4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax ， 4ax3， x， 6x3， x5， 其系数之和为4a 4a 1+6+1=32， 解得 a 3考点：二项式定理1 16nan 1Sn 1SnSn 1 Sn ，两边

8、同时除以Sn 1 Sn，得SS1n1，1311故数列是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，则11 (n 1) n ，所以SnSn考点：等差数列和递推关系11sin BAC1sin CAB217 【解析】（） S ABD AB AD sin BAD ， S ADC AC AD sin CAD ，因为S ABD 2S ADC， BAD CAD ， 所以 AB 2AC 由正弦定理可得（）因为S ABD : S ADC BD : DC ，所以 BD 2 在 ABD 和 ADC 中，由余弦定理得AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB ， AC2 AD2 DC2 2AD DC cos AD

9、C AB 2AC ，所以 AC 1 22222AB2 2AC2 3AD2 BD2 2DC2 618 【解析】 ()两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散（）记CA1 表示事件：“ A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；CA2表示事件：“ A地区用户满意度等级为非常满意”；CB1表示事件：“ B地区用户满意度等级为不满意”；CB 2表示事件：“ B地区用户满意度等级为满意”C CB1CA1CB2CA2则CA1与CB1 独立， CA2与CB2独立，CB1与CB

10、2互斥，P(C) P(CB1CA1 CB2CA2) P(CB1CA1 ) P(CB2CA2)CA1，CA2，CB1 ，CB 2发生的概率分别为16204 P(CA2)= 24016208，20P(CB1)P(CA1) P(CB2)P(CA2)240， 1200， 280 故 P(CA1)=， P(CB1)= 1200， P(CB2)=10故 P(C)=20 20 20 201684+0.48 19 【解析】（）交线围成的正方形EHGF 如图：（ ） 作 EM AB ， 垂 足 为 M ， 则A M 1A E4 ， EM AA1 8， 因为 EHGF为正方形，所以 EH EF BC 10 于是

11、MH EH 2 EM 26， 所以 AH 10 以D 为坐标原点，DA 的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则A(10,0,0) ， H (10,10,0) ， E (10,4,8) ， F (0,4,8) ， FE (10,0,0) ， HE (0, 6,8) 设n (x, y, z)n (0,4,3)n FE 0,10x 0,是 平 面 E H G F的 法 向 量 ， 则即所 以 可 取n HE 0, 6y 8z 0,AF ( 10,4,8) ，故 cos n,AF45n AF 4 5 所以直线AF 与n AF 15平面 所成角的正弦值为1520 【解析】 ()

12、 设直线 l : y kx b (k 0,b 0) ， A(x1, y1) ， B(x2, y2)， M (xM , yM ) 将 y kx b 代 入9x2y2m得(k29)x22kbxb2m20 ， 故x1 x2kbxM2，2 k2 9yMkxMb29b于是直线OM 的斜率kOMyM9 ，即kOMk 9 所以直k2 9OMxMkOM线 OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值()四边形OAPB 能为平行四边形因为直线l 过点 (m ,m)，所以 l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k 0， k 3399y x,由()得OM 的方程为y x 设点 P 的横坐标为xP 由k 得k2229x

13、y m ,222 kmxP2， 即 xPP 9k2 81 Pkm3 k2 9将点 ( m , m) 的坐标代入直线3l 的方程得b m(33 k) ，xM mk(2k 3) 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段 OP 互相平分，M 3(k2 9)即 xP 2xM 于是km3 k2 92 mk(2k3) 解得k147 ， k247因为 ki0,ki3，i 1 ， 2，所以当l3(k29)12i i的斜率为47 或 47 时，四边形OAPB 为平行四边形21 【解析】 () f'(x) m(emx 1) 2xmxmx若m0 ，则当x(,0) 时，e10 ，f (x)0 ；

14、当x(0,) 时，e10，f ' (x) 0 若m0 ，则当x(,0) 时，emx10 ，f'(x)0 ；当x(0,) 时，emx10，f ' (x) 0 所以， f (x) 在 (,0) 单调递减，在(0,)单调递增m， f (x)在 1,0 单调递减，在0,1 单调递增，故f (x) 在x 0处取得最小值所以对于任意x1, x2 1,1，f (x1)f (x2)e 1 的充要条件是：f(1) f(0) e 1, 即 f( 1) f(0) e 1,em m e 1, em m e 1,， 设 函 数 g(t) et t e 1 ， 则g'(t ) t e 当

15、1 t 0时，g (t) 0；当 t 0时， g (t) 0故 g(t)在 (,0) 单调递减，在 (0,)单调递增又 g (1)0 ， g( 1) e 1 2 e 0， 故当 t 1,1时， g(t) 0 当m 1,1 时， g(m) 0，g ( m) 0 ，即式成立当m 1 时，由 g(t) 的单调性，g(m) 0，即em m e 1m 1 时， g( m) 0，即e m m e 1 综上，m 的取值范围是 1,1 22 【解析】() 由于 ABC 是等腰三角形，AD BC ， 所以 AD 是 CAB 的平分线又因为 O 分别与 AB 、 AC 相切于 E 、 F 两点，所以AE AF ，

16、故 AD EF 从而EF/BC ()由()知，AE AF , AD EF ，故 AD 是 EF 的垂直平分线，又EF 是 O 的弦， 所以 O 在 AD 上 连接 OE ， OM ， 则 OE AE 由 AG 等于 O 的半径得AO 2OE ，所以 OAE 300 所以ABC 和 AEF 都是等边三角形因为 AE 2 3 ， 所以 AO 4 ，OE 2OM OE 2， DM1MN 3 ， 所以 OD 1 于是 AD 5， 2AB 10 3 所3EBCF 的面积 1 (10 3)23 1 (2 3)23 16 323222323 【解析】()曲线C2 的直角坐标方程为x2 y2 2y 0，曲线C3 的直角坐标方程为x2 y2 2 3x22xy2y 0,0 联立xy2 3x 0,x0 解得或y 0, y32 所以 C2 与 C1 交3,2点的直角坐标为(0,0) 和 ( 3232)C1 的极坐标方程为( R, 0) ，其中 0因此 A 得到极坐标为 (2sin , )B 的 极 坐 标 为 (2 3cos , )所以AB 取得最大值，最大值为5AB 2 s i n24 s 3 i cn o，当 ( s 6) 时，424 【解析】 ()因为( ab)2 a b 2 ab ， ( cd )2 c d 2 cd ，由题设a b c d ， ab cd ，得 ( a b)2 ( c