2017年全国高考理科数学试题及答案-全国1卷

1、绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页， 23 小题，满分150 分。考试用时120 分钟。注意事项：1 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使

2、用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。12 小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A x|x 1 ， B x|3x 1 ，则AAB x |x0BABRCAB x | x1DAB2如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方1 A4形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是BC 128D43设有下面四个命题p1 ：若复数z 满足 1 R ，则 z R ；zp2 ：若复数z 满足z2R ，则 z R

3、；p4：若复数z R，则 z R .p3：若复数z1, z2满足z1z2R ，则z1z2 ；其中的真命题为Ap1, p3Bp1, p4Cp2 , p3Dp2, p44记Sn 为等差数列an 的前n 项和若a4a524 ，S648 ，则 an 的公差为A 1B 2C 45函数f (x) 在 (,)单调递减，且为奇函数若D 8f (1)1 ，则满足1 f (x 2) 1x 的取值范围是A 2,2B 1,1C 0,46(112)(1 x)6展开式中x2的系数为xA 15B 20C 30D 1,3D 357某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯

4、视图为等腰直角三角形面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A 10B 12C 14D 168右面程序框图是为了求出满足3n 2n 1000 的最小偶数 n ， 那么在和 两个空白框中，可以分别填入AA1000和nn1BA1000和nn2CA1000和nn1DA1000和nn229已知曲线C1 : y cosx,C2 : y sin(2 x ) ，则下3面结论正确的是A 把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个6单位长度，得到曲线C2B把C1 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C21

5、C 把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的1 倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个26单位长度，得到曲线C21D把C1 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1212个单位长度，得到曲线C2210已知F 为抛物线C : y2 4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l1, l2，直线l1与 C 交于 A、 B 两点，直线l 2 与C 交于 D、E 两点，则| AB|+| DE| 的最小值为A 16B 14C 12D 1011 设 xyz为正数，且2x3y5z，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x5z12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应

6、用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动 . 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4， 1，2，4， 8， 1，2，4，8，16，其中第一项是 20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21, 22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N : N 100且该数列的前N 项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是A 440B 330C 220D 110二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13已知向量a， b 的夹角为60°，| a|=2， | b|=1 ，则 | a +2 b |= .x

7、2y 114设x, y满足约束条件2x y 1 ，则 z 3x 2y的最小值为.xy0x2 y215已知双曲线C : x2 y2 1(a 0,b 0)的右顶点为A，以A为圆心，b 为半径做圆A，ab圆 A 与双曲线C 的一条渐近线交于M、 N 两点。若MAN 60 ，则 C 的离心率为。16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。 D、E、 F 为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC， CA， AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所

8、得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。a217 （ 12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为a3sin A（ 1）求 sin Bsin C ;（ 2）若 6cos BcosC 1,a 3，求ABC的周长.18 （ 12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且BAP CDP 90 .（ 1）证明：平面PAB平面PAD；（ 2）若PA=PD=AB=DC，APD 90 ，求二

9、面角A- PB-C的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N （ , 2）（ 1） 假设生产状态正常，记 X表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在（3 ,3 ）之外的零件数，求P（X 1）及 X 的数学期望；（ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3 ,3 ） 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的1

10、6 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.951 161 16经计算得x 1xi 9.97， s 1(xi x)216i1 i16i1 i116 22 2( xi2 16x2)20.212，16 i1 i其中xi 为抽取的第i 个零件的尺寸，i 1,2, ,16用样本平均数x 作为 的估计值? ，用样本标准差s 作为 的估计值? ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ? 3 ?, ? 3 ?） 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到0.01 ）附：若随机变量

11、Z 服从正态分布N （ , 2） ，则 P（ 3 Z 3 ） 0.997 4 ，0.997 416 0.959 2 ，0.008 0.0920. ( 12 分)C：x2y2=1 (a>b>0)，四点P1(1,1 ) ，P2(0,1 ) ，P3(1，3 ) ，P4(1，a2 b223 ）中恰有三点在椭圆C上 .21）求C的方程；1 ，证明：l 过定点 .21. ( 12 分)f (x) ae2x (a 2)ex x1）讨论f （x） 的单调性；2）若f （x） 有两个零点，求a的取值范围.10 分。请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第22 选修4 4：坐标

12、系与参数方程 （ 10 分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x 3cos , （ 为参数），直线l 的参数方y sin ,x a 4t程为（ t为参数） .y 1 t,1 ）若a=- 1 ，求C与l 的交点坐标；2）若C上的点到l 的距离的最大值为17 ，求a.23 选修4 5：不等式选讲（ 10 分）f (x) x2 ax 4, g(x) | x 1| | x 1|2）设直线l 不经过P2点且与C相交于A， B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1 ）当 a 1 时，求不等式f （ x）g（ x）的解集；2）若不等式f（ x）g（x）的解集包含 1， 1，求 a的取值范围201

13、7 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案12 小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. A2B3B4C5D6C18. （ 12 分）解：7B8D9D10A11 D12A二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13 2 314 -5152316 4 15cm370 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。60 分。2a17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为a3sin A（ 1）求si

14、n Bsin C;（ 2）若6cosBcos C=1， a=3，求ABC的周长.解： （ 1 ）1 a21a由题设得ac sin B，即 csin B2 3sin A23sin A1 sin A由正弦定理得1sinCsinB sinA2 3sin A2故 sin BsinC 。312 ，即1 cos(B C)2)由题设及(1 )得cosBcosC sin Bsin C2所以 B C 2 ，故 A331 a2由题设得bc sin A，即 bc 82 3sin Ab2 c2 bc 9，即 (b c)2 3bc 9，得 b c 33故ABC的周长为3 331 )由已知BAP CDP 90 ，得 AB

15、 AP ， CD PD由于AB / / CD ，故AB PD ， 从而 AB 平面 PAD又 AB 平面PAB ，所以平面PAB 平面 PAD2)在平面PAD 内作 PF AD ，垂足为F由(1)可知，AB 平面 PAD ，故 AB PF ，可得 PF 平面 ABCD以 F 为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，| AB | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz1)及已知可得A( 2 ,0,0), P(0,0, 2), B( 2,1,0), C( 2 ,1,0)2222, CB ( 2,0,0), PA所以 PC (2,0,2 ), AB (0,1,0)设 n (x,y, z) 是平

16、面PCB的法向量，则PC 0, n CB 022即 2 x y 2 z 0, y0n (0, 1,2)设 m (x, y, z)是平面PAB的法向量，则m PA 0,2 x 2 z 0m , 即 2 x 2 z 0,m AB 0y0m (1,0,1)则 cos n, mnm 3|n|m|3319(1 )抽取的一个零件的尺寸在3所以二面角A PB C 的余弦值为312分)解：(3 ,3 ) 之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3 ,3 ) 之外的概率为0.0026 ，故 X B(16,0.0026) ，因此P(X 1) 1 P(X 0) 1 0.9974160.0408X 的数学期望为E

17、X 16 0.0026 0.04162) ( i )如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3 ,3 ) 之外的概率只有0.0026 ，一天内抽取的16 个零件中，出现尺寸在(3 ,3 ) 之外的零件的概率只有0.0408 ，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。( ii )由 x 9.97, s 0.212，得 的估计值为? 9.97, 的估计值为? 0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外，因此需对当天的生产过程进行检查。剔除 (

18、 ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(16 9.97 9.22) 10.0215的估计值为10.0216222xi2 16 0.2122 16 9.972 1591.134i1剔除 ( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为1 (1591.134 9.222 15 10.022) 0.00815的估计值为0.008 0.0920. ( 12 分)解：1)由于P3, P4两点关于y轴对称，故由题设知C 经过P3,P4两点1113又由 2222 知， C 不经过点P1 ，所以点P2 在 C 上a2 b2 a2 4b212a2 4b2解

19、得 a2 41 b2 12故 C 的方程为xy2 142)设直线P2A与直线P2B 的斜率分别为k1,k2如果 l 与 x轴垂直，设l : x t，由题设知t 0，且 |t | 2 ，可得 A, B 的坐标分别为4 t24 t2(t, 42t),(t,42t)则k1k24 t2 24 t221 ，得 t 2 ，不符合题设2t2t2x2从而可设l : y kx m(m 1) ，将 y kx m代入y 1 得4222(4k2 1)x2 8kmx 4m2 4 016(4k2 m2 1) 0设 A(x1, y1), B(x2, y2)，则x1 x28km24m 42, x1 x224k2 1 1 24

20、k2 1k1k2 y1 1 y2 1x1x2kx1 m 1kx2 m 1x1x22 kx1x2 (m 1)(x1 x2 )x1x2k1k21 ，故(2k 1)x1x2 (m 1)( x1 x2) 0即 (2k 1)24m 48km2 (m 1)204k2 14k2 1m1解得 k m 12当且仅当m 1 时，0，于是l:ym1x m，2所以 l 过定点 (2, 1)21. ( 12 分)解：1 ) f (x) 的定义域为(,) ， f (x) 2ae2x(a 2)ex 1 (aex 1)(2ex1)i )若 a 0 ，则 f ( x) 0 ，所以 f ( x) 在 (,) 单调递减 ii )若

21、 a 0 ，则由 f (x) 0 的 x ln ax (, ln a) 时， f (x) 0； x ( ln a, ) 时， f (x) 0所以 f (x) 在 (, ln a)单调递减，在( ln a, ) 单调递增。( 2) ( i )若 a 0，由(1)知， f(x) 至多有一个零点( ii ) 若 a 0 ， 由 ( 1 ) 知 ， 当 x ln a 时 ， f(x) 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为1f ( ln a) 1 ln aa 当 a 1 时，由于f ( ln a) 0 ，故 f ( x)只有一个零点；1 当 a (1,)时，由于 1 ln a 0，即 f ( ln a) 0 ，故 f(x) 没有零a点；1 当 a (0,1)时， 1 ln a 0，即 f ( ln a) 0又 a又 f ( 2) ae 4 (a 2)e 2 2 2e 2 2 0，故 f(x) 在 (, ln a)有一个零点。3设正整