傅里叶变换和拉普拉斯变换的性质及应用

1、/、八1. 前言1.1 背景利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变 换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以 使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积 分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A 函数类的函数转化属于 B 函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变 换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分，也能够利用成分合成信号。 可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯 齿波，正弦波，方波等等。 傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家 Pierre

2、Simon Laplace (拉普拉 斯)(1749-1827)在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基 本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品 概率分析理论 之中。 即使在 19 世纪初，拉普拉斯变换已经发现， 但是关于拉普拉斯变换的相 关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时 也是一位电气工程师的 Oliver Heaviside奥利弗亥维赛(1850-1925) 在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对 于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴 趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉 斯变

3、换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理 理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的 相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶 变换和拉普拉斯变换的区别与联系。1.2 预备知识定理 1.2.1 (傅里叶积分定理)若在（-s, +X）上，函数？?？满足一下条件：（1）在任意一个有限闭区间上面？?满足狄利克雷条件；+s（2）I? ?+s，即？?在（-s, +s）上绝对可积;则？?？勺傅里叶积分公式收敛，在它的连续点 ？处+ s+s/ （ / "1?"? ?OOO*7 丿 丿/ s/-s- s12?-s- s在它的间断点

4、？处(/ ?(?= ?+ 0) + ? 0)定义1.2.1 （傅里叶变换）设函数？?）?满足定理中的条件，则称广?）?为？?的傅里叶变换，记作？（?？二广?定义1.2.2 （傅里叶级数）设函数？?？勺周期为T,则它的傅里叶级数为:?(?- ?+ s+刀?-1(?qos 3 + ?sin 3 t)上式中,2? 石?-?2广?(?一 22?- +?2/?：?)?cos?蛋?？-(?l?2,3,?)一 2?2 2?= ?+ / ? ?sin?= (?2,3, ?)- 2定义1.2.3 （傅里叶逆变换）?)?=+TO? ?TO定义1.2.4 （拉普拉斯变换）若函数？?满足?（?）积分收敛，那么该积分记

5、作+TO?（?= ?= 广?-?0式中s为复数，？?为积分核，上式称为拉普拉斯变换定义1.2.5 （拉普拉斯逆变换）?）称为F（s）的拉普拉斯逆变换?= ?-1?）?定义1.2.6 （卷积）假如?1（t）和？2（t）是（-, +TO）上面有定义的函数，则+TO仁?1（ T ） ?2（t- T ）d T称为? 1（t）和?2（t）的卷积，记为？ 1（t）* ?2（t）?1（t）* ?2（t）二八?1（ T ） ?2（t- T ）d T2. 傅里叶变换的性质及应用2.1傅里叶变换的性质性质2.1.1 (线性性质)设 a B为常数，？1( 3)=?i(t) , ?2(3)= ?2(t)则:? a?l

6、(t) + B?2 (t) = a?l( 3)+ B?2( 3)? -1 a? ( 3)+ B?2 ( 3) = a?i (t) + B? (?)性质2.1.2 (位移性质)设?(?二?( 3),则?(?± ?) = e±j 30?(?)?-1 ?(? ?) = e±j 3?(?)性质2.1.3 (微分性质)设?( 3)= ?(? , ?)?在 ( -X ,)连续或可去间断点仅有有限个,且丿m ?(?= o，贝u：丨？丨 -+°°?(? = ? 33)。?;?)? = (?。证明由傅里叶变换的定义有+TO+TO?”？= 广祝？?？ 广 ?(?)

7、L-/jj丿、/+TO=?e-i3t+ ? (/-X- 乂性质2.1.4 （积分性质）设? ?)? = ?( 3), 若,?im+oo/ ?(?)?=?-OO贝U:证明因为故由微分性质得即? / ?(?)?7?-C?r ?(?)?=?I <7y"'/''' y ' / ' ?( cd) = (? / ? r ?(?)?(?-CO定理2.1.1 （卷积定理）如果 R（ d）= ?i?；?，F2（ d）= ?荻？?，则有:?1?：?)?(? = R( d )F( d)1 Fi( d)?F2( d = 2 n ?(?)?证明+TO? ?

8、2? = j ?K?7771?+TO+TO= j j ? ? ? ?1 2-to- oo+to+to= j?)?j ? ?-?I2+ to+to= jjj(jj?bjjjjjj ?2jjj jj?bjjjjj-jjjj(jjjj)jjjj12 -to- to+to=jF2( 3)j2?j?jjjjjjjjj Fi( 3 )F( 3)-to性质2.1.6（Parseval恒等式）如果有F（ 3）?，则有+to+TO1j |?/(jj2 j? 2?j | jj(jjl)2 j?-TO- to这个式子又叫做Parseval等式。2.2 ?函数及其傅里叶变换定义2.2.1（ ?函数）满足：(1)?=

9、°，TO2? 0,?= 0,+ TO(2) j ? 1-TO的函数是5函数。满足:0?梓?(1) ? ?) = ， ' ' ?，OO ?全?0? ? 0，+ O(2) j ? ?0) ? 1-OO的函数是？?？ ?0)函数。定义2.2.3(?函数的数学语言表述)1- 0 ? ? ? ?= ?0, 其他，T 0时，？?(?的极限叫做s函数，记作&?片lim ?(? F定义2.2.4 (? ?0)函数的数学语言表述)1?(? ?) = ? 0 Q ，0, 其他，T 0时，? ?0)的极限叫做？?？ ?0)函数，记作? ? = ?iim?(? ?0)性质2.2.1(

10、?函数的筛选性质)对任意连续函数？?，有+ Oj ?)? ?0)-OO+ Oj ? ?0) ? ?0)设a为实常数，则:1?= |?( ? 0)定义（单位阶跃函数）5函数是单位阶跃函数在2?0时的导数?= ?（?）这里1 ? 0 ?（?= 1 0 ?* 0称为单位阶跃函数。性质223（?函数的傅里叶变换）因为+TO?)? = / ?2?2? ?=0 = 1-OO+TO? ? = / ? ?0)? ?=?= ?-OO所以? -11, ? ?0)?-1 ,即？?）和1, ? ?0?和?分别构成了傅里叶变换对。2.3傅里叶变换的应用求微分积分方程依据傅里叶变换的性质2.1.1,2.1.3,对需要求解

11、的微分方程的两边取傅里叶变换，把它转换成像函数的代数方程，根据这个方程求解得到像函数，接着继续取傅里叶逆变换即可以得到原方程的解，下图是此种解法的步骤,是解这种类型的微分方程的主要方法。做原画数（方程的昶）.取傅里叶逆变换鼻亀1r“ A11111111111111IlII解代敢方程徹分方程像函教的程例 求积分方程+TO/?)0的解？?(?)其中? -sin?0< ?<?= 20， ? ?解该积分方程可改写为?一广 ?i?)2?2?（?为的傅里叶正弦逆变换，故有:+TO? = /n ?=?0 2 0例232求积分方程1 ?/ cos(1 -2 0? ? cos(1 + ? ?+TO?

12、= ?(?+ 广 ？ ?/ / J / /)-oo其中？?，？(?)是已知函数，而且？?，？?，？(?的傅里叶变换存在。解设? = ?( 3)?(? = ?( 3。由定义 1.2.6 (卷积)可知，方程右端第二项=?故对方程两边取傅里叶变换，根据卷积定理可得：? 3)二？ 3)+ ? 3)? 3)，所以? 3)? 3)1 - ? 3)由傅里叶逆变换，求出原方程的解:1+°1 +o ? 3)?= 一 /? 3) ? 一 /-3- ?2 n - oo2 n - o 1 -:? 3)例233求微分积分方程?+ ?+ ? ?(?)/7/丿-OO的解，其中-o < ?< +o，?

13、? ?均为常数，？(?为已知函数质)，性质2.1.4 (积分性质)，且记?)? = X(?, ?(? = H(?)对原方程两边取傅里叶变换：?X + ?X? + 齐x(? = H(?),X(?=H(?)?.?+?(?-)?f而上式的傅里叶逆变换为+TO+TO?)?=2?/X(?=2?/H(?+ ?> > 解偏微分方程例2.3.4 (一维波动方程的初值问题)用傅里叶变换求定解问题:? ?= - OO < ?< +X?> 0? ?_0 = ?_0 _ ?解 由于未知函数？?(?中？的变化范围为( -OO , + oo),故对方程和初值条件关于？取傅里叶变换，记? ?

14、?(? ?)_ ?(? ?)L >丿 >/(?(? ?)= -?2?(? ?)'/> 厂 7/? ? ?= ?(? ?)= ?(? ?)?=?+ 1) + ?- 1),? ?=?+ 1) - ?- 1)。定解问题已经改变为求含参变量？勺初值问题:?=-?2?=o = ?+ 1) + ?- 1)， ?詡?=0= ?+ 1) - ?- 1)。?（? ?是一个关于t的二阶常系数齐次微分方程，求得通解为?(? ?= ?+?2?由初值条件可知:?= ?+ 1) - ?- 1)，?= ?+ 1) + ?- 1)。因此初值问题的解为:?(? ?)= 石?7?+ 1)- ?- 1)?

15、+ 1) + ?- 1) ?=(?7?(?)1)?对上面的解取傅里叶逆变换，根据性质 2.2.4 （ ?函数的筛选性质）原定解问题的解为:?(?= ?-1 ?(? ?)、 l?丿1 ?OOO*7 LAA7/1 /-oo?+ (?)1) ? ?+ ?=? + ? = ? 2? 2 =cos(? ?)3. 拉普拉斯变换的性质及应用3.1拉普拉斯变换的性质性质3.1.1 (存在性)假如在0, +o)这个区间上?(?可以满足如下的条件：(1)在任意的一个有限的区间上面？?(?分段连续；？M > 0, M是常数，?> 0，使得| ?(?) < ?则在半平面Re(s) > ?0上，

16、+ o广？(？?存在，由这个积分确定的F(s)解析。性质3.1.2 (线性性质)设 k，k2 是常数，?(? = ?(?，?(? = ?(?，则:?+ ?；? = ?(?+ ?(?性质3.1.3 (微分性质)若? = ?,且?) (t)连续，则:?-? = ?- ?0) (Re s>c).更一般的，？n Z+，有：?l? = ?- ?-1 ?0) - ?-2 ?(0) - ? - ?-1 (0) (Re s>c)更一般的，？n Z+，有：?(?=?- ?-1 ?0-) - ?-2?(0-)- ? - ?-1(0-)证明由拉普拉斯变换的定义，分部积分法得：dt+TO ? e c?0+

17、TO=?)e_st |dt+ ?f?)?e-st0= lim ?)e-st - ?0) + ? ? T +TO=?)?- ?0)性质3.1.4 (积分性质)若?)? = ?，则:? f?= 竽。证明则:令？(?？=?则?(?= ?, ?(0) = 0,?'(? = ?(? - ?(0) = ?(?,?。?1? /?= ?)?=0?性质3.1.5 （延迟性质）若？?）?= ?, t V0 时？?？= 0,则？ t>0,t 为常数，有:? ? ? =e-s?）?定理3.1.1 （卷积定理）如果?(?= ?(?, ?(?= ?(?，那么?X?P?2<?) = ?(?(?或者1 ?

18、(?)?(? = ?很？?？?；?证明 由定义有:+TO? ? ? ?2(?)? = / ?(? ? ? ?0+TO?=r 广?(? ?1 20 0由于二重积分绝对可积，可交换积分次序:+TO?(?)? ?2(? = /?；?)?0+TOr ? ?-?2? ?= ?f ? ?-? f?(?-?(?+?2 2? 0=?(?故:+TO?(?-?(?+TO=?( ? f? ?-?厶 i y 0=?(?(?3.2应用解线性微分方程(组)解线性微分方税良徹分方程组的基本思路如下：微分方程-初始条件' 口 '>代数方程卒原解4“变换像解 |例3.2.1 (线性微分方程)求?+ ?=

19、? ? (?> 0)满足初始条件y(0) = ?的特解解对方程两端取拉普拉斯变换，得像方程1sY(s) - ?+Y(s)= ?厂?于是?Y(S) = ?(?1) + ? 1取逆变换，得?= 1 - ?-?)? ?+ ?-?-?,0? ?* ?=1 +(?- ?3?, ?>?例322 （常系数线性微分方程组）?+ ?+?= 1 ?+ ?+ ?= 0?+ 4? = 0满足？?0) = ?0) = ?0) = 0 的解 解 设？? = ?(?) ? = ?(?) ? = ?(?)对每个方程两侧取拉普拉斯变换，得像方程组:1 ?+ ?+ ? = I 丿. V /? ?+ ?+ ?= 0?+

20、 4? = 0解得:?=4?- 1 ?= - 1?4?(? - 1)，?- 1)，?=4?(? - 1)对每个像函数取逆变换:14?- 11131?= ?-1 4?(?- 1) = 4? 亦+易=1(3? ?)?= ?-1 -1?(? 1)?-?1=1 - ? ?= ?-1 4?(?- 1)1 1 1 =4?=1(? ?)例323 （变系数线性微分方程组）?- (1 - ?+ ?= 0 (?> 0, ?> 0)满足？?0） = ?勺0） = 0的解解 由性质3.1.3 （微分性质）可知?= - ?'?=?- ?) - ?(0)=-2sX (s)-?(? / 对原方程两边做拉

21、普拉斯变换得:?(?+ (1 + ?1X(s) = 0解这个分离变量方程:? _?= :?+1?习将？?展开为收敛的幕级数，而后逐项取拉普拉斯变换:? -?t) = ?K2 V?)4. 傅里叶变换和拉普拉斯变换的关系对于函数f t，设t 0时，？?（?等0,当B足够大时，函数f t e的傅里叶变换就有可能存在，即+TO+TOL -k"/'J£/j 丿-oo012?7?b? L ' V " /' ' ' J 再根据傅立叶逆变换可得?-?= / 记？?= ?+ ?(?=孑?，注意到? ?于 是可得当？?？= 0，实际上就是f t的傅里叶变换，所以在一些时候把傅里叶变换称为拉普拉斯变换的特殊情形。引入B的缘故是：f t不一定可以符合傅里叶变换的狄利克雷条件，而？?在？足够大时能够符合傅里叶变换的条件。f t的拉普拉斯变换的本质是？?护?的傅里叶变换，对于ft来说，这种变换改变了傅里叶正变换里的原函数（原函数乘以指数衰