等角螺线及其它详解

1、等角螺线及其它?何谓等角螺线?等角螺线的方程式?趣史一那么?等角螺线上的相似性质?黄金分割与等角螺线?等角螺线的弧长?等角螺线的再生性质?其它螺线举例儿何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，儿何学一词棋至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。曾儿何时，因为某些内在与外在的因素，儿何学的地位似乎已逐渐没落； 在中小学的数学教材里，儿何题材一次乂一次地 被删除。 这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多儿何原理，不了解这些儿何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，乂是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中儿何题材的过度贫乏，

2、实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些儿何题材。在内容方面，笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是儿何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶 点4、 3、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着屮狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向1_1标。假定每 只

3、狗在每个时刻都是正面朝向它的LI标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形 式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为川、Bi、Ci. D 见图一，那么根据四只 AiEiCi di狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形口 ABUD勺中心Q更进一步地，山于在川 点的屮狗系冲向在Bi点的乙狗，所以，屮狗在此一时刻的速度方向在向量上。或者说，中狗所跑的路径在Ai点的切线与直线形成45的夹角。同理，乙狗所跑的路径在Bi点的切线与直线OBi形成45的夹角等等。一般而言，假设一曲线在每个点P的切向量都与某定点 O至此点P所成的向量0戸夹成 一定角，且定角不是直角，那么此曲线称为一等角

4、螺线 (equia ngular spiral), O点称为它的 极点(pole)。前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一局部，此等角螺线中的定角是4(或，因为切向量可选成相反方向)，而其极点是 正方形口 ABCJD 的中心Q等角螺线的方程式r = 0在坐标平面上，假设极坐标方程式表示一等角螺线()，其极OVQVqag 爭(f (9), 9)点是原点O,定角为a (2),那么因在点的切向量为cos9 jf(9) sdnO J, (0) sin 9 + f(9) cos9)所以， 可得cos acos 0(尸 (0) cos0 -f(0)si n0) +sin0(尸(3)

5、 shi0 + /(0) cos 9)WWWw朋)vW)F+W)F由此可得下述结果Inf (8)7W =cot a=9cota +常數In a,(上式兩端積分)9 cot a=ae那么甲、乙、换言之，此等角螺线的极坐标方程式为r = ae在前而所提的四狗追逐问题中，假设中心0是极点而点A的极坐标为r =住凶+寻).r 3卩+乎)丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上：r = ae(0-=曲(却于),前面所提的r = ae ffcota ,就是等角螺线的极坐标方程式。由于在导出此方程式的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线(logarithmic spiral)。趣史一贝

6、9等角螺线的性质，笛卡儿(R. Descartes, 1596? 1630)在1638年就已经考虑 过，但没有获得特殊结果。托里拆利(E. Torricelli, 1608? 1647年)却在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。对于等角螺线的探讨,以伯努利(J. Bernoulli, 1654? 1705年)的成果最为 丰硕。他发现 将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些变换包括：求等角螺线的垂足曲线(pedal curve);求等角螺线的渐屈线(evolute):求等角螺线反演曲线(inversive curve);求等角螺线的焦线 (ca

7、ustic curve):将等角螺线以其极点为中心作伸 缩变换(dil at ion),由于这 些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话Eademmutata resurgo J(虽然某些状况改变了，我却保持不变)。这是继阿基米德(纪元前三世纪)之 后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家。等角螺线上的相似性质根据等角螺线的方程式r = ae 9%a,可以看出：对每个o值，都有一个对应cot ct鼻0的r值；而且不同的0值所对应的r值也不同(因为)o这种现象表示：从等角螺线上某个点出发，随着0值的无限制增大与无限制减小，

8、此曲线会环绕它的极点形成无数多圈，一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点cot a 00 - qqcot a QQ(cotcr 口 GHJK OIJICL 等是一系列的矩 形，这些矩形中每两个都相似亦即：边的比值相等，而且后一矩形 都是由其前面 的矩形挖掉一个正方形而得的。如： 口 UJDFH1由掉正方形口力而得的。此时，上列矩形的第一个顶点A、C E、G I、K 等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是 AE. BF. CG.DH等共交 的点O。假设以o为极点，射线咙为极轴，且q的极坐标为a，7r,那么此等 角螺线的极坐标方程式为二談呵其中。此等角螺线通常称为黄金螺线。1十/为什么会扯上2呢

9、？原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之比。因为由 口 4BQF与口可得BD .BC = BC .CD1 + CV ; BC = BC .CDBC : CD 2 - BC : CD -1 = 01 + x/5BC CD =因爲行 C CDY假设线段 丽上的一点c满足BD :BC = BC :CD,那么称c点将 丽黄金分割。当1十辺2c点将丽黄金分割时，丽：而或 丽：而的值是，此数称为黄金分1十皿2割比。假设一矩形的长边与短边的比值为，那么此矩形称为黄金矩形。山黄金矩形可引出等角螺线，将矩形改成三角形，也会有同样的结果吗？AABC ABCD HCDE SE氏 EFG AFGH在图中、 等

10、是一系列的等腰三角形，这些等腰三角形中每两个都相似，而且后一等腰三角形ABCD都规定是山其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。例如： JLBCadab由挖掉等腰三角形而得的。图六此时，上列等腰三角形的顶点 A、B、C、D E、F、G H等会落在一等 角螺线 上，此等角螺线的极点是丽与而的交点 0。假设以O为极点、射线.语为极轴、且A的极坐标为，那么此等角螺线的极坐标方程式为r = #叭。此等角螺线也称为黄金螺线。此等角螺线也扯上1+2,其理由如下：上述的相似等腰三角形 ABC等，可证明其顶角为36。,而底角为72。,所以，=1+虫2 o此种三角形称为黄金三角形。等角螺线的弧长假定我们想计

11、算等角螺线r = ae 9cota上，辐角。满足3 e那段弧的长，利用前面所提的相似性质，我们可将区间等分成“等分，设每一等h =了印分的长为力，即匚0丄2,先考 虑所8 或甩一。时的极限存在，那么其极限值就是所欲求的弧长。 PgAFoOFi 相似，所以与。又令P表示极坐标必 cot Q,/3 -|- ih的点,Pn AlPnO假设这个和在上述RR+i: PQB OP : OF。eih cot a fli 此可得PDP1 4 P1P2 + -fk l-frvp e(n-l)ftcotaA7T、.(1 + gfecota 丄e2facota _(E&T)沁-1卄八=F0Pl - eh cota-

12、1 ( 假 l?0 Q y)另一方而，利用余弦泄律可求得再根据微积分中的AHospital法那么，可得由此可得lim/i-to eh cot a 21)2+4/j =tanacot aqcot aVI 4-tan2 aa/ cot Qsecalim (F0F1 + PiP2-A 0-Fn-iBt)=(1/五 eco?(小一日)cot a- 1) =a sec Q0 心a /?)n由此可知：在等角螺线r = aetata辐角满足3 e y那段弧的长为:asecaAAA-eAA),此值等于该狐的两端点向径之差与謂ua的乘积。0 V Ct QQ时，可得,所以，极点可以看成是等角螺线的一个终极位置。我

13、们也因此可以问：由点P仇。山，0绕回极点0的长度为多少？这段弧是辐角 0满足QO G 0一，所对应的部分，它的长度可以分别考虑 0满足0 H v/3 /?-2 0T = a,于是，可得丙=OF-secao换言之，由P点绕回o点的弧长与 丙的长相等，这就是托 里拆利所发现的性质见图七。OS前段所提的性质，7H还可作如下的解释：设想等角螺线在直线PT 士作不滑的滚 动，那么极点O最后会移动到八而且在滚动过程中点的运动路径就是OTo等角螺线的再生性质垂足曲线设 C 为一曲线而 O 为一定点，自 O 向 C 的所有切线作垂直线，那么所有垂足 所成的图 形称为曲线C对定点0的垂足曲线。假设C是等角螺线r

14、 = ae 9cota，那么C对其极点的垂足曲线是一个全等的等角螺线，为什么呢？在图七中，假设是在切线 PT 的垂足，那么- 0 + 7i/2 a0 a 7r/2r=OH = OPsma而是P的辐角设。因此可得r =OPsina= asiKQeA-Q+ACOtar a sdn o eA-Os+AA a换言之，所有H点构成等角螺线焦线我们说明设C为一曲线而0为一定点，将过0的所有直线都对曲线 C作反射，假设反 射所得的 所有直线都是某曲线的切线，那么此曲线称为曲线C对定点0的焦线。是极点0对于过P之 假设C是等角螺线r =那么C对其极点的焦线是一个全等的等角螺线 ,法线的对称点，那么直线 0P对

15、等角螺线C反射，所得的直线就是直线 PR 见图七。是点P的辐角设显然， r = 0R = 2CPcos a ?而且页 0 因此，可得r = 20P cos Q = 2a cos001Q换言之，所有R点构成等角螺线r = (2acosa)ef-a)cota因为此等角螺线过R点的切线与直线OR的夹角等于g而直线PR正具有这项性质。也就是说，直线PR就是 此等角螺线在/?点的切线。因此，此等角螺线就是原等角螺线r = e0cota对极点0的 焦线。渐屈线设C为一曲线，作C的所有法线，假设所有法线都是某曲线的切线，那么此曲线称为曲线C的渐屈线。丽丄明如科见图是点P的辐角设ON =0Pcot a, 而且

16、在过P的法线上而且0 假设c是等角螺线r cotQ,那么c的渐屈线是一个全等的等角螺线，我们说 PO因此，可得r OP cot a = (a cot Q) eA_ 手)曲“r = a cot aeA_ 2八004 a换言之，所有N点构成等角螺线。因为此等角螺线过 N点的切线与直线ON的夹角等于a,而法线PN正具有这项性质。也就是说，法线PN就是此 等角螺线在N点的切线。因此，此等角螺线就是C：T = ae9crta的渐屈线。曲线C的渐屈线也可定义为曲线C的每个点的曲率中心所成的图形。在图七中，该等角螺线在P点的曲率中心就是 N曲率半径就是NP =OPesc a)。习题：试证图七中的所有T点所成

17、的图形仍是一个全等的等角螺线，称为原等角螺线的渐伸线involute。其它螺线举例除了等角螺线外，数学上还有许多不同形式的螺线，像阿基米徳螺线、双曲螺线(hyperbolic spiral)抛物螺线(parabolic spiral)连锁螺线(lituus)等，其中的阿基米德螺线 最为有趣，我们略作介绍如下。向径与辐角的比值是常数时，其轨迹称为阿基米得螺线。以极坐标表示时，其方程 式为m其中是常数。早在古希腊时代,大数学家阿基米德就对这种螺线作过研究，并写成一篇名为?On spirals?的作品。PQ在图八中，PQR是一把木匠用的曲尺，其短臂的内侧之长为。，圆O的半径也为“，A与B是圆O上两点

18、，而且LAOB是直角。首先，将曲尺上的QRP与0分别置于O与3,然后将曲尺的长臂内侧 沿着圆O滚动，那么在 滚动过程中，P点所经过的路径就是阿基米德螺线 r = M的一部份。为什么呢？在图八中，已经滚动到与O相切于T点。贝V二弧彷 的长。设_ TQLA.op = 0o于是，可得r = 0P=二弧的长=a.9 (此处0系以胫 为单位)。因为向径与辐角成比例，所以，阿基米德螺线可用来将等角速运动转换成等速直线运动，在图九中，有一个心状的图形是山两段全等的阿基米德螺线弧所接合而成，它们的极点都是 O,其上的F那么连接在一个可上下移动的杆子上。留神状图形以等角速绕O点转动时，就可带动上面的杆子作等速直线运动。图八将阿基米德螺线对其极点作反演变换 ( inversion), 所得的反演曲线是一双曲螺 线，所谓 反演变换，其意义如下：设圆 0的半径为而P是异于0的任意OP