微分中值定理及其应用

1、安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用作者张庆娜系（院）数学与统计学院专业数学与应用数学年级2006级学号06081090指导老师姚合军论文成绩日期2010年6月学生诚信承诺书本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权

2、保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名：导师签名：日期微分中值定理及其应用张庆娜(安阳师范学院数学与统计学院,河南安阳455002)摘要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法，讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用，最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用.关键词：连续；可导；微分中值定理；应用1引言人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中福到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线

3、弓形的底”，这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积.意大利卡瓦列里(Cavalieri)在不可分量几何学(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦，这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理.人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat)在求最大值和最小值的方法中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它称为费马定理.1691年，法国数学家罗尔(Rolle)在方程

4、的解法一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年，法国数学家拉格朗日在解析函数论一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy)，他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著分析教程、无穷小计算教程概论(1823年)、微分计算教程(1829年)，以严格化为其主要目标，对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理.在无穷小计算教程概论中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在微分计算教程中将其推广为广义中值定理一柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃，且已有丰富的成果

5、，相比之下，对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容，而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生，无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究，中值定理都占有举足轻重的作用，因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要.2预备知识由于微分中值定理与连续函数紧密相关，因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.定理2.11(有界性定理)若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有界.即三常数M>0，使得Uxa,b有|f(x)|EM.定理2.2(最大、最小值定理)若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有最大值与最小值.定

6、理2.3(介值性定理)设函数”*)在闭区间出,3上连续,且£(旬#£9).若卜为介于f(a)与f(b)之间的任意实数(f(a)<N<f(b)或f(b)<N<f(a),则至少存在一点Xo亡(a,b)使得f(X0)=J.定理2.4(根的存在定理)若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)<0).则至少存在一点/w(a,b)使f(%)=0,即方程f(x)=0在开区间(a,b)内至少有一个根.定理2.5(一致连续性定理)若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在闭区间a,b上一致连续.定理2.6设区间Ii的右

7、端点为c,cwI1;区间I2的左端点也为c,cwI2(其中Ii,l2可分别为有限或无限区问).若f(x)分别在Ii和I2上一致连续，则f(x)在I1UI2上也一致连续.定理2.7(比较原则)设ZUn和£%是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有Un£Vn,则(1)若级数zvn收敛,则级数zun也收敛；(2)若级数工un发散,则级数工vn也发散.定理2.8绝对收敛的级数一定收敛.3 相关的几个重要定理定理3.1(费马定理)设函数f(x)在点的某邻域内有定义，且在点小可导，若点小为f(x)的极值点，则必有f(%)=0.定理3.2(罗尔中值定理)若函数f(x)满足

8、如下条件：f(x)在闭区间a,b上连续；f(x)在开区间(a,b)内可导；f(a)=f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点七，使得f()=0.定理3.3(拉格朗日中值定理)若函数f(x)满足如下条件：f(x)在闭区间a,b上连续；f(x)在开区间(a,b)内可导；则在开区间(a,b)内至少存在一点"使得f(b)-f(a)f()二；.b-a定理3.4(柯西中值定理)若函数f(x),g(x)满足如下条件：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；f'(x),g'(x)不同时为零；g(a)=g(b)；则在开区间(a,b)内存在一点巴，使得f()_f(

9、b)-f(a)g()g(b)-g(a).注上面各定理的条件是充分的，但不是必要的.4 微分中值定理的应用4.1 证明有关等式在证明一些出现导数的等式时，进行适当的变形后，考虑应用微分中值定理加以证明.还有，就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时，构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数，进行系统分析和阐述，从而证明相关结论.例4.1.1f(x)是定义在实数集R上的函数，若对任意x,yWR，有f(x)-f(y)|EM(x-y)2,其中M是常数，则f(x)是常值函数.证明对任意xwR,x的改变量为Ax,由条件有f(x+Ax)-f(x)MM(A2()即f(x+Ax)f(x)口

10、-<MAx,Ax两边关于双T0取极限得0£.她f(x工x)-f(x)工1叫MX0所以f(x)=0.=f()x=0，即f(x)=f(0),由中值定理f(x)-f(0)故在R上f(x)是常值函数.思路总结要想证明一个函数f(x)在某区间上包为常数一般只需证明该函数的导函数f(x)在同一区间上包为零即可.1x-12x-1例4.1.22设f(x)=1x-23x-2，证明：存在Uw(0,1)，使得f')=0.1x-34x-31-1-1证明由于f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，f(0)=1-2-2=0,1-3-3101f(1)=1-11=0.符合罗尔中值定理的条件，故存在

11、S(0,1)，使f向=01-21例4.1.3若f(x)在0,1上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0，设F(x)=x3f(x),试证在(0,1)内至少存在一个尢使F"K)=0.证明由题设可知F(x),F'(x),F"(x),F"(x)在0,1上存在，又F(0)=F(1)，由罗尔中值定理，三匕w(0,1)使F(1)=0,又F(0)=3x2f(x)+x3f'(x)|xm=0可知F'(x)在上0,1悯足罗尔中值定理，于是,2-(0,1)，使得F(2)-0,又F"(0)=6xf(x)+6x2f'(x)+x3f"(x)|x

12、*=0对F”(x)存在S(0,4u(0,，)u(0,1)，使F()=0.例4.1.44(达布定理的推论)若函数f(x)在a,b内有有限导数，且f«a)匚(b)<0,则至少存在cw(a,b),使得(c)=0.证明f(a)f(b)0妨设f(a):二0,f_(b).0,因为f；(a)=linfx(-fa(x)4d(<由极限的局部保号性可知，三瓦>0,当x_.a-xw(a,a+61)时，f(x)-f(a)<0,即f(x)<f(a).同样3$2>0,当xe(b-§2,b)时，f(x)-f(b)：二0,即f(x):二f(b).b-a取6=min61,

13、62,于是在(a,a+6),(b-6,b)中,分别有2f(x)二f(a)和f(x):二f(b).故f(a),f(b)均不是f(x)在a,b中的最小值，最小值一定是在内部的一点处取得，设为c由费马定理可知，f(c)=0.小结证明导函数方程f(n)(x)=0的根的存在性的证明方法有如下几种：验证函数f(x)在a,b上满足罗尔中值定理的三个条件，由此可直接证明f'色)=0.在大多数情况下，要构造辅助函数F(x),验证在a,b上满足罗尔中值定理的三个条件，证明F'住)=0，进而达到证明问题的目的.验证x='为函数的极值点，应用费马定理达到证明问题的目的.例4.1.5设f(x)在

14、a,b上连续，在(a,b)内可导，0<a<b,试证：三£尸w(ab)使f()看f().证明由于0ca<b,f(x),g(x)=x2,g'(x)=2x=0,xw(a,b)由于f(x),g(x)在a,b上满足柯西中值定理，所以m"w(a,b)使f()_f(b)-f(a)2一b2-a2=小，"=，(),3)由上面二式可得：3Uw(a,b)使得：f()=f().例4.1.6设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1试证：对任意给定的正数a,b在(0,1)内不同的之产使证明由于a,b>0所以0<a&l

15、t;1.ab又由于f(x)在0,1上连续且f(0)=0,f(1)=1.由介值性定理，W(0,1)使得f():f(x)在0,.,1上分别用拉格朗日中值定理有f(.)-f(0)=.f(),(0,)即f()=f(),(0,)f(1)-f()=(1-)f(),(,1)即1-f()=(1-)f(),(,1)于是由上面两式有1-f()bf()=(ab)f()将两式相加得ab(ab)f()(ab)f()小结大体上说，证明在某区间内存在之尸满足某种等式的方法是:用两次拉格朗日中值定理.用一次拉格朗日中值定理，一次罗尔中值定理.两次柯西中值定理.用一次拉格朗日中值定理，一次柯西中值定理.证明不等式在证明不等式时

16、，可以考虑从微分中值定理入手，找出切入点，灵活运用相关微分中值定理，进行系统的分析，从而得以巧妙解决.例4.2.13设f(x),f'(x)在a,b上连续；f"(x)在(a,b)内存在;f(a)=f(b)=0;在(a,b)内存在点c,使得f(c)>0;求证在(a,b)内存在却使f注)<0.证明由题设知存在xj(a,b)，使f(x)在x=x1处取得最大值，且由知f(x1)>0,x=x也是极大值点，所以f(X)=0.f()2由泰勒公式：f(a)-f(x1)=f(x1)(a-x1)(a-x1)，-(a,x1).2!所以f()<0.例4.2.2设0<bMa

17、,证明abElnSWab.abb证明显然等式当且仅当a=bA0时成立.下证当0cb<a时,有a-b,aa-b口n-:二abb作辅助函数f(x)=lnx,则f(x)在b,a上满足拉格朗日中值定理，则m(b,a)使lna-lnb1小a-b由于0<b<J<a,所以1<J<-1ab上小小士1lna-lnb1r由有：二：二，即aa-bba-b,aa-b：ln:二.abb小结一般证明方法有两种利用泰勒定理把函数f(x)在特殊点展开，结论即可得证.利用拉格朗日中值定理证明不等式，其步骤为：第一步根据待证不等式构造一个合适的函数f(x)，使不等式的一边是这个函数在区间a,b

18、上的增量f(b)-f(a);第二步验证f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理的条件，并运用定理，使得等式的另一边转化为f()(b-a)；第三步把f往)适当放大或缩小.利用微分中值定理求极限及证明相关问题f(-n)-f(：n)P-0(nn例4.3.1设函数在x=x0点的某一邻域内可导，且其导数f'(x)在连续，而4<x0<Pn当nT°o时antx0,Bntx0,求limn举二解设%,4二U0(x。)，则由拉格朗日中值定理有f(")一"一n)=f()(：:二：-)Pnnnn.nf(-n)-f(-n)已知-nt%(nT叼，又f<x)在小连续，即

19、f'(x0)=limf'(x)，所以xM0=limf(n)=limf(x)=f(x0).n二x%例4.3.2若f(x)在(a,)内可导，且f(x)+f'(x)=0,求场f(x).分析由式f(x)+f'x)!x=fx(e)',月|进辅助函数F(x)=f(x)ex,g(x)=ex，显然g(x)=Q解由limf(x)+f'(x)=0,知110月X%0当x>X时f(x)+f'(x)<z,令F(x)=f(x)ex,g(x)=ex对x>X，在X,x上利用柯西中值定理有939,.(X,x)g(x)-g(X)g()f(x)ex-f(X)

20、eX_f()f()exX,e-ee亦有Xxf()f(),f(x)-f(X)e一1-eX"|f(x)|_|f(X)|eX,|f()f()l(1eX")由于limeX"=0,所以5xi>X,当x为时有xX公X-xe<6和e<1,于是一x.x1，使|f(x)|-|f(X)|；2；即limf(x)=0.x二小结方法1选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求的最终结果.方法2选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果.证明零点存在性在证明方程根的存在性时，出现满足中值定理的相关条件时，可以考虑运用微分中值

21、定理加以解决.从某种意义来说，微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法.例4.4.1设awR且满足ao+亘+包+3=0，证明方程23n1a0+a1x1+a2x2+.+anxn=0在(0,1)内至少有一个实根.23n-1证明引进辅助函数F(x)=a0x+a1+a2+.+an,23n1显然F(0)=F(1)=0,F(x)又是多项式函数在0,1上连续，在(0,1)可导，F(x)满足罗尔中值定理的条件，故存在巴w(0,1)使F()=0而F(x);a0a1x1a2x2.anxn故方程a0a1x1a2x2.anxn=0在(0,1)内至少有一个实根，注本题构造F(x)的依据是使F(x)得导数恰好是所证

22、方程的左边.例4.4.2证明：方程x5+x-1=0有唯一正根.证明(存在性)令f(x)=x5+x-1,显然f(x)是连续函数，取区间0,N则f(x)在0,N上连续，在(0,N)内可导，且f(x)=5x410,由连续函数的零点定理，知存在w(0,n)使f(x0)=0即方程有正根(N>0).(唯一性)下面用反证法证明正根的唯一性，设处外还有一个K>0不妨设x0<Xi使f(x1)=0则f(x)在%,Xi上满足罗尔中值定理条件，于是存在E(x0,X1)使f()=0这与上面的f(x)=5x4+1>0矛盾.所以，方程有唯一的正根.例f(a)f(b)f()4.4.3g(a)g(b)g

23、()设f(x),g(x),h(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，证明"w(a,b)使h(a)h(b)=0并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例.证明作辅助函数F(x)=f(a)f(b)f(x)g(a)g(b)g(x)h(a)h(b)h(x)由于F(a)=F(b)=0,由罗尔中值定理知h'K)韭w(a,b)使f(a)fb)f()g(a)h(gb)ha)b)若令h(x)-1，则由式有f(a)f(b)g(a)g(b)f()g()由式可得f(b)-f(a)=f()g(b)-g(a)g()此即柯西中值定理.若令h(x)=1,g(x)=x由式有f(a)0=F尸f(b)

24、b由可得此即为拉格朗日中值定理.此类型题的一般解题方法小结证明根的存在性有以下两种方法(1)构造恰当的函数F(x)，使F'(x)=f(x);对F(x)使用洛尔定理即可证得结论存在匕使得f()=0；(2)对连续函数f(x)使用介值定理；证明根的唯一性一般用反证法，结合题意得出矛盾，进而结论得证.4.5函数的单调性例4.5.16证明：若函数“*)在0,2)可导，f(刈单调增加,且£(0)=0,则函数上工凶在x(0,a)也单调增加.证明对任意x1,x2w(0,a),且xex2,则f(x)在0,x1与为区均满足拉格朗日中值定理条件，于是分别存在C|e(0,x1),c2三(x1,x2)

25、，使f9)=f(xQ-f(0)X-0f(C2)=f(X2)-f(X1)X2-X1由于f'(X)单调增加，且f(0)=0，所以f(Xi).f(X2)-f(Xi)一,XiX2-Xi从而f(Xi):二f(X2)XiX2'即函数上侬在(0,a)也单调增加.X证明函数为单调函数一般有两种方法：(i)利用函数单调的定义来证明；(2)利用导函数f(X)来证明.若在该区间上包有f'(X)之0则f(X)为单增函数；若在该区间上恒有f(x)E0则f(X)为单减函数.4.6导数的中值估计例4.6.17设f(x)在a,b上二次可微，(a)=f'(b)=0,则至少存在一点心(a,b),使

26、2f(5-7Z/f(b)-f(a)(b-a)证明因为函数f(x)在a,亘竺与山,b上可导，所以由中值定理有22ab、f(2Af(a)ab(i)f9)=2,G(a，T，-a2f3)=f(b)-f(a2bb-ab2(2)+(2)，并整理得2一f(Q)+f(Ci)=-f(b)-f(a),(3)b-a又f(a)=f(b)=0,且f(x)在a,b上二次可微，则分别在(a,c,)与(c2,b)内至少存在与g,9=f(i),i(j-a(4),(5)，并整理得f9)=f"(-2),-2w(C2,b),(5)C2-bf(C)+f(iC宁f(i)-C七)“42(QCb)(6)将(6)式代入(3)式得2b

27、-a令f()二maxf(b)-f(a)=|f"K)(aa)+f“(%)(C2b)|f"(a),&),则2,-f(b)-f(a)<b-af"(-b|41f晒)|b-af()-(b-a)2f(b)-f(a),Cw(a,b).解题方法小结选择适当的区间分别利用拉格朗日中值定理并进行适当处理，再结合具体题目采用适当的手段最终证得所求结论.证明函数在区间上的一致连续例4.7.1设函数f(x)在(0,1内连续且可导，有lim&f'(x)=0,证明：f(x)在(0,1内一x0-致连续.证明由函数极限的局部有界性知，存在M>0和CW(0,1)，

28、使xf(x)<M,x(0,c于是Vx1,x2W(0,c,且x1/x2不妨设x1<x2由柯西中值定理，如W(x1,x2)，有弋Tl/f(2(，2"I/xT-7'幻=+x2-2jx1x2<x2-x1故Vw>0,3d=min(-)2,c,当x1,x2w(0,c，且x2-x1<6时，由上面两式得到2M1f(x2)-f(x1)<2M百卜2M,x2-x1于是知“刈在(0工上一致连续，由于f(x)在(0,1上连续，所以f(x)在c,1上一致连续,由定理知f(x)在(0,1内一致连续.证明函数在区间上的一致连续解题小结：利用一致连续的定义并结合有关一致连续

29、的定理即可证得结论成立.用来判定级数的敛散性例4.8.1设函数f(x)在点x=0的某邻域内有二阶连续导数，且lim上3=0,证X10x1工f(1)绝对收敛.n1n证明由四)")=0且"*)在*=0可导,知f(0)=0,f'(0)=0故f(x)在点x=0处的一阶泰勒公式为：1919f(x)=f(0)f(0)x五f()x2=2f()x2,(0,x)因|f*(x)|wM，故f(x)=f't)x24Mx2.2!21.(1)Wx=有nf(1)n由于MM(1)2收敛,由比较判别知£f(-)绝对收敛.nq12nnq1n定理网已知f(x)为定义在1,收)上的减函数

30、，F(x)为定义在1,收)上的连续函数，且F(x)=f(x)0,x(1,二).qQ当极限limn(存在时，正项级数匚f(n)收敛，设其和为a,则口二n4limF(n)-F(1)<a<limF(n)F(1)+f(1)；n/n3：qQ当极限limF(n)=s时，正项级数Zf(n)发散.n二ni证明下面只证定理的前半部分.因为函数F(x)在区间k,k+1上满足中值定理的条件(其中k1),所以在(k,k+1)内至少存在之使彳#F(k+1)-F(k)=f(与成立，又f(x)为减函数，故有f(k1):二F(k1)-F(k):二f(k),k=1,2,n.将上述n个不等式相加得f(2)f(3).f

31、(n1)：二F(n1)-F(1)：二f(1)f(2).f(n).令Sn="1)+f(2)+.+f(n),则Sn-f(1)+f(n+1)<F(n+1)-F(1)<Sn,(1)因极限limF(n)存在，f(x)为减函数，从而数列F(n)有界，n：f(n1)：二f(1),qQ所以数列&单调递增且有上界，故极限四Sn存在，即级数£f(n)收敛.从而回f(n)=0,nndn由(1)可得lim-F(n)-F(1)f(n)£lim-F(n)-F(1)-f.nr-.n-n1*、：'2例4.8.2判定级数£l是否收敛？若收敛，请估计其和.nTe

32、解令f(x)=x2e：F(x)=一(x2+2x+2)e：则F(x)=f(x),f(x)=x(2x)e«,故当x之2时，f'(x)M0，此时f(x)为减函数，又2lim_F(n)=0,由定理知级数'、二收敛，nTe且-2一一n一一limF(n)-F_、_limF(n)-F(2)f(2),nT:ngen-所以一r二n2rr0-F(2)f(1-n-<0-F(2)f(2)f(1)nje即2c10ee<14ee.nwe判定级数的敛散性的一般解题方法方法一一股先运用泰勒定理并结合题意，再运用比较判别法即可得到所要证明的结论；方法二先验证级数满足相关定理的条件，即可得到相应结论；5总结人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代，对微分中值定理的研究从微积