第六章大数定理和中心极限定理(全面版)资料

1、第六章 大数定理和中心极限定理（全面版）资料第六章 大数定律和中心极限定理研究随机变量序列的各种极限 （ 或收敛性 ） 的理论 . 我们知道 , 概率 论是研究随机现象统计规律的学科 然而随机现象统计规律性只有在相 同条件下进行大量重复的试验或观 察才能显现出来 , 这就要用到极限 去刻划 . 随机现象在大量重复试验 中呈现明显的规律性 , 这只是一个 信念 , 其确切含义和理论根据是什 么？现在就来解决这些问题 . 极限定理是概率论中最重要的理论 它在概率论与数理统计的理论研究 与应用中起着十分重要的作用 .第一节 契比雪夫不等式这里介绍一个重要的不等式 - 契比雪夫不等式 , 它是大数定律

2、和 中心极限定理的理论基础 .定理 设随机变量X存在数学期望EX和方差DX ,则对任意正数, 成立P| XEX| DX ,此式称为契比雪夫不等式. 或等价地P| X EX |1P| X EX |1证明（1）当X为离散型随机变量分布律为PX X Pi , i 1,2,则有P| X EX| PX x|Xi EX|Xi EX|(XiEX)2PXXi(Xi EX)2PXXiDX(2)当X为连续型随机变量 概率密度为f(x), 则有P| X EX| |X EX|f (x)dx|X EX|(XEX)22f (x)dx2(x EX) f (x)dxDX2例P| X EX | a DX_dx_ 丄,(a 0)

3、'、 2 2(a DX ) a从上述证明方法中，还可以看 出(类似可证),成立P| X|(0,kP| X EX| E|X|kk,1)E(|X EX|k)(0,k 1)；等形式的不等式（车贝谢夫,车贝晓夫，切比雪夫） 例设随机序列Xn和随机变量X ,如果imEIXn Xf 0，则对任意 0,有 limP|Xn XI 0n证明因为对任意0，成立P| Xn X| EX Xf2 ，2利用条件|imE|Xn X| 0，即得成立nim P| XnX |0定理 设随机变量X的数学期望EX和方差DX均存在，且DX 0, 则有 PX EX 1 .证明由车比谢夫不等式P| X EX |DX2 ,得0 P|

4、X1EX| -nDX（丄）2n 1,2,P| X EX| 1 o, n 1,2,n1又| X EX| 0| X EX| -,n 1n '0P| X EX | 0 P( | X EX | 1)n 1nP| X EX| -0,n 1n于是 P| X EX| 01,即 PX EX 1.(P(A1 A.) P(A) P(A2)P(AA2)P(A1)P(A2),P(AA A3)P(A) P(A2)P(A3),P( A)P(Ai)i 1i 1八第二节大数定律在第一章中我们指出，随机事件的频率fn(A)仏，当n 时,nfn(A)具有某种稳定性和统计概n率的定义 5.它们的真正含义，在当 时无法说清楚

5、，现在就来说清楚这 个问题对于这一点，大数定理将 给于理论上的依据.下面只介绍大 数定理的最基本情形定理一(契比雪夫大数定律)设Xi,X2, ,Xn,是相互独立的 随机变量序列，每一个Xi都有有限 的方差，且有公共的上界，即D(Xi) C，i 1,2，n，则对任意0，成立nnlimP| Xi - EXi|1，n i 1 n i 1nninm P| - Xi - EXi |0 .n i 1 n i 11 n证明令 Yn Xin i 1由数学期望的性质，有nnEY E( Xi) EXi，n '1n因 X1,X2, ,Xn, 由方差的性质，得到1 nDYn D( Xi)n i 11 n2i

6、1相互独立,12nc g ,n |1 n利用契比雪夫不等式，可得11 P| XinDXi,i 11nEX,|P| Yn EYn |DYn在上式中,令n1 Ijm P|-n,即得XiEXi|n i 1定义依次序列出的随机变量：X1,X2, ,Xn,简记为Xn,简称 随机（变量）序列Xn.定义对于随机（变量）序列X” 和随机变量X（或常数a）,若对任 意 0,有l”mP|Xn X| 1（或lim P| Xn a| 1）则称随机（变量）序列Xn依概率收敛于X（或常数a）.（等价于 lim P| Xn X| 0）简记为X” P X,（n ）（或 XnP a,（n ）推论（辛钦大数定律）若随机 变量序列

7、Xi,X2, ,Xn,独立同分 布,且存在有限的数学期望和方差EXi ,DXi 2, （i 1,2,） 则对任意 0,有lim P| X |1 ,1 n其中X - Xi .证明由数学期望和方差的性质及 条件，有1 nEXE(Xi)n i 1nnEXi ,n i1n i 11 nDXD( Xi)1 n 22n i1n i11 n -DXi n i1对任意 o,有P| X EX| DX 1 2n1 P|X |于是成立inm P| X| 1 ,即X依概率收敛于常数.这个结论将在第八章中用到 ， 是用样本均值作为总体均值 的点 估计的理论依据.定理二(贝努里大数定律)设 九是n次独立重复试验中事件 A

8、发 生的次数，p是事件A在每次试验中 发生的概率，则对任意0,成立lim P| -Ap| 1 .n证明引人随机变量1,第i次试验中A发生Xi0,第i次试验中A不发生则n次试验中事件 A发生的次数XiX2X-,，-由于是独立试验,所以Xi,X2, ,X- 相互独立，且都服从相同的(0 1) 分布,即PXi 1 p,PXi 01 p,i 1,2,于是EXi p,2 11 2 1 DXi p（i p） p p - e p）-424利用契比雪夫大数定律的推论，得lnm P| 丄 p| nlim P|Xp| 1贝努里大数定律表明：事件A发生的频率n依概率收敛于事件An第三节中心极限定理在对大量随机现象的

9、研究中发 现,如果一个量是由大量相互独立 的随机因素所造成，而每一个别因 素在总影响中所起的作用较小，那么这种量通常都服从或近似服从正 态分布.例如测量误差、炮弹的弹着 点、人体体重等都服从正态分布，这 种现象就是中心极限定理的客观背设随机变量Xi,X2, ,Xn,独立 同分布,且Xi N( , 2),(i 1,2,)n记YnXi , (EYn n ,DYn n 2),i 1Yn* Yn D：Yn Yn nn称为Yn的标准化，则有 Yn*N(0,1)Fy；(X)PYn X (x)对任意实数x,有Yn n 、 limPY x*lim PYnx lim Fx)te'dt(x).一般地，有下

10、述结果。定理三(同分布的中心极限定理)设随机变量X1,X2, ,Xn,独立同 分布,且存在有限的数学期望和方EXi ,DXi(i 1,2,)n记YnXi , (EYnYni 1Yn EYn.DYnYnn , DYn n2),称为Yn的标F/X) PYn、一准化,则对任意实数X,有Yn nIjm p=*lim PYnre'dt2XX变量Xlim FYn*(x)nn(x).定理表明,当n充分大时,随机Xinni 1近似地服从标准正n态分布N(0,1).因此,Xi近似地服i 1从正态分布N(n ,n 2).由此可见,正 态分布在概率论中占有重要的地位.定理四(De Moivre-Laplac

11、e 定 理) 设n是n次独立重复试验中事件 a 发生的次数，p是事件A在每次试验 中发生的概率，则对任意区间a,b, 成立inmpa 爲(爲b1 e'dt (b)(a)证明引人随机变量1,第i次试验中A发生0,第i次试验中A不发生则n次试验中事件 A发生的次数X1x2Xn ,由于是独立试验,所以X1,X2, ,X相互独立，且都服从相同的(0 1) 分布,即PXi 1 p,PXi 01 p,i 1,2, ,n于是EXi P，DXi p(1 P)由定理三，即得计XnXi npJ|mP&r7)*(x)，x 1专2 e dt于是对任意区间a,b,有l|m Panp叩(1p)bt2e 2

12、dt(b)(a).近似计算公式N npnp M np ,p)PNP Nnp(1 p) np(1 p) np(1MnpnpM npn p(1 p)n p(1 p)(M np )n p(1 p)例1某计算机系统有120个终端, n p(1 p)g .每个终端有5%1 勺时间在使用，若各终端使用与否是相互独立的，试求有10个以上的终端在使用的概率. 解以X表示使用终端的个数， 引人随机变量1,第i个终端在使用0,第i个终端不使用1,2, ,120 ,Xi X2X120由于使用与否是独立的，所以 X1,X2, X。相互独立,且都服从相同的(0 1)分布,即PXi 1 p 0.05,PXi 0 1 p,

13、i 1,2, ,120 于是,所求概率为PX 101 PX 101 P X npVnp(1 p)由中心极限定理得PX 10110 np n p(1 p),PX 10X np10 np n p(1 p)1例2现有一大批种子,其中良种占1 P Jn p(1 p)(10 np )n p(1 p)(10 120 0.05 )(120 0.05 0.95)(1.68)1 0.9535 0.0465 .1.现从中任选6000粒，试问在这些6种子中,良种所占的比例与1之误差6小于1%|勺概率是多少？ 解设X表示良种个数， 则1X B(n, p), n 6000, p -,6 所求概率为X iP| 0.01P

14、| X np I n 0.01n 0.01np(1 p)6000 0.01I1 56000I6 6n 6pp丿归|np(1 p)P| X nP I np(1 p)(2.078)( 2.078)2 (2.078) 12 0.98 10.96 .例3设有30个电子器件Di, D2, D30,它们的使用情况如下：Di损坏，D2接着使用；D2损坏，D3接 着使用等等设器件Di的使用寿命服 从参数 0.1（单位：h1）的指数分布 令T为30个器件使用的总时数，问T超 过350h的概率是多少？解设Xi为器件D i的使用寿命，Xi服从参数 0.1（单位:h1）的指数分布，立，X1，X2，X30 相互独XnT

15、X1X2n30，EXi1 110，0.12DXi丄110020.1由中心极限定理得PT 3501 PT 3501 Pd35丄nn1C3500)V30 1011(0.91)1 0.81680.1814 .例4某单位设置一 总机，共 有200架 分机.设每个 分机 有5%的时间要使用外线通话，假定 每个分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机需要安装多少 条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用解依题意设X为同时使用的 分机个数， 则 X B(n, p),n 200, p 0.05,设安装了 N条外线， 引人随机变量1,第i个分机在使用'0,第i个分机不使用i 1,2, ,200

16、,XiX2由于使用与否是独立的,所以 Xi, X2, X200相互独立,且都服从相同的(0 1)分布,即PXi 1 p 0.05,PXi 01 p,i 1,2,200,X N保证每个分机都能即时 使用,PX N 0.9 ,0.9 PX NP X npn p(1p)N np np(1 p)N np np(1 p)(N 200 0.05 )(200 0.05 0.95)N 10*N 103.08),查标准正态分布表乙.9N 10N 1.28 3.08 10 13.94, 取 N 14,答：需要安装14条外线.例5设随机变量Xmxef (x) m!0,x其中m为正整数， 证明P0 X 2(m 1)证

17、明的概率密度为,x 0EXxf (x)dxmxx _x e dxm!m!m!m 2 1 x .0 x e dx(m 2)(mm!1)! m 1,EX2x2f(x)dx 0 x2xxe dx m!1m 3 1x .x e dxm! 01 (m 3)1(m 2)! (m 2)(m1),m!m!DXEX2 (EX)2(m 2)(m 1) (m 1)2m 1 ,利用车贝谢不等式，得P0 X2( m 1)P (m 1) X (m 1) (m 1) P| X (m 1)| (m 1)P| X EX | (m 1), DX , m 11 ； 1 2(m 1) (m 1)第六章信号运算电路6-1下图中的运放A

18、均为理想器件，试求出各电路的输出电压。6-2下图中的运放A均为理想器件，试求出各电路的电压放大倍Av数和输入电阻Ri 06-3要求上题所示的反相比例运算放大器的电压放大倍数为-00输入电阻为10 kQ，试用同一理想运放设计此运算电路的Ri和Rf o6-4要求6-3题所示的反相比例运算放大器的电压放大倍数为-0且当Vi=0.1V时的反馈电阻Rf中的电流等于0.1mA，试用同一理想运放设计此运算电路的 Ri 和Rf o6-6试求下图各电路的输出电压 VO雌 100k QRi50k fiv SOkfijrt_100k 31 ufiivc V. = 1VAG_O1V. = 0*5V 3Sk33k(a)

19、J(WlOOkfi% 1006-7设下图各运放是理想的，分别求出输出电压和输入电压的关系式6-8 下图放大电路中，已知 Ri=R2=R5=R7=R8=10 kQ ,R6=R9=Rio=2O kQ 问R3 ,R4分别应选多大的电阻；列出Vo1,Vo2和V0的表达式； 设 Vii=0.3V, Vi2=0.1V,则输出电压 Vo=?6-9设下图运放是理想的，求出输出电压和输入电压的关系式6-10设下图运放是理想的，求出输出电压和输入电压的关系式4k釆11*1Ik 兄31 I4ASlkQ6-11设下图运放是理想的，分别求出输出电压和输入电压的关系式6-12 证明下图电路中，Vo=(1+Ri/R2)(V

20、i2-Vii)6-13求出下图集成运算放大器的输出电压 V ，已知Vii=30mv , Vi2=100mv, Ri=4 K Q, Rf=40 K Q , Ri=R2=3.6 K Q 。试写出 V与 Vii、Vi2 之间的函数 关系式，并计算Vo的值。6-14求出下列用理想运算放大器组成的电路输出电压V0班级姓名分数一、选择题1、下述实验中，可在运行的太空舱里进行的是（A 用弹簧秤测物体受的重力B.用天平测物体质量北( )C 用测力计测力D.用温度计测舱内温度2 如图所示的三个人造地球卫星，则说法正确的是（）卫星可能的轨道为 a、b、c 卫星可能的轨道为 a、c 同步卫星可能的轨道为 a、 c

21、同步卫星可能的轨道为 a A .是对的B .是对的C.是对的D .是对的3。关于“亚洲一号”地球同步通信卫星，下列说法中正确的是A. 它的运行的速度是 7.9km/sB. 已知它的质量是1.42T,若将它的质量增为 2.84T,其同步的轨道的半径变为原来的2倍C. 它可以绕过北京的正上方，所以我国可以利用它进行电视转播。D. 它距地面的高度约是地球半径的5倍，所以它的向心加速度约是地面处的重力加速度的 1/364. 关于重力和万有引力的关系，下列认识正确的是（）A. 地面附近物体所受到重力就是万有引力B. 重力是由于地面附近的物体受到地球吸引而产生的C. 在不太精确的计算中，可以认为其重力等于

22、万有引力D. 严格说来重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力5. 九大行星绕太阳运行的轨迹可粗略地认为是圆，各星球半径和轨道半径如下表所示：行星名称水星金星地球火星木星十星天王星海王星冥王星行星半径（106m2.446.056.373.3969.858.223.722.42.50轨道半径（1011m0.5791.081.502.287.7814.328.745.059.0从表中所列数据可以估算出冥王星的公转周期最接近于：（）A. 4 年B. 40 年C. 140 年D. 240 年6。2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演

23、“火星冲日”的天象奇观；这是6万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有 5576万公里，为人类研究火星提供了最佳时机。如图为美国宇航局最新公布的“火星冲日”虚拟图A 2003年8月29日，火星的线速度大于地球的线速度；B 2003年8月29日，火星的线速度等于地球的线速度；C 2004年8月29日，火星又回到了该位置；D 2004年8月29日，火星还没有回到了该位置。7 某天体的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h处平抛一物体，射程为L,则在该天体上，从同样高处以同样速度平抛同一物体，其射程为：A. L/6 B L/4 C 3L/2 D 6L&一艘宇宙飞船在一

24、个不知名的行星表面上空作圆形轨道运行，要测定行星的密度，只需要（CD ）测定行星的质量测定飞船环绕的周期A.测定飞船的环绕半径B.C.测定飞船的环绕速度与半径D.9.同步卫星离地心的距离为r，运行速度为V，加速度ai，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度a2第一宇宙速度为V2，地球的半径为R，则（）A. airB . aiRc . ViRD . ViR2 訂. 2-a2Ra2rV2rV2r二、填空题10 .火星的质量是地球质量的丄，火星半径是地球半径的 1,地球的第一宇宙速度是10 27.9km/s，则火星的第一宇宙速度为。11 .已知地球的半径为R，地面上重力加速度为g，万有引力常量为G，

25、如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为 三、计算题12 .神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径R=6.37 x 103 k m，地面处的重力加速度 g=10 m/s2。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期的数值（保留一位有效数字）。13、宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间T，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到 2倍，则抛出点与落地点之间的距离为；3L。已知两落地点在同一水平面上，该行星的半径为

26、R，万有引力常量为 G，求该星球的质量M。（提示：设小球质量为 m，该星球表面重力加速度为 g，则GMm mg ）R2第六章万有引力与航天 单元检测答案与详解123456789C DBDBCDDDACDA C10、 解：利用公式：地面附近G Mmm mg ，得到：在两星球表面的加度素之比R22再利用 mg =nv /r 得 3.53km/s11. 解：地面附近G啤 mg得：M=gR2/G 再利用p =M/VR2最终得旦4G R12.设地球质量为 M，飞船质量为 m,速度为v,圆轨道的半径为r, 由万有引力和牛顿第二定律，Mm2r2vm r地面附近GR2mg解以上各式得T2 ：寫3h=gT 2/2 得 I 由已知条件：r=R+h代入数值，得：T=5 x 103 s13 由几何关系：h2+x2=l2h2+(2x)2=( J)2A.C.C.过点So第一节、选择题：(1)下列等式中成立的是(d f (x) dx f (x)；-Jf(x)dx dx(2)在区间 a, bA. f(x) g(x)；f (x)dxf(x)第五章不定积分不定积分的概念及性质习题)；B.D.内，如果f (x)g(x)dx