大学生数学竞赛精选题(非数学类)

1、2021年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷、填空题(每题5分,共20分),其中区域D由直线xy1与两(xy)ln(1-)1.计算D五、(10分)y1xexe2x,y2dxdyJxy坐标轴所围成三角形区域2.设f(x)是连续函数,且满足f(x)3x22of(x)dx2,那么f(x)3.曲面z2x2一y2平行平面2x22y0的切平面方程是4.设函数yy(x)由方程xef(y)eyln29确定,其中f具有二阶导数,且f1,那么d2ydx2(5分)求极限x2xeelim(x0nx_eJ广,其中n是给定的正整数.1f(x)、(15分)设函数f(x)连续,g(x)of(xt)dt,且l'm2A,A

2、为常数,求g(x)并讨论g(x)在x0处的连续性四、(15分)平面区域D(x,y)10x证：,0y,L为D的正向边界,试sinysinx.siny,(1)xedyyedx-xedyLLsinxyedx；sinysinyxedyyedxLxxeex,y3xexe2xex是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程六、(10分)设抛物线yax2bx2lnc过原点.当0x1时,y0,又该抛物1、-.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的32021年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷、(25分,每题5分)(1)设xn(1a)(1a2)L(1a2),其中|a|1,求limxn.nx2(

3、2)求limx(3)0,求esxxndx(n1,2,L).设函数f(t)有二阶连续导数,rJx2y2,g(x,y)2ig,求1x2乌.y(5)求直线叱00与直线£下丁号的距离.线与x轴及直线x1所围图形的面积为旋转体的体积最小.七、(15分)Un(X)满足Un(x)Un(x)*"(门1,2,),且Un(1)-,求函数n项级数un(x)之和.n12八、(10分)求x1时,与xn等价的无穷大量n0二、(15分)设函数f(x)在()上具有二阶导数,并且f(x)0,limf(x)x0,limf(x)x0,且存在一点,使得f(x0)0.(t)具有x2tt2三、(15分)设函数yf(x

4、)由参数方程(t1)所确定,其中y(t)阶导数,曲线yt2,23与yeudu在t1出相切,求函数(t)o12en四、(15分)设an0,sn4,证实：k1a.(1)当1时,级数,收敛；n1Sn(2)当1且Sn(n)时,级数亘发散.n1Sn五、(15分)设l是过原点、方向为(,),(其中2221)的直线,均匀椭球222xyz2T丁1,其中(0cba,留度为1)绕l旋转.abc(1)求其转动惯量；(2)求其转动惯量关于方向(,)的最大值和最小值.六、15分设函数x具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上,曲线2xydxxdy、积分?一y一y上的值为常数.cxy1设L为正向闭曲线x22y

5、21,证实？2xydx-2x竺0;cxy2求函数x;3设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求2xydx(x)dy42°xy2021年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷计算以下各题此题共3小题,每题各5分,共15分1(1).求limx0sinx1cosx；xx(3)y.求limnln1e2td2y,求一2"tarctanetdx此题10分求方程2xy4dxxy1dy0的通解.三.此题15分设函数fx在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且'"f0,f0,f0均不为0,证实：存在唯组实数k1,k2,k3,使得k1fhk2f2hk3f3hf0lim%0.h02222

6、此题17分设1,其中abc0,_x_y_£_-2.22abc为1与2的交线,求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值.22x3y1五.此题16分S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部z0分z0取上侧,是s在Px,y,z点处的切平面,x,y,z是原点到切平面的距离,表示s的正法向的方向余弦.计算:1dS；2zx3zdSx,y,z六.此题12分设fx是在,内的可微函数,且f、xmfx,其中0m1,任取实数a0,定义anlnfan1,n1,2,.,证实：anan1绝对收敛.n1七.此题15分是否存在区间0,2上的连续可微函数fx,满足f0f21,.、,2.fx1,fxdx1

7、?请说明理由.o2021年第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、本大题共5小题,每题6分共30分解答以下个体要求写出要求写出重要步骤121求极限pmn!n求通过直线l：2xy3Z20的两个互相垂直的平面1和2,使其中5x5y4z30一个平面过点4,3,1.2函数zux,yeaxby,且-0.确定常数a和b,使函数zzx,yxy2满足方程-z0设函数uu(x)连续可微,u(2)1,且(x2y)udx(xu3)udy在右半平面与路径无关,求u(x,y).(5)求极限lim3/7x1,Sintdtxx.tcost二、(此题10分)计算0e2xSinxdx1、求万程x2sin2x501的近似解,精确到0

8、.001.x四、(此题12分)设函数yf(x)二阶可导,且f(x)0,f(0)0,f(0)0,求limxf"3,其中u是曲线yf(x)上点P(x,f(x)处的切线在x轴x0f(x)sinuf(x)dx1的连续函数f(x)都上的截距.五、(此题12分)求最小实数C,使得满足；f(.x)dxC六、(此题12分)设f(x)为连续函数,t0.区域是由抛物面zx2y2和球面x2y2z2t2(z0)所围起来的局部.定义三重积分F(t)f(x2y2z2)dv求F(t)的导数F(t)七、此题14分设an与bn为正项级数,证实:(1)假设limn(2)假设limnan1an1bnbn1an1an1bn

9、bn1n1n10,那么级数an收敛；n10,且级数bn发散,那么级数an发散n1n12021年第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷解答以下各题每题6分共24分,要求写出重要步骤n1 .求极限lim1sinv14n2.n2 .证实广义积分皿dx不是绝对收敛的0x3 .设函数yyx由x33x2y2y32确定,求yx的极值.4 .过曲线yVxx0上的点A作切线,使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形的5 3面积为一,求点A的坐标.4总分值12计算定积分Ixsinxarctane21cosxx-dx总分值12分设在x.处存在二阶导数f°,且皿10证实：级数n1f-收敛nb四、总分值12分设fx,f

10、xxb,证实sinfxdxa五、总分值14分设是一个光滑封闭曲面,方向朝外.给定第二型的曲面积分Ix3xdydz2y3ydzdx3z3zdxdy.试确定曲面,使积分I的值最小,并求该最小值.六、总分值14分设I,r?ydx型,其中a为常数,曲线c为椭22cxy圆x2xyy2r2,取正向.求极限limIar七总分值14分判断级数的敛散性,假设收敛,求其和3,设函数yy(x)由方程xsin2一dt所确定.求4dx4.设xnki(k1)!limxnn2021年全国大学生数学竞赛预赛试题-、填空题(共有5小题,每题6分,共30分)1,y13'和乂xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解,那么该方

11、程是15,lim1xx0f(x)x3f(x)elimxx0x一1d1(此题12分)设n为正整数,计算I2ncosIn-dx.edxx(此题14分)设函数f(x)在0,1上有二阶导数,且有正常数A,B使得|f"(x)|B.证实：对任意x0,1,有|f'(x)|2A.2四、(此题14分)(1)设一球缺高为h,所在球半径为R.证实该球缺体积为2222-(3Rh)h.球冠面积为2Rh;(2)设球体(x1)(y1)(z1)12被平面P:xyz6所截得小球缺为,记球冠为,方向指向球外.求第二型曲面积分xdydzydzdxzdxdy五、此题15分设f在a,b上非负连续,严格单增,且存在人a

12、,b,使得1bf(xn)nf(x)ndx.求limbaan六、此题15分设An2.求limn一nnn42021年第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷、填空题每题6分,共5小题,总分值30分(1)极限limnsin一nn1.2sinn_n22sin2n(2)设函数zzx,y由方程Fx,y-yx0所决定,其中Fu,v具有连续偏导数,且xFuyFv0.贝Uxyxy(3)曲面zx2y21在点M1,1,3的切平面与曲面所围区域的体积3,x(4)函数fx0.x5,0在0,55,5的傅立叶级数在x0收敛的值3设区间0,上的函数ux定义域为的ux2edt,那么ux的初等函数表0达式是12分设M是以三个正半轴为母线

13、的半圆锥面,求其方程.三、12分设fx在a,b内二次可导,且存在常数,使得对于xa,b四、fxfx,那么fx在a,b内无穷次可导.14分求哥级数n32xn0n1!1n的收敛域,及其和函数.五、六、16分设fx,y在x12y21上有连续的二阶偏导数,且假设f0,00,fx0,0fy0,00,证实：fx,ydxdyx2y21xx2fxyyy'.M41、2、3、2021年第八届全国大学生数学竞赛、填空题每题5分,总分值30分在点x0,fa可导,且fa1存在,求极限IA.4、设5、求曲面nfa10,那么lim-nfa2fsinxcosxtan3x有连续导数,且f12,记zfexsin2x,求0an一,22x2一y平行于平面2x2y2二、14分设fx在0,1上可导,f2ex1sinx0的切平面方程.求fx在x0的表达0,且当x0,1,0fx1,a2a3试证当a0,1,0fXdx°fXdx.14分某物体所在的空间区域为222:xy2zxy2z,留度函数为222-xyz,求质量M222.xyzdxdydz.四、14分设函数fx在闭区间0,1上具有连续导数,f00,f11,证实：limnn0