数学归纳法典型例题

1、课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动数学归纳法是用来证明某些与 有关的数学命题的一种方法基本步骤：证明：当 时，命题成立；假设 时命题成立，证明：当 时，命题成立根据可以断定命题对一切正整数nn0都成立数学归纳法部分数学归纳法部分1数学归纳法正整数2数学归纳法证明步骤nn0nk (k n0)nk1课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动1.说明：归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想“观察猜想证明”是解答与正整数有关命题的有效途径课前探究学习课前探究学习活页规范训练活

2、页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等等，所涉及的题型主要有以下几个方面：(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和；(2)由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题成立的参数的值或范围；(3)猜想并证明对正整数n都成立的一般性命题2.数学归纳法的主要应用课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可3应用数学归纳法的注意事项课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练

3、课堂讲练互动课堂讲练互动【例1】 用数学归纳法证明：1427310n(3n 1)n(n1)2(其中nN) 题型一恒等式问题课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动 (1)当n1时，左边144，右边1224，左边右边，等式成立(2)假设当nk(kN N，k1)时等式成立，即1427310k(3k1)k(k1)2，那么，当nk1时，1427310k(3k1)(k1)3(k1)1k(k1)2(k1)3(k1)1(k1)(k24k4)(k1)(k1)12，即当nk1时等式也成立根据(1)和(2)，可知等式对任何nN N都成立证明课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规

4、范训练课堂讲练互动课堂讲练互动用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时，等式两边会增加多少项难点在于寻找nk时和nk1时的等式的联系课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动【例2】 几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个 都相交，

5、且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点 最多分成的圆弧段数为f(n)n2.(n2，nN)题型二几何问题课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂

6、讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动 题型三不等式问题课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动【例4】 (12分)在数列an，bn中，a12，b14，且an， bn

7、，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN) 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公 式，并证明你的结论 归纳猜想证明是高考重点考查的内容之一， 此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问 题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探 索出一般规律题型四“归纳、猜想、证明”问题审题指导课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动【题后反思】 对于已知递推公式求通项公式

8、，可以把递推公式变形转化成我们熟悉的知识来解决，当用上述方法不能解决问题时，常用归纳、猜想和证明的方法来解决问题，用该法要求计算准确，归纳、猜想正确然后用数学归纳法证明猜想对任何自然数都成立课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动【训练4】 设数列an满足an1an2nan1，n1,2,3， (1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项 公式； (2)当a13时，证明对所有的n1，有ann2. (3)在（2）的前提下，证明：2111111121naaa课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动(2)证明当n1时，

9、a1312，不等式成立假设当nk(k1)时不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3.即nk1时，ak1(k1)2.由可知，对n1，都有ann2.（3）证明（略）学生证自己证课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动【示例】 当n为正奇数时，7n1能否被8整除？若能，用数学归 纳法证明；若不能，请举出反例 错解 (1)当n1时，718能被8整除命题成立 (2)假设当nk时命题成立，即7k1能被8整除则当nk1 时，7k117(7k1)6不能被8整除 由(1)和(2)知，n为正奇数时，7n1不能被8整除题型五 整除问题课前探究学习课前探究学习活页规范训练活页规范训练课堂讲练互动课堂讲练互动 不要机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是正奇数的条件证明前要看准已知条件正解 (1)当n1时，718能被8整除，命题成立；(2)假设当nk时命题成立，即7k1能被8整除，则当nk2时，7k2172(7k1)17249(7k1)48，因为7k1能被8整除，且48能被8整除，所以7k21能被8整除所以当nk2时命题成立由(1)和(2)知，当n为正奇数时，7k1能被8整