内江师范学院数学与信息科学学院

1、内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作插值基函数插值基函数Lagrange插值多项式插值多项式插值余项插值余项插值误差的事后估计法插值误差的事后估计法内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作)()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl)(,),(),(10 xlxlxln为在n+1个节点 上的n次基本插值多项式或n次插值基函数。nxxx,10称kikixlik01)(内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开

2、腾 制作制作)()()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn 定义（定义（Lagrange插值多项式）：形如下面插值多项式）：形如下面的插值多项式称为的插值多项式称为Lagrange插值多项式，记插值多项式，记为为 ，即，即)(xLn内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作线性插值的几何意义线性插值的几何意义直线代替曲线！直线代替曲线！内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作二次插值的几何意义二次插值的几何意义二次抛物线代替曲线！二次抛物线代替曲线！内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息

3、科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作 nknkjjjkjknxxxxyxL00)()()(Lagrange插值多项式的另一种形式插值多项式的另一种形式上式的形式对称、结构紧凑，编制程序时，上式的形式对称、结构紧凑，编制程序时，采用二重循环来完成采用二重循环来完成 值的计算。值的计算。( )nL x内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例1：已知：已知 分别分别用线性插值和抛物插值求用线性插值和抛物插值求 的近似值。的近似值。,12144,11121,10100115目的：目的：说明分别采用线性和二次插值的计算和异同。说明分别采用线性和二次插值的计算和

4、异同。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作00()( )(10)()nnjnkkjkjj kxxL xyxx 改写拉格朗日插值多项式有改写拉格朗日插值多项式有式（式（10）的形式对称、结构紧凑，编制程序）的形式对称、结构紧凑，编制程序时，采用二重循环来完成时，采用二重循环来完成 值的计算。值的计算。)(xLn内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作拉拉格格朗朗日日插插值值方方法法的的框框图图内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作三、插值余项三、插值余项)()

5、()(xPxfxRnn的余项。为插值多项式并称时的截断误差，近似代替就是用则)()()()()(xPxRxfxPxRnnnn)11()()!1()()()()(1)1(xnfxpxfxRnnnn),(, )()(01baxxxniin其中, 且依赖于x。定理定理3 设 在区间a,b上有直到n+1阶导 数， 为a,b上n+1个互异 的节点， 为满足条件 的n次插值多项式，那么 对于任何 ，有)(xPn)()(iinxfxP(0,1,2, )in,baxnxxx,10)(xf例例2：已知：已知 分别用分别用线性插值和抛物插值求线性插值和抛物插值求 的近似值。试估计它的近似值。试估计它们的截断误差。

6、们的截断误差。,12144,11121,10100115问：抛物插值所求得的近似值有问：抛物插值所求得的近似值有 位有效数字。位有效数字。4问：线性插值所求得的近似值有问：线性插值所求得的近似值有 位有效数字。位有效数字。311510.71428线性插值线性插值11510.7228抛物插值抛物插值注：注： 的精确值为：的精确值为：10.723805115内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作四、插值误差的事后估计法四、插值误差的事后估计法1、在许多情况下，要直接应用、在许多情况下，要直接应用余项（余项（11）来来估计误差是很困难的，下面介绍另外一种

7、误估计误差是很困难的，下面介绍另外一种误差估计方法：直接利用计算结果来估计误差差估计方法：直接利用计算结果来估计误差的方法。并称这种方法为的方法。并称这种方法为事后估计法。事后估计法。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作)(2)()(2)(20221011xxxxfyyxxxxfyy三点构成的两个线性插值公式三点构成的两个线性插值公式)()(21ff若若112121()()(15)()xxyyyyxx得到，得到，事后误差估计公式事后误差估计公式(修正公式修正公式)：21121221(14)xxxxyyyxxxx有有内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作00847.0)71428.1068182.10(1211441211151151 y2、事后估计法算例分析、事后估计法算例分析7228.1000847.071428.10y用用 ，为节点，求得近似值为，为节点，求得近似值为 121,100