数学分析三试卷及答案

1、数学分析 ( 三 ) 参考答案及评分标准一 .计算题（共8 题，每题 9 分，共 72 分）。1.求函数 f ( x, y)3x sin 13y sin 1 在点 (0,0)处的二次极限与二重极限 .yx解： f ( x, y)3 x sin13 y sin13 x3y，因此二重极限为 0 . (4 分)yx因为 lim 3x sin13y sin1 与 lim 3x sin13y sin1 均不存在，x 0yxy 0yx故二次极限均不存在。(9 分)2. 设 yy( x), 是由方程组z xf ( xy), 所确定的隐函数 , 其中 f 和 F 分别zz(x)F ( x, y, z)0具有连

2、续的导数和偏导数, 求 dz .dx解： 对两方程分别关于x 求偏导 :dzf (xy)xf( xdy，dxy)(1)dx (4分)FxFydyFzdz0。dxdx解此方程组并整理得dzFyf ( x y)xf ( xy)( FyFx ) (9分)dxFyxf (xy)Fz.3.取 ,为新自变量及ww(,v) 为新函数，变换方程2 z2zzz 。x2x yx设xy ,xy ,wzey（假设出现的导数皆连续） .22解： z 看成是 x, y 的复合函数如下：zwy , w w( , ),x y ,x y 。 (4 分)e22代人原方程，并将 x, y, z变换为 , ,w 。整理得：2 w2

3、w2w 。 (9分)24. 要做一个容积为 1m3 的有盖圆桶 , 什么样的尺寸才能使用料最省 ?解： 设圆桶底面半径为 r , 高为 h, 则原问题即为： 求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数 :S表2 rh2 r 2 ,约束条件 :r 2 h1。r 2( r 2h (3 分)构造函数： F (r , h,)2rh21) 。令Fr2h4r2 rh0,(6 分)Fh2rr 20.解得 h2r ，故有 r31, h34由题意知问题的最小值必存在，当底面半2.径为 r31高为 h34时，制作圆桶用料最省。 (9 分)2,y35. 设 F ( y)e x2 y dx , 计算 F ( y)

4、.y2解：由含参积分的求导公式y3x2 yy32x2 y2x2 yx y32 yex2 y(5 分)F ( y)y 2edxyy 2x edx3yex y2y32ydx 3y2e y72 ye y5y2 x2 e x7 y2e y75 ye51y32ydx 。(9 分)y2 e x222yyx2y22xy6. 求曲线所围的面积，其中常数 a,b, c0 .a2b2c2解：利用坐标变换xacos ,由于 xy0 ，则图象在第一三象限，从而可ybsin .以利用对称性，只需求第一象限内的面积。,0,0abcos 。 (3分 )2c2 sin则ab1(x, y)2V 2d d22dc 2 sinco

5、s(6 分)( , )00ab da2b22 sincosdc20a2b2 (9分)2c2.52,其中 L是圆柱面与 平面7. 计算曲线积分 3zdxxdyydz2y21xLz y 3的交线（为一椭圆），从 z 轴的正向看去，是逆时针方向 .解：取平面 zy3 上由曲线 L 所围的部分作为公式中的曲面，定向为上侧，则 的法向量为cos,cos,cos0,1,1。(3 分)22由公式得coscoscos3zdx5xdy 2 ydzdSLxyz3z5x2 y2dS(6 分)22dxdyx2 y2 12(9 分)8. 计算积分, S 为椭球 x2y2z21的上半部分的下侧.yzdzdxa2b2c2S

6、解：椭球的参数方程为 xa sin cos, ybsinsin , z c cos，其中02,02, 且( z, x)ac sin2sin。(3 分)(,)积分方向向下，取负号，因此，yzdzdx22 bac2 sin3 cossin 2d(6 分)0d0bac22d2 sincosd0sin 2304abc2(9 分)二 . 证明题（共3 题，共 28 分）。9. （9 分）讨论函数 f (x)xy3,x2y20x2y4在原点 (0,0) 处的连续性、0,x2y20可偏导性和可微性 .解：连续性：当 x2y20 时，xy2x2y4yy，当 x, y0,0 ，f ( x)x2y4 yx2y4

7、220从而函数在原点 0,0处连续。(3 分)可偏导性： f x 0,0limf0x,0f0,00，0xxfy0,0limf0,0yf0,00 ，yy0即函数在原点0,0 处可偏导。 (5分 )ffx x f y yx y31不存在，可微性： limx2y2limyx2x2y2 0x2 y2 0 x24y2从而函数在原点 0,0处不可微。 (9分 )10. （ 9 分） （9 分） 设 F x, y 满足：（1）在 Dx, yx x0a,y y0b 上连续，（2） F x0 , y00 ，（3）当 x 固定时，函数 Fx, y是 y 的严格单减函数。试证：存在0，使得在xxx0上通过 F x,

8、 y0 定义了一个函数 yy( x) ，且 yy( x) 在上连续。证明：（i ）先证隐函数的存在性。由条件（ 3）知，F x0 , y在y0b, y0b上是y的严格单减函数，而由条件（2）知 F x0 , y00 ，从而由函数 Fx0 , y 的连续性得F x0 , y0b 0 ， F x0 , y0b 0 。现考虑一元连续函数 F x, y0b 。由于 Fx0 , y0b 0 ，则必存在 1 0 使得F x, y0b 0 ， x O ( x0 , 1 ) 。同理，则必存在20 使得F x, y0b 0 ， x O ( x0 , 2 ) 。取min( 1, 2 ) ，则在邻域 O (x0 ,

9、 ) 内同时成立Fx, y0b0 ，F x, y0b0 。(3 分 )于是，对邻域O( x0 ,) 内的任意一点x ，都成立Fx, y0b0 ，Fx, y0b0 。固定此 x ，考虑一元连续函数Fx, y。由上式和函数 Fx, y关于y 的连续性可知，存在 Fx, y 的零点yy0b, y0b 使得F x, y 0。而 F x, y 关于 y 严格单减，从而使 F x, y 0 的 y 是唯一的。再由 x 的任意性，证明了对:O ( x0 ,) 内任意一点，总能从Fx, y0 找到唯一确定的y 与 x 相对应，即存在函数关系f :xy 或 yf ( x) 。此证明了隐函数的存在性。(6 分 )

10、（）下证隐函数yf ( x) 的连续性。设 x* 是:O ( x0 ,) 内的任意一点，记y*:fx*。对任意给定的0 ，作两平行线yy*，yy*。由上述证明知F x* , y*0 ， F x* , y*0 。由 F x, y的连续性，必存在 x* 的邻域 O (x* , ) 使得F x, y*0 ， F x, y*0 ，x O (x* , ) 。对任意的 x O (x* ,) ，固定此 x 并考虑 y 的函数 F x, y，它关于 y 严格单减且F x, y*0 ， F x, y*0 。于是在 y*, y*内存在唯一的一个零点y 使F x, y0 ，即 对任意的 xO (x* , ) ，它对

11、应的函数值 y 满足 yy*。这证明了函数y f ( x) 是连续的。 (9 分)111dx 在 02 上是否一致收敛，并给出证明。11. （ 10 分）判断积分xsin0x证明：此积分在02上非一致收敛。证明如下：作变量替换 x1 ，则t11sin11sin tdt 。(3 分)0 xdxt 2x1不论正整数 n 多么大，当 tA , A 2n,2n3时，恒有44sin t2 。 (5 分)2因此，A1sintdt2A1dt (7 分)At 22At 2214t2At222时。20 ，当42n344因此原积分在 02 上非一致收敛。(10 分)注：不能用判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下

12、：尽管对任意的 B1 积分Bsin tdt 一致有界，且函数1关于 x 单调，但是当1t221x时，关于0,2并非一致趋于零。事实上，取t n, 相应地取1t1112，则 limlim1 0 ，并非趋于零。nt211tnn nlim nnn 数学分析 3模拟试题一、解答下列各题（每小题5 分，共 40 分）1、 设 zln(xy ), 求xzyzxy ；uz sin y ,x3s22t , y4s2t 3 , z 2s23t 2 ,u ,u2、x求stuexsin(x2 u1)3、设),xy( 2,y求在点处的值；4、求由方程 xyzx 2y2z 22 所确定的函数 zz( x , y) 在点

13、 (1,0,1)处的全微分 dz ；5、求函数 uln( x 2y 2z2 ) 在点 M (1,2, 2) 处的梯度 gradu (1,2,2) ；6、求曲面 zez2 xy3 在点（ 1，2， 0）处的切平面和法线方程；e xe 2 x7、计算积分：0xdx；8、计算积分：I1dx1ey2dy0x；x 2y 2z21二、 (10 分 ) 求内接于椭球a 2b 2c 2的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。三、（ 10分 ） 若 D 是 由 xy1和两坐标轴围成的三角形区域，且1( x )dxf ( x )dxdy( x).D0，求arctgy d其 中 D 是 由 圆 周 x 2y

14、 24, x 2y 21 及四、（ 10分）计算 Dx,y0yx 所围成的在第一象限内的闭区域.五、（ 10Iex (1cos y)dx( y sin y)dyx，分）计算L，其中 L 为00 y sin x 的全部边界曲线，取逆时针方向。10I( x yz)dS六、（分）计 算，其中是半球面x 2y 2z2a 2 , z 0(a0) 。sin( xy )七、（ 10 分）讨论含参变量反常积分4x 2 dx 在 y(,) 内的一致收敛性。参考答案一、解答下列各题（每小题5 分，共 40 分）z zxy1、 设 zln(xy ), 求xy ；zx1y11;z1y11解：x2xyx2y；xzz1x

15、1y1xy2xy2xy2y。uz sin y ,x3s22t , y4s2t 3 , z2s23t 2 ,u ,u2、x求st ；uuxuyuz解：sxsyszsz cos yy6szcos y14sin y4sxx 2xxx6 yzscosy4zyyx2xxcos4ssinxxuuxuyuztxtytztzcos yy2z cos y1 (6t 2 )siny ( 6t )xx 2xxx2 yzy6t 2 zyyx2cosxcos6t sinxxxuexsin(x2 u1),y 在点( 2,3、设y 求 x处的值；uxex cos( x )解：yy2y2 ue x( x1) cos( x )

16、x sin( x )x yy 2yyy2 u12xy ( 2,e2)。4、求由方程 xyzx 2y2z 22 所确定的函数 zz( x , y) 在点 (1,0, 1)处的全微分 dz ；解：在原方程的两边求微分，可得yzdxxzdy xydzxdxydyzdzx 2y 20z2将 x1, y0, z1 代入上式，化简后得到dzdx2dy5、求函数 uln( x 2y2z 2 ) 在点 M (1,2,2) 处的梯度 gradu (1,2, 2) ；graduu,uu,解：xyz2xz2 , x 22 yz2 , x 22zx 2y2y 2y 2z2gradu(1,2,2)21,2,29。6、求

17、曲面 zez2xy3在点（ 1， 2， 0）处的切平面和法线方程；解：记 F ( x, y, z)zez2 xy3,n(2 y,2 x,1ez )( 4,2,0)在点（ 1， 2， 0）处的法向量为：(1,2,0)则切平面方程为：4( x1)2( y2)0, 即 2xy4 0x 1 y 2 z 0x 2y 3 0法线方程为：420，即z 0。e xe 2 x7、计算积分：0xdx；exe2 xexy dy2解：x1exe2x2xy dydxdx00ex1而 f ( x , y)exy在 0,)1,2 上连续，且e xy dx0在 1 ， 2 上一致收敛，则可交换积分次序，于是有2dyexydx

18、2 1dyln 2原式101 y。8、计算积分：I1dx1e y2dy；0x解：交换积分顺序得：I1y 2dyy1yey2dy1(1e1).edx0200x 2y 2z21八、求内接于椭球a 2b 2c 2的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。解：设长方体在第一卦限的顶点坐标为（），则长方体的体积为：V8 xyzLxyzx 2y2z21a2b2c 2拉格朗日函数为2 x0(1)yz2aa2 y0( 2)xxz23b2z0( 3)bxy2yx 2c3y 2z21( 4)c由 a 2b 2c 2z解得：3a, b ,c根据实际情况必有最大值，所以当长方体在第一卦限内的顶点坐标为333Vm

19、ax8abc.时体积最大。33f ( x)dxdy1( x )dx九、若 D 是由 xy1和两坐标轴围成的三角形区域，且 D0，求( x).11 x1f ( x )dxdydxf ( x )dy(1x ) f ( x)dx000解：D( x )(1x ) f ( x ).arctgy d2y24, x2y2十、计算Dx, 其中 D 是由圆周 x1 及 y 0 yx 所围成的在第一象限内的闭区域.D(r ,) 0,1 r 2解：4y42232arctg ddrdr4drdr011Dx064 。十一、计 算 IL ex ( 1cos y)dx( ysin y)dy ， 其 中 L 为 0 x，0

20、y sin x 的全部边界曲线，取逆时针方向。QPye x解：由格林公式：xyI所以yex dxdyex dxsin xydy00D1e x sin 2 xdx1(1e ).205I( xyz)dS十二、计算，其中是半球面x 2y 2z2a 2 , z0(a0) 。I( x y x ) 1 zx2zy2 dxdy解：D : x 2y2 a2( x ya 2x 2y 2 )a 2adxdya 3 .Dx 2y 2十三、讨论含参变量反常积分sin( xy )1解：4 x 24 x 2，而sin( xy )所以由 M判别法知，4x 2sin( xy)4x 2 dx 在 y ( ,) 内的一致收敛性。

21、1dx4x 22 收敛，dx(, ) 内的一致收敛。在 y 数学分析 3模拟试题十四、解答下列各题（每小题5 分，共40 分）1、设 z x y ( x 0, xxz1 z1) ，求 y xln x y ；zz2、 zu 2 vv 2 u,ux cos y,vx sin y ，求 x ,y ；2 z3、设 zx ln( xy ) ，求xy ；4、设 z 是方程 xyzez所确定的 x 与 y 的函数，求 dz ；5、求函数 zxe 2 y在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0)到点 Q(2,1) 的方向导数；6、已知曲面 z4x 2y 2上点 P 处的切平面平行于平面2 x2 yz1，求 P

22、点的坐标。e 2 xe3 x0xdx7、计算积分：;I1dy1ex 2dx8、计算积分：0y；x 2y 2z,二、 (10 分 ) 原点到曲线xyz1 的最大距离和最小距离。f ( x 2y2z2 )dxdydzR( x )dx三、（10 分）已知0， 其中为球体：x 2y 2z2R2，求( x).( 2xy) 2dxdy，其中 D 是由圆周 x 2y 21 所围成的区域。四、（ 10 分）计算 DIxy 2dyx 2 ydx，其中 L 为圆周 x2y21，取逆时针方向。五、（ 10 分）计算L六、（ 10I( xyyzzx)dS为锥面 zx 2y 2分）计算，其中被拄面x 2y 22ax 所割下部分。七、（ 10分）讨论含参变量反常积分0eyx sin xdx 在 y y0 ,)( y00) 内的一致收敛性。参考答案十五、 解答下列各题（每小题5 分，共 40 分）1、设 zz解：xxzyx2、 zu2 vx y ( xyx y 1 ,1 z ln x yv 2 u,xz1z0, x1)