二次函数与特殊四边形综合问题专题训练

1、【解答】(1) .直线y7 b =2c = 2抛物线的解析式为y - - x2 x 22二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、(2013河南)如图，抛物线y= x2+bx+c与直线y =1 x+2交于C, D两点，其中点C在y轴上，点D的2坐标为(3 7)。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点 P作PE _L x轴于点E ,交CD于点F .2-(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。1 x+2 经过点 C,一. C(0,2)22 7、.,抛物线y =x +bx + c

2、经过点 C(0, 2), D(3,3)2 = c 72-=-32 3b c2(2) ,点P的横坐标为 m且在抛物线上2 7_. 1一P(m, -m- m 2), F (m, -m 2)22PF / CO，当PF =CO时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形2 71 当 0<m<3时，PF = _m +-m+2(m+2) 222二m 3m.2-m +3m =2 ,解得：m =1,m2二2即当m =1或2时，四边形OCPF是平行四边形127 当 m 23 时，PF =(-m+2)-(-m +-m+2)2=m -3m23 - a/173 - 17m 3m=2,解得：m1 =, m

3、2 =(舍去)22即当317,，一 口一 ,m1=-一时，四边形OCFP是平行四边形2练习1： (2013?盘锦)如图，抛物线 y=ax2+bx+3与x轴相交于点A ( - 1, 0)、B (3, 0),与y轴相交于点C,点P为线段OB上的动点(不与 O、B重合)，过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F,点D在y轴正半轴上，OD=2,连接DE、OF.(1)求抛物线的解析式；考点：二次函数综合题.分析： (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)平行四边形的对边相等，因此 EF=OD=2,据此列方程求出点 P的坐标;解答： 解：(1)二.点 A (-1, 0)、B (3,

4、0)在抛物线 y=ax2+bx+3 上，.a-b+3=0L9a+3b+3=0解得 a= - 1, b=2 ,，抛物线的解析式为：y= - x2+2x+3 .(2)在抛物线解析式 y= - x2+2x+3 中，令 x=0,得 y=3,C (0, 3).设直线BC的解析式为y=kx+b ,将B (3, 0), C (0, 3)坐标代入得：(驰+bR解得 k= - 1, b=3, y= x+3 .设 E 点坐标为(x, x2+2x+3),贝U P (x, 0), F (x, x+3), . EF=yE - yF= - x2+2x+3 - (-x+3) = - x2+3x . 四边形ODEF是平行四边

5、形， .EF=OD=2 ,- x2+3x=2 ,即 x2 - 3x+2=0 ,解得x=1或x=2 ,.P点坐标为(1, 0)或(2, 0).练习 2：已知抛物线的顶点为 N2, 1),且经过原点 O,与x轴的另一交点为 B。(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以 Q C D B四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D点的坐标；(3)连接OA AB,如图，在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得OBFPfOABIf似？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由。(1)由题意可设抛物送的驿圻式为y=a ( x-2) .1抛物送过原点，/+0-a(0-2) 2+1

6、 f(2 "口图1,当四边形OCDB是平行四边形时r CD=OB r由0=行-2 ) ,I得Xi=O ,刈=4 , 4aB (4.0) r OB=4,由于对称轴x= 2Q点的喷叁标为6 .将x=6K入y=(x-2 ) :-l r 得y=T r 4.，D(6rT)；东据抛期线的对格性可知，在对称粕的左侧范物线上存在点D ,使得四边形0MB是平行四边形,此时D点的坐琼为12 , T ),当四边彩。匚BD是三行四边形时，D点即为A点，1Z时D点的叁标为(2 , 1)不存在.如图2 ,由抛物税的对称性可知：AO=AB r上AOB=±AB。.百-BOP与-AOB相似 f 0<z

7、POB = zBOA = zBPO设OP交地物线的对点轴于Ar点，显然内 (2.1).陵0P的解析式为3(1)求点B的坐标;(2)求抛物线的解析式及顶点坐标;1 1 i由-X二 T'X r 得Xl = 0 r Xz = 6 .2 4过P作P三，x轴，在Rt-BEP中 r BE=2 f PET,二PB .A (1,0)OB ,j.zBOP#zBPO f>PB。与-BA。不相似r同理可说明在对邓由左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物送上K存在点P r使得-BOP与-A。B韦似一 12tan. OCA= 一练习3：（本题满分12分）如图，抛物线y=ax +bx+设点E在x

8、轴上，点F在抛物线上，如果 A、C E、F构成平行四边形，请写出点 E的坐标（不必书写计算过与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点，3,S.ABC -6(3)程）.答案：24、解：(1) y = ax2 +bx + 3.C (0,3)/- 1又tan /OCA=一又S aabc=613 AB =62.AB=4 .B ( -3 , 0)(2)把 A (1,0)、B ( 3 , 0)代入 y =ax2 +bx + 3得:'0=a+b 十3八 1分0 =9a -3b+3 a-1, b - -22 y = -x -2x +3 2分y = -(x 1)2 4顶点坐标(1,4) 1分(3)AC为平行

9、四边形的一边时E1析(一1 , 0) 1分E2 ( -2 - ", 0) 1分E3 ( 2 + 77 , 0) 1分AC为平行四边形的对角线时E4 (3, 0) 1分点P是直线P的横坐标;练习 4： (2011南宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A (3, 0)、B (0, -3),AB上的动点，过点 P作x轴的垂线交抛物线于点 M,设点P的横坐标为t.(1)分别求出直线 AB和这条抛物线的解析式.(2)若点P在第四象限，连接 AM、BM,当线段PM最长时，求 ABM的面积.(3)是否存在这样的点 P,使得以点P、M、B、。为顶点的四边形为平行四边形？若存在

10、，请直接写出点若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定. 专题：压轴题；存在型.分析：(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A (3, 0) B (0, - 3)分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b,得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；(2)设点P的坐标是(t, t-3),则M (t, t2-2t-3),用P点的纵坐标减去 M的纵坐标得到 PM的长，即PM= (t-3) - ( t2 - 2t - 3) = - t2+3t,然后根据二次函数的最值得到当t=-士一

11、l=3时，PM最长为0- §、=9，再利用三角形的面积公式利用Sa abm=S bpm+S*pm计算即可;一 一 2，.一4(3)由PM / OB,根据平行四边形的判定得到当PM = OB时，点P、M、B、。为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3, PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3, (t2-2t-3) - ( t-3) =3;当P在第三象限：PM=OB=3, t2-3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.解答：解：(1)把 A (3, 0) B (0, 3)代入 y=x2+mx+n,得V 0-3+3/11解得,2

12、 ,所以抛物线的解析式是y=x2- 2x- 3.-3=nn= - 3、X.设直线AB的解析式是y=kx+b,把 A (3, 0) B (0, -3)代入 y=kx+b,得，解得:I-3=b b=-3所以直线AB的解析式是y=x-3;(2)设点 P 的坐标是(t, t-3),则 M (t, t22t3),因为p在第四象限，所以 PM= (t3) ( t2 - 2t - 3) = - t2+3t,当t=-/=3时，二次函数的最大值，即 PM最长值为 =9:一 1124i 927贝U SAabm=Sbpm + Sapm= 乂 X 3= .(3)存在，理由如下: PM / OB,当PM=OB时，点P、

13、M、B、。为顶点的四边形为平行四边形,当P在第四象限：PM=OB=3, PM最长时只有 9,所以不可能有 PM=3.4当P在第一象限：PM=OB=3, (t2-2t-3) - (t-3) =3,解得t尸之，t2= § 一 匹(舍去)，所以P点的横坐22标是如；2当P在第三象限：PM=OB=3, t2-3t=3,解得ti=»亚(舍去)，t2=3 一历,所以P点的横坐标是3 倔.222所以P点的横坐标是 世巨或A技 22【抛物线上的点能否构成矩形，菱形，正方形】三、形成提升训练(下面两题难度较大)1、(2007义乌市)如图，抛物线 y = x22x-3与x轴交A、B两点(A点在

14、B点左侧)，直线l与抛物线交于 A、C两点，其中C点的横坐标为2.(1)求A、B两点的坐标及直线 AC的函数表达式；(2) P是线段AC上的一个动点，过 P点作y轴的平行线交抛物线于 E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在 x轴上是否存在点 F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.52、如图，抛物线经过 A(_1,0), B(5,0), C(0, 3)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点巳 使PA+PCW值最小，求点 P的坐标；(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否

15、存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.解析：解：(1)设抛物线的解析式为根据题意，得a -b +c =0,25a +5b +c =0,5c = 一12 -2,解得b = 2,5 c =- .2抛物线的解析式为:(第26题图)2y = axbx c,(第26题图)x2.2x-5（3分）(2)由题意知，点 A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接BC交抛物线的对称轴于点P,则P点即为所求.设直线BC的解析式为y = kx + b ,5k b =0,b = -5212,解得25b 二 一一2直线BC的解析式为15y = x22（6分）1

16、 2-5一抛物线y= -x 2x_的对称轴是x=2, 22,15当 x =2 时，y =1x522 3点P的坐标是（2,-）.（7分）(3)存在（8分）(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示,四边形ACNM平行四边形，. .CN/ x轴，点C与点N关于对称轴5、 一x=2对称，= C点的坐标为(0,-一)，.点 2 _5、N的坐标为(4, 一).2（11 分）(II)当存在的点N在x轴上方时，如图所示,作 N H _Lx轴于点H, 四边形 ACM N是平行四边形，_ ' ' ' ' _ _AC=MN,. NMH =. CAO,Rt CAO 9 Rt N M H , . N H = OC .5,一，55点C的坐标为(0, -),，N H =一,即N点的纵坐标为 一，2221 25 59x 一2x =一，即 x 4x-10=02 2 2解得 x =2 ,14,x2 -2 -x14.，点N的坐标为(2-五,2)和(2 ,哈综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为(4,-5). , (2 十疝, 5)