古诺均衡及其扩展

1、古诺均衡及其拓展假设市场反需求函数为p(Q)aQ，企业的生产成本为C(Q)cQ,求：(1)完全垄断市场结构下的均衡产量、价格和利润；(2) 完全竞争结构下的均衡产量、价格和利润；(3) 双寡头结构下的古诺均衡的产量、价格和利润；(4) n家同质企业结构下的古诺竞争的产量、价格和利润，并证明这一结果包含了上述三种情形下的结果。(5) 双寡头勾结下的产量、价格和利润；(6) 如果双寡头中有一方遵守配额协议，另一方违反协议时，各自的产量、价格和利润；(7) 比较(3)(6)的结果证明古诺均衡是一个纳什均衡，而勾结的配额是不稳定的；(8) 求双寡头产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？(9)

2、 求n家企业产量竞争在重复博弈结构下，选择合作的条件是什么？比较结果(8)(9),你会得出什么结论。(10) 求双寡头在序贯行动情形下的stackelberg均衡解。并与古诺竞争均衡解对比，说明first-moveradvantages,并通过反应函数图来解释这两个均衡。(1)完全垄断结构下，只有一家企业，Maxp(Q)QC(Q),Q利润最大化的一阶条件为：a2Qcqmac2ac2(2)完全竞争结构下，有n家相同企业，总需求函数p(Q)aQa“q,每一家的边际成本为c，而且完全竞争情形下价格是给定的(price-taker),对家企业来说，边际收益就是p,根据利润最大化的条件MR=M,C这时最

3、优的价带入总需求函数p(Q)aQ,可以得到根据对称性假设,每家企业的均衡产量为acqin每一家的利润(3)双寡头结构下，p(Q)aQa(qiq2)，边际成本都为c。企业1的利润函数为ip(Q)qicqi(a(qiq2)qicqiMaxip(Q)功利润最大化的条件为acq2qi容易看出，这一结果表明,企业2i的最优产量取决丁企业2的产量，这也正是博弈论中战略依存(strategic-interdependence)这一核心理念的反映。我们把这一结果称为企业i的反应函数。同样道理，我们可以得出企业2的反应函数q2ac勺2若存在一个战略组合(q：,q；)同时满足这两个反应函数，则这个博弈存在一个古诺

4、-纳什均衡解(Cournot-NashEquilibrium)2ccaccacccacqiq2十p十i2339(4)n家企业结构下，总需求函数p(Q)a,每一家的边际成本为c。企业i的利润函数为Nipqicqi(aqi)qcqii利润最大化的一阶条件:qiqi家企业存在一个类似的反这就是企业1的反应函数。根据对称性假设，应函数。如果存在一个纳什均衡的战略组合，那么qcAi1,.,i,.,NpCn1n1当门分别等丁1、2时，这一结果等同丁垄断和双寡头的结果，当n时,cacanccac2limqlim0limplimclimilim()0nnn1nnn1nnn1这一结果和完全竞争情形下结果相同。由

5、此可见，古诺竞争模型是刻画市场竞争模型的更加一般的方法。(5)双寡头勾结情形下(申谋、卡特尔),相当丁两家企业像一家独占企业一样行事，分配垄断产出配额和利润，维持垄断价格，所以collusionq1,.qmcollusionQq1collusionpcollusion1collusion2(6)假设企业遵守卡特尔协议，则-McollusionQacq2而企业1则把企业2这一产量看做给定,去生产自己利润最大化的产量，所以企业1背叛情形下的利润最大化为cq1betray3(ac)q1丁betraycollusion1pqcq(aqq2)q可以看出，这一产量大丁遵守勾结协议下的产量，而总产量的增加必

6、然会导致均衡价格低丁垄断价格，容易知道pbetray3a5cbetraycollusioncapp0。因为市场存在的前提是保留价格大丁边际成本，所以上式小丁betray19(ac)264而此时企业2的利润会因为均衡价格的下降而减少，所以被欺骗的的企业的产出和利润为fooledq2collusionq2八MQac2fooled3(ac)24232比较得,fooled3(ac)2collusion.Mac2.9()2collusionacbetray9(ac)23221_12864(7) 利用双寡头古诺竞争、勾结和背叛情形下的结构构造一个NormalForm的博弈框架如下回CollusionBet

7、rayCollusioncollusion1collusion2fooled1betray22ac2ac3(ac)29(ac)2883264Betraybetray1fooled2cournot1cournot29(ac)23(ac)22ac2ac643299假如两家企业都假设对方遵守协议的情况下会背叛，而且这是一个commonknowledge,那么双方的均衡就是古诺均衡。可以看出，(Betray,Betray)的古诺竞争均衡是这个博弈的纳什均衡，而(Collusion,Collusion)不是纳什均衡的结果。这个均衡说明给定对方遵守协议的情形下，每个企业都有背叛的积极性。这也就是现实中卡特

8、尔协议难以稳定存在的原因。从反应函数图上看，古诺产量组合(侦，号)是纳什均衡，而产量组合(EW)不构成纳什均衡，因为给定企业1生产兽M，企业2的反444应函数表明他的最优产量是大丁克亳的。4q2从EvolutionaryGame勺角度看，古诺均衡的产出是在博弈双方头脑中理性计算多次互动后产生的。就是首先给定企业生产一个任意产量q11，企业2会把这一产量带入自己的反应函数，寻找自己的最优产出q2(q1),依次类推，收敛丁(号，S)。这就是古诺-纳什均衡在动态意义是价值。这说明，即使初始的产量决策没有完全的理性，但是通过多次的互动、学习、适应调整，古诺均衡产量一定会出现。在双寡头重复博弈的架构下，

9、假设企业1有一个触发战略(TriggerStrategies,或称冷酷战略，GrimStrategies)：a,开始阶段选择勾结产量(也即选择合作)；b,选择勾结产量直到企业2选择了古诺产量，然后永远选择古诺产量。本质上这个触发战略是个战略承诺。通俗的说，就是企业1会一开始会选择合作，直到对方出现不合作的行为，然后选择永远不合作我们来分析在这一条件下，企业2的战略选择。如果选择与企业1合作，则每-期生产古诺均衡的产出甘,获得利润2零，设时间贴现因子'则合作的长期收益为:2n)ac8(1)而如果选择不合作，则第一期获得利润2由于企业采取触发战略,企业2从第二期开始各期利润为不合作的长期收

10、益为:229(ac)ac2649(22n)9(ac)ac6491企业2选择合作的条件是合作长期收益大丁不合作的长期受益，即222史上9(ac)史万解不等式得：-08(1)649117那么这一条件的含义是什么呢？我们来考虑贴现因子的经济学含义。贴现因程度，或者按照费雪的说法，反映了人们的不耐(impatient)程度。一.1在数重上，,r为利息率。对丁一个普通人来说，如果他愿怠接受1r6%勺利息率而把钱存入银行，那么他的贴现因子就是子时间偏绿或者时间偏好程度的表达，反应了人们在当前和未来之间的财富替代10.94,所以从16%现实中的利息率的变动范围来看，正常人的不耐程度都是比较大的。9一.、一.

11、-所以兰是个很容易满足的条件。这也说明了，在正常的时间眼界条件下，17合作在两个人长期博弈中是容易达成的。(8) 当上述合作结构不仅限丁2家，而是在n家企业之间展开博弈时，合作的条件是什么呢?我们来看企业的1的决策行为。假定其他n-1家企业都坚持触发战略，那么企业选择合作的每一期产量为Qn利润为_直，长期利润为:n4n2ac-(14n背叛情形下的产量和利润。假定其他n-1家企业分别生产合作的产量QMac斗三卢，那么企业1的最优产量为Max1pq1cq(aqiq1i1c)q(a(n1)ac亏q1c)q1利润最大化的产出为q1(n1)(ac)4n，此时的市场价格为22pna3ncac，企业1的利润

12、为(n1)(ac)4n16n而此后其他企业选择触发战略，企业从第2期开始选择古诺均衡的产量三，获得利润2ac(n1)2选择背叛的长期利润为:222(n1)2(ac)2ac(16n2(n1)2'n)22(n1)2(ac)216n22c(n1)21所以选择合作的条件为:2ac4n(1)(n1)(ac)216n2(n1)解得:(n1)216n2(n1)216n21(n1)2(n1)2(n1)2161(n一)n容易知，当时,趋近于1,所以n家企业合作的条件随着企业数目的增加而变得越来越严峻,或者说越来越难以满足0总结上述结论，可以看出，合作的达成受到两个方面因素的影响:1. 时间眼界，越有耐心

13、合作越容易达成；2. 参与博弈的人数。人数越多，合作越困难。(9) 序贯行动的博弈和Stackelberg均衡解。假如博弈的顺序不是simultaneousmove，而是sequentialmove:企业1首先选择产量，然后企业2根据企业1的产量选择自己的最优产量。在这个博弈结构下，我们看到，企业2的决策受到了企业1决策的影响。我们用backwardinduction方法来求解。q2)q2cq2在第二阶段企业2的最优决策:Max2p(Q)q2cq2(aq1q2利润最大化的条件为:cq1在第一阶段，企业1在明确企业2的反应函数(也就是战略)情形下做出自己的最优决策：Max1p(Q)qcq(aqq

14、?)qcqs.t.q?acq1q222解得:sacsq1q2acsa3csacsacP，1-，2一12244816与古诺均衡利润1c:ac2-相比，企业1获得更多利润,而企业2所获利9润减少可以看出，通过率先采取行动，可以获得First-moverAdvantages,这就是战略承诺(strategiccommitment)或威慑(deterrence)的价值。战略承诺有以下的表现形式：a. 率先主动采取行动，先发制人，压缩对方的战略选择空间，使得对手选择退让，避免正面冲突导致两败俱伤大规模投资，造成沉没成本sunkcostb. 事先发出声明；c. 长期明确坚持某一原则。如不承诺放弃武力，(不

15、)承诺不首先使用核武器，不与恐怖分子谈判；Leader-Followermatrix回LeaderFollowerF1Leader00,、2,、2(ac)(ac)816Follower22(ac)(ac)168cournotcournot22acac99限止定价(LimitPricing)和掠夺定价(PredatoryPricing)和消耗战假设在上述的Leader-Follower的Stackelberg模型中，其他条件不变,但是成本函数是C(q)Fcq就是说，进入这一行业必须首先支付一个固定成本F,比如建造工厂，租赁店铺，或者前期的广告推广等等。所以这是一个更加接近现实的假定。我们再来看这种情形下克争均衡。不影响均衡产量q：q：122但是成本的改变会改变利润量。所以由丁利润最大化是边际条件的决策，所以:a3cP&