导数公式的证明

1、导数的定义：f(x)=limAy/AxAxT0(下面就不再标明xT0了)用定义求导数公式f(x)=xAn证法一：(n为白然数)f(x)=lim(x+Ax)An-xAn/Ax=lim(x+Ax-x)(x+Ax)A(n-1)+x*(x+Ax)A(n-2)+.+xA(n-2)*(x+x)+xA(n-1)/Ax=lim(x+Ax)A(n-1)+x*(x+Ax)A(n-2)+.+xA(n-2)*(x+x)+xA(n-1)=xA(n-1)+x*xA(n-2)+xA2*xA(n-3)+.xA(n-2)*x+xA(n-1)=nxA(n-1)证法二：(n为任意实数)f(x)=xAnlnf(x)=nlnx(lnf

2、(x)'=(nlnx)'f(x)/f(x)=n/xf(x)=n/x*f(x)f(x)=n/x*xAnf(x)=nxA(n-1)f(x)=sinxf(x)=lim(sin(x+Ax)-sinx)/Ax=lim(sinxcosAx+cosxsinAx-sinx)/Ax=lim(sinx+cosxsinAx-sinx)/Ax=limcosxsinAx/Ax=cosxf(x)=cosxf(x)=lim(cos(x+Ax)-cosx)ZAx=lim(cosxcosAx-sinxsinAx-cosx)/Ax=lim(cosx-sinxsinAx-cos)/Ax=lim-sinxsinAxZ

3、Ax=-sinxf(x)=aAx证法一：f(x)=lim(aA(x+Ax)-aAx)ZAx=limaAx*(aAAx-1)/Ax(设aAAx-1=m，则x=logaA(m+1)=limaAx*m/ln(m+1)/lna=limaAx*lna*m/ln(m+1)=limaAx*lna/(1/m)*ln(m+1)=limaAx*lna/ln(m+1)A(1/m)=limaAx*lna/lne=aAx*lna证法二：f(x)=aAxlnf(x)=xlnalnf(x)-xlna'f(x)/f(x)=lnaf(x)=f(x)lnaf(x)=aAxlna若a=e，原函数f(x)=eAx则f(x)=

4、eAx*lne=eAxf(x)=logaAxf(x)=lim(logaA(x+Ax)-logaAx)ZAx=limlogaA(x+Ax)ZxZAx=limlogaA(1+AxZx)ZAx=limln(1+AxZx)Z(lna*Ax)=limx*ln(1+AxZx)Z(x*lna*Ax)=lim(xZAx)*ln(1+AxZx)Z(x*lna)=limln(1+AxZx)A(xZAx)Z(x*lna)=limlneZ(x*lna)=1Z(x*lna)则f(x)=1/(x*lne)=1/xf(x)=tanxf(x)=lim(tan(x+Ax)-tanx)/Ax=lim(sin(x+Ax)/cos(

5、x+Ax)-sinx/cosx)/Ax=lim(sin(x+Ax)cosx-sinxcos(x+Ax)/(Axcosxcos(x+Ax)=lim(sinxcosAxcosx+sinAxcosxcosx-sinxcosxcosx+sinxsinxsinAx)/(Axcosxcos(x+Ax)=limsinAx/(Axcosxcos(x+Ax)=1/(cosx)A2=secx/cosx=(secx)A2=1+(tanx)A2f(x)=cotxf(x)=lim(cos(x+Ax)/sin(x+Ax)-cosx/sinx)/Ax=lim(cos(x+Ax)sinx-cosxsin(x+Ax)/(Axs

6、inxsin(x+Ax)=lim(cosxcosAxsinx-sinxsinxsinAx-cosxsinxcosAx-cosxsinxcosx)/(Axsinxsin(x+Ax)=lim-sinAx/(Axsinxsin(x+Ax)=-1/(sinx)A2=-cscx/sinx=-(secx)A2=-1-(cotx)A2f(x)=secxf(x)=lim(sec(x+Ax)-secx)/Ax=lim(1/cos(x+Ax)-1/cosx)/Ax=lim(cosx-cos(x+Ax)/(AxcosxcosAx)=lim(cosx-cosxcosAx+sinxsinAx)/(Axcosxcos(x

7、+Ax)=limsinxsinAx/(Axcosxcos(x+Ax)=sinx/(cosx)A2=tanx*secxf(x)=cscxf(x)=lim(csc(x+Ax)-cscx)ZAx=lim(1Zsin(x+Ax)-1Zsinx)ZAx=lim(sinx-sin(x+Ax)Z(Axsinxsin(x+Ax)=lim(sinx-sinxcosAx-sinAxcosx)Z(Axsinxsin(x+Ax)=lim-sinAxcosxZ(Axsinxsin(x+Ax)=-cosxZ(sinx)八2=-cotx*cscxf(x)=xAxlnf(x)=xlnx(lnf(x)'=(xlnx)&

8、#39;f(x)Zf(x)=lnx+1f(x)=(lnx+1)*f(x)f(x)=(lnx+1)*xAxh(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim(f(x+Ax)g(x+Ax)-f(x)g(x)ZAx=lim(f(x+Ax)-f(x)+f(x)*g(x+Ax)+(g(x+Ax)-g(x)-g(x+x)*f(x)ZAx=lim(f(x+Ax)-f(x)*g(x+Ax)+(g(x+Ax)-g(x)*f(x)+f(x)*g(x+x)-f(x)*g(x+Ax)/Ax=lim(f(x+Ax)-f(x)*g(x+Ax)/Ax+(g(x+Ax)-g(x)*f(x)ZAx=f(x)g(x)+f(x)

9、g'(x)h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim(f(x+Ax)/g(x+Ax)-f(x)g(x)ZAx=lim(f(x+Ax)g(x)-f(x)g(x+Ax)/(Axg(x)g(x+Ax)=lim(f(x+Ax)-f(x)+f(x)*g(x)-(g(x+Ax)-g(x)+g(x)*f(x)/(xg(x)g(x+Ax)=lim(f(x+Ax)-f(x)*g(x)-(g(x+x)-g(x)*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)/(Axg(x)g(x+Ax)=lim(f(x+Ax)-f(x)*g(x)/(Axg(x)g(x+Ax)-(g(x+Ax)-g(x)*f(x

10、)/(xg(x)g(x+x)=f(x)g(x)/(g(x)*g(x)-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x)xh(x)=f(g(x)h'(x)=limf(g(x+Ax)-f(g(x)/Ax=limf(g(x+Ax)-g(x)+g(x)-f(g(x)/Ax(另g(x)=u,g(x+Ax)-g(x)=Au)=lim(f(u+Au)-f(u)/Ax=limf(u)*AuZAx=limf(u)*(g(x+Ax)-g(x)/Ax=f(u)*g'(x)=f(g(x)g'(x)(反三角函数的导数与

11、三角函数的导数的乘积为1,因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)y=f(x)=arcsinx贝Usiny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy=1/v1-(siny)A2(siny=x)=1/5X2即f(x)=1/v1-xA2y=f(x)=arctanx贝1Jtany=x(tany)'=1+(tany)A2=1+xA2所以(arctanx)'=1/1+xA2即f(x)=1/1+xA2总结一下(xAn)'=nxA(n-1)(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(aAx)'=aAxlna(eAx)'=eAx(logaAx)'=1/(xlna)(lnx)'=1/x(tanx)'=(secx)A2=1+(tanx)A2(cotx)'=-(cscx)A2=-1-(cotx)A2(cscx)'=-cotx*cscx(