定积分的应用62878

1、摘要微积分的创立是数学史上一个具有划时代意义的创举，也是人类文明的一个伟大成果. 定积分概念的发生过程告诉我们，概念的形成经历了漫长及众多数学家的努力，闪现出函数思想、极限思想、无穷小方法、化归方法等许多重要的数学思想方法，同时概念的结构也存在着不同层次，呈现出立体结构本文简略的论述了定积分的概念、发展以及它在数学、物理学、初等数学等学科的应用做了重点研究。讨论了定积分在计算平面图形面积、立体图形体积以及物理方面的应用，尤其在初等数学方面，定积分的应用进一步得到推广，如求数列极限、证明不等式、等式等。幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。关键词：定积分；数学；物理；初等数学目录内容摘要关键词

2、第一章 定积分的概念 1.1定积分的定义 1.2定积分的几何意义 1.3定积分的性质第二章 定积分在数学中的应用2.1计算平面曲线的弧长2.2计算图形的面积2.3计算立体图形的体积第三章 定积分在物理学中的应用3.1定积分在力学中的应用3.2定积分在电学中的应用第四章 定积分在初等数学中的应用4.1利用定积分证明不等式4.2利用定积分证明等式4.3利用定积分证明数列的极限参考文献结束语第一章 定积分的概念1.1定积分的定义定义1 设闭区间a，b上有n-1个点依次为 a=x0x1<x2<<xn-1<xn=b，它们把a，b分成n个小区间i=xi-1，xi，i=1,2，n。这

3、些分点或这些闭子空间构成对a，b的一个分割，记为T=x0，x1，xn或1，2，n。小区间i的长度为xi-xi-1，并记T=xi称为分割T的模.定义2 设f是定义在a,b上的一个函数.对于a,b的一个分割T=1,2,n,任取点iI,i=1,2,n,并作和式。称此和式为函数f在a，b上的一个积分和，也称黎曼和。定义3 设f是定义在a，b上的一个函数，J是一个确定的实数。若对任给的实数，总存在某一个正数，使得对a，b的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要T，就有,则称函数f在区间a，b上可积或黎曼可积；数J称为f在a，b上的定积分或黎曼积分，记作J=。其中，f称为被积函数，x称为积分变量，a，

4、b称为积分区间，a、b分别称为这个定积分的下限和上限。说明（1）用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：1.2定积分的几何意义 如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号 分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值考察和式不妨设于是和式即为阴影的面积阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）1.3定积分的基本性质性质1 若f在a,b上可积，k为常数，则kf在a,b上可积，且。 性质2 若f,g都在

5、a,b上可积，则f±g在a,b上也可积，且。 性质1与性质2是定积分的线性性质，合起来即为，其中为常数。 性质3 若f,g都在a,b上可积，则fg在a,b上也可积。 在一般情形下。注意，在一般情形下。性质4 f在a,b上可积的充要条件是：任给c（a,b），f在a,c和c,b上都可积。且。规定1 当a=b时，令；规定2 当a>b时，令。性质5 设f为a,b上的可积函数，若f(x)0,xa,b,则。推论 若f与g为a,b上的可积函数，且f(x)g(x).xa,b,则有。性质6 若f在a,b上可积，则|f|在a,b上也可积，且 |.第二章定积分在数学中的应用2.1计算平面曲线的弧长 定义1设曲线C有参数方程给出，若C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为。 （1） 若曲线C有直角坐标表示，把它看作参数方程时，即为. 所以当在上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，这是弧长公式为. (2)若曲线C