大学高等数学第一章函数(习题精讲)

1、第1章函数§ 1.1 函数的概念与性质1.绝对值与不等式a1abb调和平均值几何平均值算术平均值般地，-X2XnXnX23max a,ba ba, b22.函数概念与性质对变量x D的每一个确定值，变量y按某确定规那么f，都有且只有一确定值与之对应，那么称变量y是变量x的函数，记为y f (x)，x D 。注意：定义域 D和对应规那么f是函数相等的两要素。1无关性 y f(x) f (t) x,t D2单调性x1, X2 I , x1 x2f(xj f (x2)f(x)单调递增f(xj f (x2)f(x)单调递减f (x1) f(x2)f (x)严格单增f(xj f (x2)f (

2、x)严格单减3奇偶性f( x) f(x)f( x) f(x)f(x)为偶函数，对称于y轴 f (x)为奇函数，对称于原点注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，假设定义域关于原点不对称，那么不是奇/偶函数。4周期性假设f(xT)f(x)，T0,那么称为f(x)的周期。5有界性假设XD，f(x)M，M 0，那么称f (x)在D上有界。常用有界函数：sin x1，cosx1，(J)；arcsinx , arccosx , 23.复合函数设y f(u)的定义域为Df , u1,1 ； arctanxarccotx(x)的值域为Z，且Df Z,(,)空集，那么称y f (x)为x的复合函数。4.反函数

3、f (x) 定义域为Df值域为乙 f 1(x)定义域为Zf值域为Df注意：正反函数的图形对称于直线y x；严格单调函数必有反函数;f f 1(x) x x f (x)的乙；f 1 f (x) x xf (x)的 Df5.初等函数由根本初等函数经过有限次的四那么运算和有限次复合而成的，并能用一个解析式表示的xa a 0，a 1；对数函数称为初等函数。根本初等函数：幕函数 y x 为实数；指数函数y函数ylog ax a0，a 1；三角函数ysin x，cosx，tanx，cotx，secx，cscx ；反三角函数 y arcsi nx， arccosx， arcta nx， arc cotx .

4、6 .分段函数与幕指函数分段函数一般不属于初等函数，因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示；幕指函数y xx 一般不属于初等函数，因为它无法用初等函数复合而成；但假设规定xxln xx 0，那么y x e，是初等函数。§ 1.2典型例题解析例3不等式|2x 1|x 1，用区间表示不等式的解集一 1分析 解此不等式应先去掉绝对值符号，由于x - , x 1分别为2x 1 , x 1的21 1零值点，于是将区间划分为(，)，-,1, (1,)，再考虑各小区间x的取值范围及端点，最后综合得出结论。1 12x 11 x (, x 2 (,-)x (, 2)U(0,)解法 2 (2x 1)2

5、(x 1)21.函数定义域的求法解题思路1分式的分母 0，对数的真数内的表达式绝对值 1;x(x 2)0x (, 2)U(0,)0,偶次方根下的表达式0，反正弦、反余弦号解法12x 1x 12x 1 1 x(01x 0(-2,1)2x 1 x 1(1,)x 2 (1,)2复合函数的定义域简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。例4求以下函数的定义域1y1 x arcs in 1 lg(x 2)x2 3x 4解 1 lg(x 2)0x 20x2 3x 4 03x5x 12x 2x 1;x4(2,4) U 4,5解f(xa)的定义域：0 x a1a x1 af(xa)的定义域：0 x a1a x1

6、 a ；f(xa) f (x a)的定义域：xa,1 a 门a,1 a当1 aa，1a时，定义域为空集；当21a a， a1时，定义域为a,1 a ；22f (x)的定义域是0,1 ，试求 f (x a)f(x a) (a 0)的定义域故取交集定义域为a,1 a2.函数解析式的求法解题思路1将变量凑成与 f()内的中间变量一致的形式，利用函数的无关特性求解;2对f()内作变量代换，再利用无关特性与原方程联立求解。3由f (x)的表达式求f(x)的一般方法是令u (x)，从中解出x1(u)，将其代入f (x)中可得f (u)例5求以下函数解析式12 af(x) bf () xsin x,(ab)

7、,求 f(x)；1解令t-代入原式得xbf(t)af()sin()，那么 tt3解法f(x解法1af(x) bf (bf (x) af (sin xsin( x)1f(x x) Inx丄1 n(x42In x2吩41)1In21f (x)2 (asi nxa b1),求 f(x)；2xx41丄In 2 x21T2x1In2bsi n 丄)x1(x 丄)2 2x1t2 21f(t) In212将x换成丄，得f (xxt，那么2f(x1-)xf(x)In xbn (x2丄1 n二2x21 11In(711)，和原式相加得1)1)1f (x -)x1In2(x丄)2x1t，那么 f(t)才n求以下函

8、数解析式f(x)1x22f(ln解令u In xe2 (x)e2 (x)x) 1x(x)的定义域为x 0，且(x)ex，求(x)2 f(|n x)2u eIn x2u f(u)三 e(x)(x)1In2 1x exe，求f(x)解令u In x, x eu，那么f(x)ex 1 x0x x0打、eu 1eu1 u 0f(u)uu 0 eu1 u 03.利用定义确定函数的有关特性解题思路1假设f(x) f ( x) 0,贝y f(x)为奇函数;2假设T是f (x)的周期，贝U f ax b的周期为T/ a ;假设f(x) , g(x)分别是以T1, T2 (T1 T2)为周期的函数，那么 f(x

9、) g(x)的周期为T1, T2的最小公倍数。3将函数取绝对值，由不等式的缩放法或求函数的最值确定函数的有界性;4假设x1X2，且 f(X2) f(xj 0 , f(X2)/f(xJ 1 ,那么可确定f (x)单增性。例7设F(xy)1 1F(x) F(y)，求y F(x)(2 F7)，(a 0, a 1)的奇偶性解设g (x)1_ax 1(1 ax 2(1 ax)，gx)由于 F(x y) F(x)F(y)，分别令y 0 ,F(x) F( x) F(0)02(1 a x)2(1 ax)g(x)x，得 F (0)F( x) F(x)即F(x)为奇函数，故y F(X)(1 F匸)为偶函数。例8设

10、f (x)在 a,a (a 0)上有定义，证明：f (x)可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，且表示法唯一分析假设(x)(x) ,( x)(x)，那么有 f (x)(x)(x),f( x)(x)(x)，由此引入辅助函数证设(x)11 f(x) f( x) ,(x)12 f(x) f( x)1(x) 2 f( x) f(x)12 f(x) f ( x)(x)1(x) 2 f( x) f(x)12 f( x) f (x)(x)故(x)为偶函数，(x)为奇函数，且1 1(x)(x) 2 f (x) f( x) 2 f (x) f( x) f(x)唯一性：设另有偶函数1(x)及奇函数1(x)使得f(x

11、)1(x)1(x)，解得(x)1解法解法(x)(x)1(x)1(x)(x) 1( x) 1( x) ( x)1(x)，(x)1(x)，即表示法唯一。证明以下函数为周期函数，并求其最小正周期f (x) sin(2 x 3)1由于sinx的周期为2 ，故所求周期为2 f(x) sin(2x 3)sin(2x 3 2 )y sin xcosx解 f(x ) Sin(2例11设f (x)在(1假设2假设分析1假设反之，假设f(2a证1必要性:(x)(x)sincos(x 一) cosx2)上有定义，证明:f (x)的图形关于直线xf (x)的图形关于直线xx)充分性：假设 xf (x)的图形关于直线x

12、 2a x， y y2(x1(x)1(x)sin xa (a 0)对称，那么1，x 2对称，那么1(X)1(X)f(x)f(x(x)(x)f(x a) f (a x)；f (x)是周期的偶函数。x a对称点为(x, y)与(x , y )，那么f (x) f (2a x)f (x)，那么y f (x)关于直线x a对称x R，有 f (x) f(2a x)，那么f (x a) f 2a (x a) f (a x)R，有 f (x a)f(a x)，那么f (x) f a (x a)f a (x a) f (2a x)2由题设知 f(x 1) f (1 x)，f(x 2) f(2 x)，那么f(

13、x) f 1 (x 1)1 (x 1) f (2 x) f(x 2)f( x) f 1 (x 1)f 1 (x 1) f (2 x) f (x)故fX是以2为周期的偶函数例12判断以下函数的有界性1y2x 22x 2x解由a2b22ab ,x2 2x2 (x 1)212(x 1)，那么2xx2 2x 22x 2(x 1)22(x 1)2(x 1)32x 2112x2132x22x2 22x2 2x 222例13设10,0，证明1假设f (x)是 0,的单减函数攵，那么f(x)f(x)f( x)；2假设便是0,的单减函数，贝Uf(x) f (x)f(x)；x3f (ab) f(a)f (b)a0

14、,b0证1由题设知，0 1，01xx,xx ,x0,f (x)单减,有 f ( x)f(x)，f(x)f(x)，那么f(x)f( x)f(x)f(x)f(x)2由于fx单减，有fx)f (x)f(x)f(x)，贝yxxxxxf(x) f(x)，f(x)f(x)f(x)f(x) f(x)3令 xa b，ab，那么a ba bf'(a)f(b)f (a b)x的不同取值范围对应原来函数的值域由于例14分析:求以下函数的反函数 求分段函数的反函数,2x210y 212 X11)的值域为1 -y 1 x 2y 1当1 x 2时，y1(2 x)的值域为341 yx 3y 23、2x 13x 2*2713y 21