改n42力矩转动定律转动惯量

1、4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版1Pz*OFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 F 一力矩一力矩 M 用来描述力对刚体用来描述力对刚体的转动作用的转动作用0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版2zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力若力 不在转动平面内，把力分不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 F 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩

2、为零，故 对转对转轴的力矩轴的力矩zFF4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版3O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）刚体刚体内内作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiM4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版4 例例1 有一大型水坝高有一大型水坝高110 m、长、长1 000 m ,水深水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所水面与大坝表面垂直，如图所示示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通求作用在大坝上

3、的力，以及这个力对通过大坝基点过大坝基点 Q 且与且与 x 轴平行的力矩轴平行的力矩 .QyOxyOhxL4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版5 解解 设水深设水深h，坝长，坝长L，在坝面上取面积，在坝面上取面积元元 ，作用在此面积元上的力，作用在此面积元上的力yLAdd ypLApFdddyOhxyAdydQyOxL4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版6)(0yhgpp令大气压为令大气压为 ，则，则 0pyLyhgpAPFd)(dd0hyLyhgpF00d)(代入数据，得代入数据，得N1091. 510FyOhx

4、yAdyd2021gLhLhpL4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版7QyOyydFdhFyMdd 对通过点对通过点Q的轴的力矩的轴的力矩FdyLyhgpFd)(d0hyLyhgpyM00d)(3206121LhgLhp代入数据，得：代入数据，得：mN1014212 .M4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版8Ormz二二 转动定律转动定律FtFnFrFMsinmrmaFttM （1）单个质点单个质点 与转轴刚性连接与转轴刚性连接m2mrM 2tmrrFM4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理

5、学第五版第五版92iejjjjrmMM（2）刚体刚体 质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFi外外力矩力矩内内力矩力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM0jijjiijMMM2mrM 4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版10 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合合外力矩外力矩成正比，与刚体的成正比，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.)rmMjjjj2e(转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量OzjmjrjFejFimrJd24-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量

6、物理学物理学第五版第五版11讨论讨论JM（1）tJJMdd（2） =常量常量M，0转动定律转动定律JM 4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版12三转动惯量三转动惯量 J 的的意义：意义：转动惯性的量度转动惯性的量度 . 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm22jjjrmJmrJd2转动定律转动定律JM 转动惯量越大，刚体的转动状态越难以改变。转动惯量越大，刚体的转动状态越难以改变。 4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版13v 质量离散分布质量离散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J 的计算方法的计算

7、方法 v 质量连续分布质量连续分布VrmrrmJVjjjdd222 ：质量元：质量元md ：体积元：体积元Vd4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版142mdJJCO四四 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为 ，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的转轴的转动惯量转轴的转动惯量CJmddCOm4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版15质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的JP2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴的

8、转动惯量轴的转动惯量RmO2231)2(mLLmJJc2mdJJc2121mLJcO1d=L/2O1O2O2大学物理学大学物理学第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动16补充补充求质量为求质量为 m ，长为，长为 l 的均匀细棒对下面两的均匀细棒对下面两种给定的转轴的转动惯量。种给定的转轴的转动惯量。 转轴通过棒的中转轴通过棒的中心并与棒垂直。心并与棒垂直。 转轴通过棒的一端并与棒垂转轴通过棒的一端并与棒垂直。直。 解解：在：在 r 处取处取 dr 小段质元小段质元 r dr 2l 2lO r rdlmmd rdrlmmdrdJ22 对中心垂直轴对中心垂直轴 2222121mlrdrlmJ

9、ll z大学物理学大学物理学第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动17 对端点垂直轴对端点垂直轴 20231mlrdrlmJl zOrrdrl刚体的转动惯量与刚体的刚体的转动惯量与刚体的质量质量和和转轴位置转轴位置有关。有关。 4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版18几种规则形状刚体的转动惯量几种规则形状刚体的转动惯量 刚体刚体转轴转轴转动转动惯量惯量刚体刚体转轴转轴转动转动惯量惯量细棒细棒通过中心并通过中心并与棒垂直与棒垂直 细棒细棒通过端点并通过端点并与棒垂直与棒垂直 圆环圆环通过中心并通过中心并与环面垂直与环面垂直 圆环圆环沿直径沿直径 圆盘圆

10、盘通过中心并通过中心并与盘面垂直与盘面垂直 圆盘圆盘沿直径沿直径 圆柱体圆柱体 沿几何轴沿几何轴 圆筒圆筒沿几何轴沿几何轴 球体球体沿直径沿直径 球壳球壳沿直径沿直径 221mR2121ml231ml2mR221mR252mR221mR241mR)(212221RRm 232mR4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版19刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置与转轴的位置有关有关（1）与刚体的质量（体密度与刚体的质量（体密度 ） 有关有关（2）与刚体的几何形状与刚体的几何形状( (及体密度及体密度 的分的分布布

11、) )有关有关质量越远离转轴分布，转动惯量质量越远离转轴分布，转动惯量越大。越大。说说 明明转动惯量是标量，且具有可加性。转动惯量是标量，且具有可加性。 对于穿过质心的转轴，其转动惯量最小。对于穿过质心的转轴，其转动惯量最小。 4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么大都飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？分布于外轮缘？4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版21( (2) ) 为瞬时关系为瞬时关系 ( (3) ) 转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同地位相同maF JM ( (

12、1) ) , 与与 方向相同方向相同 JM M说明说明 转动定律应用转动定律应用JM 4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版22解题基本方法（隔离法）解题基本方法（隔离法）明确对象明确对象隔离物体隔离物体受力分析受力分析建坐标系建坐标系列方程列方程解方程解方程结果讨论结果讨论平动物体平动物体-质点质点-牛顿定律牛顿定律 转动物体转动物体-刚体刚体-转动定律转动定律 利用线量与角量的关系利用线量与角量的关系 列辅助方程列辅助方程 4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版23 例例2 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光

13、滑水静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为索跨过一半径为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为，并系在另一质量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖竖直悬挂直悬挂滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计轴承间的摩擦力可略去不计( (1) )两物体的两物体的线加速度为多少？线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的水平和竖直两段绳索的张力各为多少？张力各为多少？( (2) ) 物体物体 B 从静止落下距从静止落下距离离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少？4-24-2力矩

14、转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版24解解 ( (1) ) 用用隔离法分隔离法分别对各物体作受力分析，别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系取如图所示坐标系ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版25amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版262CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBA

15、BCAT2mmmgmmmF解得：解得：4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版27如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF （2） B由静止出发作匀加速直线运动，由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率下落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版28稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动试计算

16、细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例3一长为一长为 l 、质量质量为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链O相相接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于此竖直放置的细杆处于非此竖直放置的细杆处于非m,lOmg4-24-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版29 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmg4-24-2力矩转动定律

17、转动惯量力矩转动定律转动惯量物理学物理学第五版第五版30ttdddddd由角加速度的定义由角加速度的定义对上式积分，利用初始条件，对上式积分，利用初始条件，ddNFm,lOmg)cos1 (3lg解得：解得：lgdsin23d有有物理学物理学第五版第五版314-1 4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动4-2 4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量4-3 4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律本章目录本章目录4-4 4-4 力矩作功力矩作功 刚体定轴转动的刚体定轴转动的 动能定理动能定理4-0 4-0 教学基本要求教学基本要求* *4-5 4-5 刚体的平面平行运动刚体

18、的平面平行运动选择进入下一节：选择进入下一节：物理学物理学第五版第五版四、刚体定轴转动的转动定律的应用例例、一个质量为、半径为、一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。和此时滑轮的角速度。mg解： RamaTmgm :对对221 MRJJTRMM：对对 物理学物理学第五版第五版MmmghRRv 241 例例2、一个飞轮的质量为、一个

19、飞轮的质量为69kg，半径为半径为0.25m,正在以每分正在以每分1000转的转速转动。现在要转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在制动飞轮，要求在5.0秒内使秒内使它均匀减速而最后停下来。求它均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力闸瓦对轮子的压力N为多大？为多大？ 242Mmmghahv gMmma2 解方程得：F0物理学物理学第五版第五版解：飞轮制动时有角加速度：飞轮制动时有角加速度t0 20rad/s920s5 0 rad/s7104r1000.min/ t外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。 2mRJNRRfMr 2mRNR N784 mRN0Nfr物理学物理学第五版第五版35物理学物

20、理学第五版第五版36 Lmg cos21L 8 如图，一长如图，一长L、质量为质量为m的细棒可绕其的细棒可绕其一端自由转动，开始一端自由转动，开始时棒处于水平位置，时棒处于水平位置，求棒转到与水平线成求棒转到与水平线成角度角度 时的角速时的角速度、角度、角加速度加速度物理学物理学第五版第五版37解 231mLJ cos23Lg应用转动定律JM 求 Lmg cos21Lcos2mgLM 物理学物理学第五版第五版 ddJdtdddJdtdJJM 21 cosmglM代入 dJdmgl cos21 0021dJdmgl cos22121 Jmgl sinlgJmgl sinsin3 dJMd 物理学