固体物理13年考试

1、固体复习题型：一简答题（共30分，每小题6分）5道小题二证明题（共25分）两道小题三计算题（共45分）分布在第四章2道，第二章、第三章各一道。一简答题1. 倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？解：倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。设一种晶体的正格基矢为、，根据倒格子基矢的定义：式中是晶格原胞的体积，即，由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系。2.说出氯化钠、氯化铯和金刚石结

2、构晶体它们的原胞的晶格类型，每个原胞中包含的原子数。晶体结构原胞晶体类型原胞中原子数氯化钠面心立方2氯化铯简立方2金刚石面心立方23.各类晶体的配位数（最近邻原子数）是多少？解：7种典型的晶体结构的配位数如下表1.1所示：晶体结构配位数晶体结构配位数面心立方六角密积12氯化钠型结构6体心立方8氯化铯型结构8简立方6金刚石型结构44.下面几种典型的晶体结构的配位数（最近邻原子数）是多少？晶体结构配位数晶体结构配位数面心立方12氯化钠型结构6六角密积12氯化铯型结构8体心立方8金刚石型结构4简立方6立方硫化锌结构45.画出体心立方结构的金属在，面上原子排列体心立方 6画出面心立方晶格结构的金属在，

3、面上原子排列面心立方7试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。8晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？ 解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点

4、阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵基元实际晶体结构9如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征?使原子失去一个电子所需要的能量称为原子的电离能, 电离能的大小可用来度量原子对价电子的束缚强弱.一个中性原子获得一个电子成为负离子所释放出来的能量称为电子亲和能. 放出来的能量越多, 这个负离子的能量越低, 说明中性原子与这个电子的结合越稳定. 也就是说, 亲和能的大小也可用来度量原子对电子的束缚强弱. 原子的电负性大小是原子吸引电子的能力大小的度量. 用电离能加亲和能来表征原子的电负性是符合电负性的定义的.10原子间的排斥作用和吸引作用有何

5、关系? 起主导作用的范围是什么?在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中, 吸引力起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子间的距离缩小到一定程度, 原子间才出现排斥力. 当排斥力与吸引力相等时, 晶体达到稳定结合状态.可见, 晶体要达到稳定结合状态, 吸引力与排斥力缺一不可. 设此时相邻原子间的距离为, 当相邻原子间的距离>时, 吸引力起主导作用; 当相邻原子间的距离<时, 排斥力起主导作用. 11共价结合为什么有 “饱和性”和 “方向性”?    设N为一个原子的价电子数目, 对于IVA、VA、VIA、VIIA族元素，价电子壳层一共有8

6、个量子态, 最多能接纳(8- N)个电子, 形成(8- N)个共价键. 这就是共价结合的 “饱和性”.     共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”. 12何为杂化轨道?    为了解释金刚石中碳原子具有4个等同的共价键, 1931年泡林(Pauling)和斯莱特(Slater)提出了杂化轨道理论. 碳原子有4个价电子, 它们分别对应、量子态, 在构成共价键时, 它们组成了4个新的量子态 ，4个电子分别占据、新轨道， 在四面体顶角方向(

7、参见图1.18)形成4个共价键. 13.什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种玻色子，服从玻色爱因斯坦统计，即具有能量为的声子平均数为对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。14晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？解在爱因斯坦模型中，假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出的表达式。爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋

8、近于零时，比热容亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容以指数形式趋近于零，快于实验给出的以趋近于零的结果。德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度是不同的。在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对比热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。16.声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？

9、U过程物理图像是什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗？解：声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式其中上式中的表示一倒格子矢量。对于的情况，即有，在碰撞过程中声子的动量没有发生变化，这种情况称为正规过程，或N过程，N过程只是改变了动量的分布，而不影响热流的方向，它对热阻是没有贡献的。对于的情况，称为翻转过程或U过程，其物理图像可由下图3.2来描述：图3.2 U过程物理示意图在上图3.2中，是向“右”的，碰撞后是向“左”的，从而破坏了热流的方向，所以U过程对热阻是有贡献的。U过程没有违背普遍的动量守恒定律，因为声子不是实物量子，所以其满足的是准动量守恒关系。17.简要说明简谐近似

10、下晶体不会发生热膨胀的物理原因；势能的非简谐项起了哪些作用？解：由于在简谐近似下，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的，随着温度升高，原子的总能量增高，但原子间的距离的平均值不会增大，因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。势能的非简谐项在晶体的热传导和热膨胀中起了至关重要的作用。18 格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？解：我们知道晶体比热容的一般公式为由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时，问题的关键在于如何求角频率的分布函数。但是对于具体的晶体来讲，的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型中，假设晶体

11、中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出的表达式。爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时，比热容亦趋近于零的结果，这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容以指数形式趋近于零，快于实验给出的以趋近于零的结果。德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下，比热和温度成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度应视为恒定值，适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度是不同的。在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对比热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波

12、具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实，所以能得出精确结果。19.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？解：布洛赫电子论作了3条基本假设，即绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。20.试述导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。解：在导体中，除去完全充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，

13、后者可以起导电作用，称为导带。在半导体中，由于存在一定的杂质，或由于热激发使导带中存有少数电子，或满带中缺了少数电子，从而导致一定的导电性。在绝缘体中，电子恰好填满了最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的，由于满带不产生电流，所以尽管存在很多电子，并不导电。21.试述有效质量、空穴的意义。引入它们有何用处？解：有效质量实际上是包含了晶体周期势场作用的电子质量，它的引入使得晶体中电子准经典运动的加速度与外力直接联系起来了，就像经典力学中牛顿第二定律一样，这样便于我们处理外力作用下晶体电子的动力学问题。当满带顶附近有空状态时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同存在一个带正

14、电荷和具有正质量、速度的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。空穴的引入使得满带顶附近缺少一些电子的问题和导带底有少数电子的问题十分相似，给我们研究半导体和某些金属的导电性能带来了很大的方便。22.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时，将主要受到该原子场的作用，把其它原子场的作用看成微扰作用。这两种模型的相同之处是：选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开，其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定

15、谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。这个久期方程组是一组齐次方程组，由齐次方程组有解条件可求出电子能量的本征值，由此便揭示出了系统中电子的能带结构。23.周期场对能带形成是必要条件吗？解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。24.一个能带有个准连续能级的物理原因是什么？解：这是由于晶体中含有的总原胞数通常都是很大的，所以的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。25.禁带形成的原因如何？您

16、能否用一物理图像来描述？解：对于在倒格矢中垂面及其附近的波矢，即布里渊区界面附近的波矢，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。可以用下面的图5.1来描述禁带形成的原因：图5.1 在布里渊区界面附近禁带形成的物理示意图 26.试述晶体中的电子作准经典运动的条件和准经典运动的基本公式。解：在实际问题中，只有当波包的尺寸远大于原胞的尺寸，才能把晶体中的电子看做准经典粒子。准经典运动的基本公式有：晶体电子的准动量为 ；晶体电子的速度为 ；晶体电子受到的外力为 晶体电子的倒有效质量张量为 ；在外加电磁场作用下，晶体电子的状态变化满足

17、： 二证明题1.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为（1）简单立方；（2）体心立方；（3）面心立方（4）六角密积；（5）金刚石。解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则体心立方的致密度为：（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则面心立方的致密度为：（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则六角密积的致密度为：（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数

18、，则金刚石的致密度为：2.证明体心立方晶格的倒格子是面心立方; 面心立方晶格的倒格子是体心立方证明：对于体心立方原胞，基矢： () 代入倒格子基矢公式： 若设b=, 则 与面心立方晶格的基矢形式相同。晶格常数是的体心立方晶格的倒格子是晶格常数是的面心立方晶格 同理：晶格常数是的面心立方晶格的倒格子是晶格常数是立方晶格 故体心立方与面心立方互为倒格子3.证明晶格常数为a的简单立方晶格，证明密勒指数为的晶面系，面间距为 .证明：简单立方晶格正格子的原胞基矢为 由， 可得其倒格子基矢为 ， 倒格矢   根据面间距和倒格矢之间的关系  得简单立方晶体晶

19、面族的面间距         4.证明晶格常数为a的体心立方晶体晶面族 的面间距为.证明：体心立方正格子原胞基矢可取为， 由， 可得其倒格子基矢为: 倒格矢 则晶面族的面间距为 得体心立方晶体晶面族的面间距 5.有一晶体，在平衡时的体积为，原子之间总的相互作用能为，如果原子间相互作用能由下式给出：，试证明弹性模量可由给出。解：根据弹性模量的定义可知 （1）上式中利用了的关系式。设系统包含个原子，则系统的内能可以写成 （2）又因为可把个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距的函数，即 （3）上式中为与晶体结构有关的

20、因子（如面心立方结构，）。又因为 （4） （5）考虑平衡条件，得，那么（5）式可化为 （6）将（6）式代入（1）式得：6. 在一维双原子链中，如，求证：；。解：（1）在一维双原子链中，其第个原子与第个原子的运动方程为 （1） 为解方程组（1）可令 （2）将（2）式代入（1）式可得出 （3）从、有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得 可解出得 （4）当（4）式中取“”号时，有 （5），（5）式中有，那么（5）式可简化为 当（4）式中取“”号时，有 （6），（6）式中有，那么（6）式可简化为 7.设晶体由个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为。式中为格波的截止频率。解：在德

21、拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系 （1） 那么格波的状态密度为 （2）又根据 （3）将（2）式代入（3）式得 （4）由（4）式可得 （5）把（5）式代入（2）式即可得 8.证明一维单原子链的频率分布函数为解：设原子质量为m，晶格常数为a，设链上含有N个原子， 对于一维单原子晶格的态密度为：dq间隔内的状态数 又 所以 所以 又因为： 所以 10.设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有，证明：频率分布函数为。方法1：三维晶格振动的态密度为 dq间隔内的状态数为。对两边微分有。 将dq和代入中， 有 又因为： 得到 时，为虚数，有 方法 2：色散关系: Q空间等面

22、为半径为 的球面 球面上是一常数 9.已知由个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为。式中是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于。解：由题意可知该晶格的振动模总数为 三计算题1.写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1，2，3，）中，简约波数的0级波函数。 第一区： n=1,m=0 第二区： n=2,m=1 第三区： n=3, 2.写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1，2，3，）中，简约波数的0级波函数。 第一区： n=1,m=0 第二区： n=2, 第三区： n=3, 3.设某晶体每对原子的势能具的形式，平衡时，结合能为，试计算A和B以及晶体的有效弹性模量。解：由题意

23、有以下方程成立： 把，的具体数值代入上述方程组，即得：由此可得：， 该晶体的有效弹性模量为： 又 （上式中表示晶体中所含的原子个数，表示与晶体结构有关的因子）故 4.由个原子（离子）所组成的晶体的体积可写成。式中为每个原子（离子）平均所占据的体积；为粒子间的最短距离；为与结构有关的常数。试求下列各种结构的值：（1） 简单立方点阵；（2） 面心立方点阵；（3） 体心立方点阵；（4） 金刚石点阵；（5） NaCl点阵；解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；（2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；（3）在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积，故；（4）在金刚石点阵

24、中，每个原子平均所占据的体积，故；（5）在NaCl点阵中，每个原子平均所占据的体积；故。5.对于由个惰性气体原子组成的一维单原子链，设平均每2个原子势为：。求：（1）原子间的平均距离； （2）每个原子的平均晶格能； 解：（1）在平衡时，有下式成立 （1） 由上式可得（2）设该个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为，那么有 （2）设为2个原子间的最短距离，则有，那么（2）式可化为 （3）其中（3）式中，。那么每个原子的平均晶格能为 6.已知有个离子组成的NaCl晶体，其结合能为：。若排斥项由来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对相互作用势能的贡献相同。试求出和的关系。解：由平衡条件可

25、知 （1）由（1）式可求得 （2）又由题意有 （3）将（2）式代入（3）式可得： 7.假定在某个离子晶体中，某离子间的空间能够被一种介电常数为的均匀流体渗满而不至于影响离子间的排斥作用，但库仑相互作用减少为原来的。计算这种情况下NaCl的点阵常数和结合能。解：由题意可知，当NaCl晶体被介电常数为的均匀流体渗满时，其相互作用势能为： （1）由平衡条件可知有 （2）由（2）式可求得NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两个离子间的距离为 那么NaCl的点阵常数为 结合能为 8.应用德拜模型，计算一维情况下晶格振动的状态密度、德拜温度、晶格比热容。解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，

26、即有色散关系 （1） （1）在一维情况下，晶格振动的状态密度为 （2） 上式中，表示一维晶格的总长度。又由关系式 （3）将式（3）代入式（2）可得，由此求得 于是德拜温度 晶体的比热容为 （其中） 9.若格波的色散关系为和，试导出它们的状态密度表达式。解：根据状态密度的定义式可知 （1）其中表示在间隔内晶格振动模式的数目。如果在空间中，根据作出等频率面，那么在等频率面和之间的振动模式的数目就是。由于晶格振动模在空间分布是均匀的，密度为（为晶体体积），因此有 （2）将（2）式代入（1）式可得到状态密度的一般表达式为 （2）（3）式中表示沿法线方向频率的改变率。当时，将之代入（3）式可得 当，将之

27、代入（3）式可得 10.考虑一双原子链的晶格振动，链最近邻原子间的力常数交错地等于c和10c,令两种原子质量相等,并且最近邻的间距是,试求在和处的解：设原子质量为力常数为和如图所示： 振动方程 试探解： 将上式与 代入振动方程得： 有非零解的条件是： 解得： 时 时 11.初级晶胞中含有两个原子的一维点阵,点阵常数为a,两个原子的质量分别为M1和M2,只计入最近邻原子间的相互作用,设力常数为C, 求其个格波解。并试求在和处的.(备注)解：对于一维双原子链，设第个原子质量为M1，第个原子质量为M2，如图： 对于M1： 对于M2： 设试探解：, 代入, 化简得： 有非零解的条件是： 解得 ： 时,

28、， 时， 12.试求质量为，原子间距为，力常数交错为，的一维原子链振动的色散关系。当时，求在和处的，并粗略画出色散关系。解：下图3.3给出了该一维原子链的示意图a2m â2â211â2 x2n-2 x2n+1 x2n x2n+1 x2n+2 x2n+3 图3.3在最近邻近似和简谐近似下，第2n和第（2n+1）个原子的运动方程为 （1）当时，上述方程组（1）可变为 （2）为求格波解，令 （3）将（3）式代入（2）式，可导出线性方程组为 （4）令，从，有非零解的系数行列式等于零的条件可得 （5）由（5）式可解出当时，当时，其色散关系曲线如下图3.4所示：图3.4 原子

29、间的力常数不相等的双原子链的晶格振动色散关系曲线 13.如有一维布喇菲格子，第个原子与第个原子之间的力常数为；而第个原子与第个原子的力常数为。（1） 写出这个格子振动的动力学方程；（2） 说明这种情况也有声学波和光学波；（3） 求时，声学波和光学波的频率；（4） 求（为晶格常数）时，声学波和光学波的频率。解：（1）此题与（11）题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第和第个原子的动力学方程为 （1）（2）为求出方程组（1）的格波解，可令 （2）于是将（2）式代入（1）式，可导出线性方程组为 （3）令，从、有非零解的系数行列式等于零的条件可得 （4）由（4）式可解出 （5）由此可知，

30、的取值也有和之分，即存在声学波和光学波（3）由（5）式可知当时，有声学波频率，光学波频率（4）同样由（5）式可知当时，有声学波频率，光学波频率14.在一维复式格子中，如果，。求：(1) 光学波频率的最大值、最小值及声学波频率的最大值；(2) 相应的声子能量是多少eV?(3) 这3种声子在300K时各有多少个？(4) 如果用电磁波激发光频振动，要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长在什么波段？解：(1)由于光学波频率的最大值和最小值的计算公式分别为： 上式中为约化质量所以有： 而声学波频率的最大值的计算公式为： 所以有： (2)相应的声子能量为：(3)由于声子属于玻色子，服从玻色爱因斯坦统计，则

31、有(4)如用电磁波来激发光频振动，则要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长应满足如下关系式：15.用紧束缚近似，求出简单立方晶格s态原子能级相对应的能带函数，并求出能带宽度。解:在紧束缚近似下与原子能级S态相对应能带函数: (RS为最近邻原子的波矢，设晶格单胞立方边长为a) s态的波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，具有相同的值。 所以能量本征值为： 体心立方：6个近邻: () = 由此可知，当时，即能带底的能量为；当，即能带顶的能量为能带宽度为 16.应用紧束缚方法，对于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，求其s态电子的能带可表示为，（式中：为能带底部的能量；为交叠积分，）并

32、求出能带宽度。解：设s态的原子能级为，当只计及最近邻格点的相互作用时，则用紧束缚方法可求得该一维单原子链的s态电子能量为 上式中， （其中表示晶体中的周期性势场，也即各格点原子势场之和。为某格点的原子势场）由于s态波函数是球形对称的，因而在各个方向重叠积分相同。 在一维单原子链中，每个原子周围有2个近邻格点，其格矢分别为和，由此可知一维单原子链的s态电子能量可化为： 上式中由此可知，当时，即能带底的能量为；当，即能带顶的能量为于是可证得一维单原子链的s态电子能量为 能带宽度为 17.用紧束缚近似，求出体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数。解:在紧束缚近似下与原子能级S态相对应能带函数: (RS为最近邻原子的波矢，