是一个随机试验

1、设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S=e，设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量，或二维随机变量。SeX(e)Y(e)1 二 维 随 机 变 量定义定义返回主目录注注 意意 事事 项项维随机向量；二维随机变量也称为二我们应把二维随机变量 SeeYeXYX，系的；之间是有联与看作一个整体，因为YX作平面上的随机点可看，量在几何上，二维随机变YX1 二 维 随 机 变 量返回主目录二维随机变量的例子二维随机变量的例子身体状况，令考察某地区成年男子的高；：该地区成年男子的身X就是一个二维随机变量，则YX：对一目标进

2、行射击，令重：该地区成年男子的体Y距离；：弹着点与目标的水平X距离；：弹着点与目标的垂直Y就是一个二维随机变量，则YX1 二 维 随 机 变 量返回主目录，实数则对于任意一对是一个二维随机变量，设yxYX.的分布函数，变量为二维随机的函数我们称此函数，是YXyxyYxXPyxF，1 二 维 随 机 变 量定定 义义返回主目录二元分布函数的几何意义二元分布函数的几何意义概率点的无穷矩形中的为右上顶，落在以，点表示平面上的随机，意义是：二元分布函数的几何yxYXyxFyo(x, y)(X, Y )1 二 维 随 机 变 量返回主目录一个重要的公式一个重要的公式，设：2121yyxx则2121yXy

3、xXxP，1222yxFyxF，1121yxFyxF，yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1 二 维 随 机 变 量分布函数具有以下的基本性质： F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即对于任意固定的 y , 当 x1 x2时，对于任意固定的 x , 当 y1 y2时，);,(),(21yxFyxF);,(),(21yxFyxF 对于任意固定的 y , 对于任意固定的 x , , 1),(0yxF; 0),( yF; 0),(xF. 1),(; 0),(FF1 二 维 随 机 变 量2)1)且返回主目录 .

4、0),(),(),(),(21111222yxFyxFyxFyxF3) F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )关于 x 右连续，关于 y 也右连续.yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)1 二 维 随 机 变 量4)说说 明明上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某二维随机变量的分布函数（证明略）1 二 维 随 机 变 量返回

5、主目录n n 维随机变量维随机变量是其样本空间，是一个随机试验，设SE niSeeXXii，21个随机变量是该样本空间上的n则称 SeeXeXeXXXXnn，2121维随机变量上的为样本空间nS1 二 维 随 机 变 量返回主目录n n维随机变量的分布函数维随机变量的分布函数，维实数组意一维随机变量，则对于任是一个，设nnxxxnnXXX21211 二 维 随 机 变 量维随机变量我们称此函数为nnXXX，21nxxxF，21nnxXxXxXP，2211.的分布函数返回主目录二维离散型随机变量二维离散型随机变量1 二 维 随 机 变 量为二维离散型随机变量，个，则称无穷的取值是有限个或可列，若

6、二维随机变量YXYX二维离散型随机变量，设YX的取值为X，ixxx21的取值为Y，jyyy21则称，21jiyYxXPPjiij的（联合）分布律，为二维离散型随机变量YX二维离散型随机变量的联合分布律二维离散型随机变量的联合分布律下表表示的联合分布律也可以由， YXYX1y2yjy1x11p12pjp12x21p22pjp2ix1 ip2ipijp1 二 维 随 机 变 量返回主目录二维离散型随机变量联合分布律的性质二维离散型随机变量联合分布律的性质：性质 10jiijyYxXPp，有1jiijp，：性质 2，对任意的21jiji1 二 维 随 机 变 量返回主目录由题意知，X=i，Y=j的取

7、值情况是：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求得 ( X,Y ) 的分布律。., 4 , 3 , 2 , 1,411|,ijiiiXPiXjYPjYiXP其中1 二 维 随 机 变 量设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在1X 中等可能地取一整数值。试求 ( X,Y ) 的分布律。例例 1 1解：解：返回主目录1 二 维 随 机 变 量XY1 2 3 41234008181000410121121121161161161161例例 1 1（续）（续）返回主目录二维离散型随机变量的联合分布函数二维离散型随机变量的

8、联合分布函数，21jiyYxXPPjiij二维离散型随机变量，设YX分布律为联合其)(的联合分布函数为，则YXyyxxijjipyxF，1 二 维 随 机 变 量返回主目录对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有： yxdudvvufyxF,),(),(则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量连续型的二维随机变量，函数 f (x , y )称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度联合概率密度。 二维连续型随机变量二维连续型随机变量1 二 维 随 机 变 量

9、返回主目录按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：;0),(10yxf;1),(),(20 Fdxdyyxf).,(),(),(),(320yxfyxyxFyxyxf连续，则有在点若1 二 维 随 机 变 量 40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为：GdxdyyxfGYXP.),(),(返回主目录 在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积1 二 维 随 机 变 量返回主目录例例 2 2的密度函数为，设二维随机变量YX；常数求c解：由

10、密度函数的性质，得其它，00043yxceyxfyx的联合分布函数；，求YX，求2010YXP1 二 维 随 机 变 量返回主目录例例 2 2（续）（续） dxdyyxf，1 0043dxdyecyxdyedxecyx040312c所以，12c1 二 维 随 机 变 量xy0, 0yx；，0yxF时，或当00yxyxF，)2(yYxXP，返回主目录例例 5 5（续）（续）时，且当00yxyxF，dvedueyvxu040312 xydudvvuf，yYxXP， xyvududve004312yxee4311其它，所以，0001143yxeeyxFyx1 二 维 随 机 变 量返回主目录例例 2

11、 2（续）（续）dyedxeyx204103122010yxdxdyyxf， 10204312dxdyeyx8311ee，2010YXP1 二 维 随 机 变 量返回主目录例例 3 312Oxy1度函数为的密，设二维随机变量YX其它，02010312yxxyxyxf试求概率1YXP解：积分区域如图所示，1 二 维 随 机 变 量x+y=1x=1y=2返回主目录例例 3 3（续）（续）1023213465dxxxx1yxdxdyyxf，1021231xdyxyxdx72651YXP1 二 维 随 机 变 量12Oxy1x+y=1x=1y=2返回主目录二维均匀分布二维均匀分布的密度函数为，如果二维随机变量YXAD其面积为是平面上的有界区域，设上的均匀分布服从