利用换元法解方程(组)

1、第6讲利用换元法解方程 、方法技巧（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的 （二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次 （三）换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，不同的方程就有不同的换元方 法，因此，这种方法灵活性大，技巧性强.恰当地换元，可将复杂方程化简，以便寻求解题的途径. 常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等. x2二x10,变形后也可使用局部换元法，设x-t xxx _x2x

2、12x2x219一-工 一12x219,看着很繁冗，变形整理成 x21x2x16 19.- 时，就可使用局部换兀法 6 22222222 x23x2x23x23x22x13x22x14x25x1 观察发现x23x23x22x14x25x1,故可设x23x2u, 3x22x1v，原方程变为u2uvv2uv2,方程由繁变简，可得解. （四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧.拓宽学生知识面，培养学生学习和 研究数学的兴趣. 二、应用举例 类型一局部换元 （高次方程） 【例题 1 1】解方程：x43x220 4 x3x1 x1 82,可设yx2,方程变成 2 4 3 2 x 5 x1 60,可使

3、用局部换元法，设 x2x1 【答案】x11,x21,x3厄,x442 【解析】 试题分析： 通过观察发现x4x22,故设x2y,原方程变形为y23y20,可把高次方程 降次，转化为可解的一元二次方程. . 试题解析： 解：设x2y,则原方程变形为y23y20, 解得,y11,y2, 由y1得x21,解得x1,x21, 由y2得x22,解得x3J2,x4V2, 方程的解是x11,x21,x3&,x42 【难度】较易 （分式方程） 【例题 2 2】解方程: 【解析】 试题分析： 括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解试题解析： 解：设一y，于是原方程变形为y25y60 x1 解得y

4、13,y22 x3 当yi3时，3,解得x1-, x14 x2 当y22时，2，解碍x2 x13 3 2 经检验x1一，x2一均为原万程的根 4 3 、一32 方程的解是x1-,x2- 43 【难度】较易 【例题 3 3】已知实数x满足x2 1 2x x 1 x 0，那么x 1， -的值是（） x 【答案】2 【解析】 试题分析： 由于x2 _1_ x x 2 1 x t,可解 1 x 2,故设x 试题解析: 解：设x 1 t, x 2 、一：一11 原方程化简得x12x10, xx 点评：方程中并无“相同”的部分时，可通过代数式间的关系变形构造出“相同”部分,设元. 【难度】一般 （无理方程

5、）-12 2t0, 解得t1 1,t22 由x 1 11化简得x x x 1-2 x 2 x1 试题分析:这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现 x21 互为倒数，可设寸一y，则原万程变形为y 试题解析: 2 一 110 解：设1一yy0,则原方程变形为y一一 xy3 整理得3y210y30 1 解碍y13,y2 3 当y13时，3,解得x1 x4 1 219 当y一时，J1一一，解得x2- 3 x34 1 9 经检验x1-，x2都是原方程的根 4 4 19 原方程的解是x1一，x2 44 【难度】一般 【例题5】解方程VxlV3x10 【解析】 试题分析:注意到原

6、方程可变为Vxl3x1,可设两个未知数，利用韦达定理求解 试题解析:解：设五1m,v3xn【例题 4 4】解方程: 1 【答案】Xi1, 4 【解析】 【答案】x11 x21 10、 ,无理方程化为有理方程 3 2 1.7 -0, 2 z2舍去 1,7 2 X2 【难度】一般类型二均值换元 【例题 6 6】解方程: 又: m 2n 2m 2n 2mn :.1 4 2mn, 即 mn 3 2 根据韦达定理， m、 n是方程z12 解得 1-7 Z2 13 Z1 2 2 原方程变为mn 1 3 z0的根 2 2 【解析】 试题分析: 可达到降次目的.解得X11 X2 经检验X1 X2 二是原方程的

7、解 2 X1 【答案】X10, X2 82 观察方程可知X 2，适合使用均值法换元，故设y 试题解析:缺又x3x1 解：设y 进行代换，化原方程为双二次方程求解 【难度】较难 类型三倒数换元 【解析】 试题分析: 1系数相等，可构造x二换元. 试题解析: 解：显然x0不是方程的解，故用 2- x除方程两边, 原方程变为 4 182 整理得y 222 2y1y182 4y12 82 解得 即y1 42 y6y 40 2一一. y10（舍）， 2,*2 原方程的解为 X2 4 点评：一般形如xaxb c的方程可用均值法，设y 【例题 7 7】解方程: 43 6x5x 38x2 5x X1 x22,

8、 ,x3 3, X4 本题的特点是：按x降藉排列后, 与中间项等距离的项的系数相等, 如6x4与6,5x3与5x 设yx1,贝Ux2-12y22, 上式变为6y225y380, 整理得6y25y500 解得yi 5 -. 2 10 y2a， 由1 由x一 5 i- ，解得xi,x22 x 由x1 2 2 101 ，解付乂3,乂 x 点评：形如ax 4 33 .32 bxcxbxa0的万程称为倒数万程，其特点是，按杲一字母降器 2 1 排列后，与中间项等距离的项的绝对值相等，其解法是，用x2除各项，构造x-,使原 x 方程变为一元二次方程得解. 【难度】较难 类型四常数换元 【例题 8 8】解方

9、程 3x 2、,3x23x, .310 【答案】x11 3, 13 412、， 1、34衫 x2 2 ,x3 2 【解析】 试题分析： 这是三次方程，且系数中含无理数，不易求解，若反过来看，把设x看作已知数，把J3设 为设t,则方程就变成关于试题解析： t的 兀一次方程. 解：设3t 则原方程变形为x 2x2t 2 xt2t10 即xt22x21t 3x 10 2 xtxx1 tx 10 x3x2x1 3 x10 整理得x2-31 x1 x310 【难度】困难 类型一局部换元 （高次方程） 1.1. 已知x2y21x2y238,则x2y2的值为（） 【答案】1 1 【解析】 试题分析： 解题时

10、把x2y2当成一个整体考虑，再求解就比较简单. . 试题解析： 解：设x2y2t,t0,则 原方程变形为t1t38, 整理得t5t10, 解得t15,t21, t0 .t1 22 xy的值是 1 1 【难度】较易 2.2. 解方程：x22x3x26x0 【答案】x10,x22,x33,x41 【解析】 试题分析： C2c 观察可知，方程整理后x22x3x22x0,可用换元法降次 试题解析:X231x 解得X1 3412 试题解析： 解：方程整理后 2x 2 2x 3x32x 0 设x22x 原方程变为 解得y10 由y-i0, y， 2y ,y2 得x2 则 3y0 3 2x 0，解得x- 0

11、,x22 由y3, 得x2 2x 3,解得x3 3,x41 原方程的解是 xi0, x22, x33,x41 【难度】较易 3.3.方程x23 2 5 3x2 20，如果设x23y,那么原方程可变形为（ A.y25y20B.B.y25y20C.C.y25y20D.D.y25y20 【答案】D D 【解析】 试题分析： 注意到x23与3x2互为相反数，只有符号要变化，可利用换元法变形 试题解析： 解：设x23y，则3x2y 用y表示x23后代入方程得y25y20 故选 D.D. 【难度】较易 4 4解方程: 22 x1x 3 【答案】 x11,x21 【解析】 试题分析: 2 1.1.以x 1为

12、一个整体换元， 因此要对方程进行变形使其含有 x21 3 2 2.把方程展开成标准的双次方程，再对x进行换元. . 解是X11 方程的点评：换元的关键是善于发现或构造方程中表达形式相同的部分作为换元对象.在解方程的 过程中换元的方法常常不是唯一的，解高次方程时，只要能达到将次目的的换元方法都可以 应用. 【难度】较易 （分式方程） 5 5.解方程一X2X1XX 【答案】X12,X21 【解析】 试题分析： 方程左边分式分母为X2X,可将右边X2X看成一个整体，然后用换元法解 试题解析： 解：设X2Xy,则原方程变形为y1 解得*3,y22 解法一 :原方程可化为 X21 22 X1 设X21y

13、, 得y2 y20, 解得y12, y21 由X212, 解得X1 1,X2 由X211 2 ,X 2无实根 方程的解是 X11, X21 解法二 :由方程得X4 X22 0, 设X2y 得矿y2 0, 解得y11, y22 E) 1 20, 由X2 1,解得Xi 当y13时, 2 xx3, 0,此万程无实根 当y2时， 2 xx2,解得x12,x21 经检验，x1 2,x21都是原方程的根. 【难度】较易 6 6.解方程：xx2 2 2 x1 【答案】Xi1y/2,X21V2 【解析】 试题分析： 整理后发现xx2 x2x,故xx21x1，就可换兀解题了 试题解析： 22 解：方程整理后变为

14、 x2x7 2 x1 2 两边加1得x 121 x1 设x12y,则 原方程变为y 21y 整理得y2y 20 解得yi2,y1（舍去） 由y2得x 122，解得x11V2,x2142 经检验x1 J2,x21J2是原方程的解 方程的解是x11V2,x21J2 【难度】较易2 7.7.解方程 x2X12X2X219 2 X Xi X2 1,X3 3.5 X4 3.5 2 【解析】 试题分析: X21 X2X1y,原方程可化 X1 19 由繁变简, 试题解析: 解：原方程变形得 X2X1 X21 X21 19 , 6 X21 2X 13 2 、 几X设一2 X 整理得 解得y1 由y1 由y2

15、经检验 则原方程变为 13 6y2 13y ，y2 2 XX 2 X X1X21, 原方程的解是 【难度】一般 X3 X1X2 解得X1 解得X3 35 2 1,X3 X21 X4 X4 35工 都是原万程的解. X4 8.解方程：2X456-2T7X X 4、.7 一，X2 6 【解析】 试题分析: 【解析】 试题分析: 1 1 2,故可设x为辅助元，可得解. 试题解析:解：将原方程转化为 【难度】一般 2X3X22 9.9.解方程：一3一2 3X22X试题解析:Xi 1厄, X2 X3 X42 观察可发现2X2 722x2x 解得y1 2, y2 3 2 当y 2时， 3, X -2,解得

16、X1142,X2142 X 131c 当y2 -时，2 X ，解碍X3,X42 X22 经检验 X11 42,X21J2,X3-,X42都是原方程的解 7y60 2 2, X3 原方程转化为2y2 所以，原方程的解是X1 1也,X21 Xi 1.7 3 这个方程左边两个分式互为倒数关系，抓住这一特点，可设 2x 3x22 0，解得y 点评：解有倒数关系的分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整体进行换元, 注意分子、分母互换时分式可以用一个新元和它的倒数来表示，即 【难度】较易 试题解析: y7 y 2 y1 y7y2 y1 即y2 y 12 0, 解得： * 4 ，y2 3 由x2 2x 4

17、 ，解得 x115,x2 15 由x2 2x 3,A 0,方程无解 1 2 1 2 2 ,即 解：设 2x 3x2 -,则原方程可化为 2 2y 由3? 2x 1，得3x2 2x 解得: Xi 1一7 3 X2 经检验 Xi X2 1.7+、工 i 都是原方程的根 3 换元时要 形如agfx 0的方程，可设yfx 10.10.解方程: 2x7 2 x22x2 2 x22x1 xi 【解析】 试题分析： 观察方程的分母, 发现各分母均是关于 x的二次三项式，仅常数项不同，抓住这一特点，可 设yx2 2x 解：设y 2x,原方程可化为 13xx2 x1 x1 x1 本题整理后 13xx2 x213

18、 42,发现 x21313x13“ 13, 这一特点，可设y x22x10 试题解析： 解：设yx22x 10, 则原方程可化为 1110y9xyy15x 整理得：y24xy45x20 解得： y1 9x, y25x 由x2 2x 10 9x，解得x5,x22 由x2 2x 10 5x，解得x35,x42 经检验知，它们都是原方程的解. . 点评：以上三个例子可以看出，换元时必须对原方程仔细观察、分析，抓住方程的特点，恰当换元，花繁为简，达到解方程的目的. . 【难度】较难 （双元换元）1212.解方程：冬区xE42 x1x1 【答案】x11,x26,x3342,x4342 【解析】 试题分析

19、： 方程的解是x1 1 5,x2 1 、5 【难度】较难 1 11禾吊. 1 10 .川L*Q 2 一一0 x11x 10 x2x 10 x13x10 【答案】x15,x2 2, x35, x4 2 【解析】 经检验x11J5,x2 1J5,都是原方程的解 试题分析：观察方程的分母，发现三个分母都是关于x的二次三项式，仅一次项不同，抓住 2 uv 2 v 试题解析: 可得ab13,ab42 解得z16,z27 13xx2-13xx2 67 即x1或x1 x213x213_ 76 x1x1 1,x26,x3342,x4342 【难度】较难 2 2 22 22 2 2 1313x3x 2 x3x2

20、3x 2x1 3x2x1 4x 5x1 【答案】x1 乂3 1,支2,x4 1 3 【解析】 试题分析： 观察发现x2 3x 23x22x1 2 5x1,故可设x 3x 2u, 4x2 3x22x 1v ,原方程变为u 2uvv 2、一,-、，- uv,万程由繁变间，可碍解 试题解析： 解：x2 3x 23x22x1 4x2 5x1 设x2 3x 2 2u,3x2x 1v 原方程变为 22 uuvvu 2v .2 -u2uv 2 、几13xx 设 x1 x13 a， x1 b，可得ab 13,ab42,利用韦达定理可求解 解：设 13xx2 x1 由韦达定理，知a,b是方程z213z42 0的

21、两根 经检验x11,x2 3J2,x43J2都是原方程的根 所以方程的解是x1 uv 0,即u 0或v 0 即x2 3x2 一.一2 0或3x2 2x10 解得x1 1,x2 2,x3 1，x43 方程的解是x1 乂31， C1 x22,x4 3 点评：对于本题这样繁冗的方程，直接展开求解不可取，可通过观察，找到代数式间的联系,不妨设两个辅助元，将方程变形，目的是使方程有繁变简，可解 【难度】较难 （无理方程） 14,14,解方程：x/x2JX_11 【答案】X1 【解析】 试题分析： 解无理方程的基本思想是将其转化为有理方程，通常是设根式为元，本题的两根式存在 x1+1x2的关系，故设一个辅

22、助元即可 试题解析： 解：设y了，则x1y2，即x2y21 原方程可化为y21y1 变形为y211y 两边平方，并整理得y0 由jx10,解得x1 经检验x1是原方程的解 点评：解无理方程时，常把方程中的一个含有未知数的根式作为整体换元，达到化去根号转 化为可解的方程的目的 【难度】一般 xy18 .y23 19 115.15.解方程组: 【答案】 y 【解析】 试题分析： 3, 此题是整式方程与无理方程合并的方程组,解. 试题解析： 解题时应从无理方程出发，将其化为有理方程求 解：设Jx3u, jy2v,则 原方程组可化为: 17 由(2)得,u (3)(3) 将（3 3）代入（1 1）,

23、,得 3v3v 17, 解得, v11,v2 4（Jy2不能为负） 得 M .y2 解得 x19 经检验，知 原方程组的解为 点评：妙用换元法,熟悉的问题. 【难度】一般 16.16.解方程: 2x2 5, 19、 是原方程组的解 1 x19 将无理方程组化为有理方程组，从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而 6x5.x23x1 x22 【解析】 试题分析: 由于根号里面 2 3x与根号外面2x 6x,对应系数成比例，故可以将其变形 2x23x1 5x23x130, 不难找到辅助元. 解：设.x2 3x1 解得y1 1 2 即-x2 3x1 试题解析: （舍去），y23 2 y,则原方程可以化为2

24、y25y30 【难度】一般 2 18.18. 解万程：6x73x4x16 25 【答案】x1-,x2- 3 3 解得x15,x22 经检验xi5,X22是原方程的解. 点评：以前学过的取平方去根号法解无理方程，是种普遍方法.现在的换元法必须构造出根 号内外两个相同的式子才行. 【难度】较难 类型二均值换元 1717.解方程：x2x1x4x719 【答案】xi 585 5.855.55.5 x3一-一，x4一-一 222 【解析】 试题分析： 方程的左边是四个二项式乘积，故展开求解不可取，应通过观察找突破口，左边重组后, x2x7x1x4 试题解析： 解：原方程变形后x2x7 22 x5x14x

25、5x4,可设兀求解 x1x419 整理后得x25x14x25x419 22 x5x14x5x4o 设yx25x5 2 方程可变为y9y919,即y2100 解得y110,y210 由y10得x25x510,解得x1 585 ,x2 2 由y2 一一2_ 10得x5x5 10，解得x3 555.5 ，x4- 22 方程的解是x1 点评：本题也可设x2 【解析】 试题分析： 方程左边四个二次项的乘积，显然展开求解不可取，可尝试变形后 2 6x76x86x672,取均值，将其由繁变简. 试题解析： 2 解：万程变形为6x76x86x672 6x76x76x86x6 设y6x7 4 原方程变成y2y1y172 整理得y4y2720 解得y29或y28（舍去） -y3,Y23 即6x73或6x73 25 解得x12,x27 3 3 【难度】较难 类型三倒数换元 19.19. 解方程：2x43x316x23x20