现代控制理论4

1、第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性现代控制理论基础现代控制理论基础主讲人主讲人: :荣军荣军E-mail:rj1219E-mail:rj1219 第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性4-1 稳定性一般概念稳定性一般概念 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。一、系统稳定的分类：

2、系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。外部稳定又称作输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性 系统内部稳定主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。二、经典控制理论稳定分析： 在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统内部的状态。因此经典控制论中只讨论系

3、统的输出稳定问题。 系统的稳定性是系统本身的特性，与系统的外部输入（控制）无关。在经典控制论中，我们通过研究线性定常系统的特征根的情况来判断系统的输出稳定性：如果系统的特征根都有负的实部（即都在复平面的左部），则系统输出稳定。对于n阶线性连续系统，其特征方程为：00112211ayayayaynnnnn第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性 当n4时，要求出其所有特征根是非常困难的，从而要想通过解出高阶系统的特征根来判别系统稳定性也是不现实的。 我们可通过劳斯霍尔维茨稳定判据，它可以通过线性定常系统特征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。 当系统不是线性定常系统

4、时，或者对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好解决了，这就需要下面介绍的李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性的理论。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性4-2 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义一、一、系统的平衡状态系统的平衡状态：设系统的齐次状态方程为：0)(),(XtXtxfXctt其中，X(t)为系统的n维状态向量，f是有关状态向量X以及显式时间t的n维矢量函数，f不一定是线性定常的。如果对于所有t，状态Xe总满足：f(Xe,t)=0 则我们称Xe为系统的平衡状态。对于一般控制系统，它可能没有，也可能有一个或多个平衡状态。如果系统是一个线性定常系统，即：AXX 那么当

5、那么当A A为非奇异时，为非奇异时，X Xe=0是系统的唯一平衡状态是系统的唯一平衡状态；当当A A为奇异矩阵时，为奇异矩阵时，AX=0AX=0有无数解，也就是系统有无数个平衡状有无数解，也就是系统有无数个平衡状态。态。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性 系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。对系统矩阵A非奇异的线性定常系统，Xe =0是系统的唯一平衡状态，所以对线性定常系统，我们一般笼统用Xe的稳定性代表系统稳定性。二、稳定的定义：设Xe为系统的一个平衡点，如果给定一个以Xe为球心，以为半径的n维球域S()，总能找到一个同样以Xe

6、为球心，（，t0）为半径的n维球域S()，使得从S()球域出发的任意一条系统状态轨迹(t；X0，t0)在tt0的所有时间内，都不会跑出S()球域，则称系统的平衡状态Xe是李雅普诺夫稳定的。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性0000000( , )0,:( )( )( )eeeetxxx txx tttx txxtx 用数学方法来描述：如果对任意实数，都对应存在实数使得满足不等式的任意初态出发的解，在时均成立，则称系统平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定的。当 的选择不依赖于 时，则称 是一致稳定的。三、渐进三、渐进稳定的定义稳定的定义： 如果Xe不仅是李雅普诺夫稳定的平衡状态，而且当时间t无限

7、增加时，从S()球域出发的任一条状态轨迹都最终收敛于球心平衡点Xe，那么称Xe是渐进稳定的。是一致渐进稳定的。时，则称也不依赖于收敛于，且不依赖于当eextxtxt00)(第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性图a反映了x(t)的有界性。图b反映了x(t)随时间变化的渐进性。李雅普诺夫意义下渐近稳定就是经典控制理论中所说的稳定。工程中的系统都要求是李雅普诺夫意义下渐近稳定。 第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性四、大范围渐进四、大范围渐进稳定的定义稳定的定义：etxtx)(lim 渐近稳定性是系统的一个局部稳定性概念。如果对于状态空间中，初始状态是整个状态空间中的任何点，而从 出发的状态轨线

8、 有 ：)(0tx)(tx 则称 0为李雅甫诺夫意义下大范围渐近稳定或李雅甫诺夫意义下全局渐近稳定。当大范围渐近稳定与初始时刻 选择无关时，则称一致大范围渐近稳定。 ex0t 很显然，对于大范围渐近稳定的系统，其必要条件是整个状态空间中，只存在一个平衡状态。 对于线性系统，只要系统 =0是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。 ex第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性五、不五、不稳定的定义稳定的定义：00000( )eeexxxx txxx对于任意的实数，存在一个实数，不论 取的多么小，在满足不等式的所有初始状态中，至少存在一个初始状态 ，由此出发的状态轨线，不满足下面不等式，则称 是不稳定

9、的。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性4-3 李雅普诺夫第一方法李雅普诺夫第一方法李雅普诺夫第一方法又称间接法，该方法的基本思路是：首先求出系统的解或是解的替代量（比如线性定常系统中解的模或特征值）；然后依据解的特点确定平衡态的稳定性。即第一方法要依赖于对系统解的了解，这就限制了它在非线性系统中的应用。一、线性定常连续系统：一、线性定常连续系统：0:( )AtxAxx te x线性定常系统方程为，其解为：nnn它的每一个分量都是系统的 个模态线性组合而成的，而 个模态又是由 个特征值一一确定。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性了解的性质。，所以特征值就确定，对于重根，其模态是对于单根，

10、其模态是),exp(),exp(),exp()exp(2ttttttiiii如果特征值：1) 都具有负的实部，则系统是渐进稳定的。2）没有实部为正的，则系统是稳定的。3）有实部为正的，则系统是不稳定的。我们也可以通过劳斯判据来判定，系统为渐进稳定的充分必要条件是：1）特征多项式中的系数都为正数；2）劳斯表中第一列为正值。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性条件。渐进稳定性的充分必要，试确定的特征多项式为例：线性定常连续系统41322314)(aaaa43212342132141321314200001aaaaaaaaaaaaaaaaaaa解：劳斯阵：系统渐进稳定的充分必要条件是：都为正数43

11、21,aaaa0321aaa023421321aaaaaa第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性二、线性定常离散系统：二、线性定常离散系统：的最小多项式的单根。的特征值都是矩阵，且。，则系统是渐进稳定的，如果其特征值满足；线性离散系统方程为：GkGxkxiii11)21) 1)() 1(我们也可以通过朱利判据来判定。系统渐进稳定的充分必要条件是：0) 1() 1( , 0) 1 ()() 1n满足：特征多项式,:,)220100nnnccbbaa朱利表中第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性010(1)001( )0.050.250.2x kx k例：离散时间方程为：，试判断其稳定性。05.

12、025. 02 . 0)det()(23AI为：解：系统的特征多项式09 . 0) 1(1, 06 . 0) 1 (324. 01875. 09975. 005. 025. 02 . 0112 . 025. 005. 0构造朱利阵：第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性系统为3阶方程，故需要两个判定条件：naa05. 00故系统是渐进稳定的。显然2020,24. 0,9975. 0bbbb三、非线性系统第一法：)()(0)(:0 xgAxxxfxxfxxee做泰勒展开，得附近将非线性函数，在平衡态的非线性系统为平衡态第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性。近似方程，称为线性化略去高阶项可得到一

13、次是级数展开的高阶项阶常数阵，是其中：,)()0()()(212221212111xgnnFAxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxfxFnnnnnnT1)当近似方程是渐进稳定的(或不稳定)，则非线性系统在原点附近是渐进稳定(或不稳定)，而且与g(x)项无关。2)当近似方程是稳定而非渐进稳定的，则非线性系统的稳定取决于高阶项g(x)，当g(x)=0时，非线性系统原点是稳定的。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性性。，讨论其在原点的稳定例：非线性系统22421122xxxxx242121221122),(),()(xxxxxfxxfxf点。系统右端函数解：原点是系统的平衡1802)()(32

14、xxxfxFT其雅可比矩阵为：第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性1002)0(, 0FAAxxxe，得一次近似系统代入原点的。在原点附近是渐进稳定线性系统均具有的实部，所以非显然其特征值2, 1应当注意的是，用这种线性化方法只能判定平衡态的小范围的稳定性。性和输出稳定性。试分析系统的状态稳定，例：某系统方程为： 01111001xyuxX第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性01, 10) 1)(1(021AIxe系统特征方程为：是系统的唯一平衡点，解：态不稳定。的特征根，所以系统状因为有大于00111) 1)(1(1)()(1sssssbAsICsG极点系统传递函数为。输出方面呈现稳定性

15、质点消去，从而在点对消，将不稳定的极实际上，系统通过零极所以系统输出稳定。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性4-4 李雅普诺夫第二方法李雅普诺夫第二方法 李雅普诺夫第二法不必求解系统的状态方程，而是通过一个系统的能量函数来直接判断系统的稳定性，所以又称直接法。它不但适合线性定常系统，而且适用于非线性和时变的系统 在实际系统中，往往不容易找出系统的能量函数，于是李雅普诺夫定义了一个正定的标量函数V(x)，作为系统的一个虚构的广义能量函数。根据 的符号性质，可以判断系统的状态稳定性。)(xV一、标量函数及其符号 设V(x)是定义在n维空间Rn上的标量函数，且当X=0时，V(x)=0，而对其余X

16、Rn，如果：1. V(x)0，则称V(x)是正定的。2. V(x)0，则称V(x)是半正定的（非负定）。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性3. V(x)0，称V(x)是负定的4. V(x)0，则称V(x)是半负定的（非正定）。5. V(x)任意，则称V(x)不定。例如：对二维空间矢量：Txxx212122122212212221)()()()()(3)(xxxVxxxVxxxVxxxVxxxV第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性建立在李雅普诺夫第二法基础上的稳定性分析中，有一类标量函数起着重要的作用，它就是二次型函数。称为二次型函数。 设实对称阵P的各阶主子行列式为：第四章第四章 系统的

17、稳定性系统的稳定性第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性二、二、李雅甫诺夫第二法稳定性定理一李雅甫诺夫第二法稳定性定理一设系统状态方程为 ：)(xfx 在平衡状态的某领域内，标量函数，具有连续一阶导数，且满足 ,0, 0)(0, 0)(1xxVxxV、0, 0)(0, 0)(2xxVxxV、则 是渐近稳定的。如果 则 是 大范围渐近稳定的。 0ex,)(,xVx0ex几点说明：1、定理只给出了渐进稳定或大范围渐进稳定的充分条件，如果找到满足条件的李雅甫诺夫函数，则可得到渐进稳定的结论，若找到的函数不满足条件，不意味着平衡态的不稳定。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性2、李雅甫诺夫函数V(x

18、)可以看做是系统的广义能量，则 就是广义功率，能量为正，功率为负，说明系统运动过程是消耗能量，最终能量趋向0,运动趋向平衡状态。)(xV三、稳定性的其它结论平衡态。是稳定的，则上存在恒为所在系统的任一解曲线且；而即负半定正定，、00)(0)x0,)(0,x0,)()()(1exxVxVxVxVxV是渐进稳定的平衡态。，则为的任一解曲线上均不恒所在系统外，负半定；除平衡态正定，、00)(0)()(2eexxVxxVxV稳定的。则是大范围渐进稳定或，则时，有还满足：在上述结论中，若)()(xVxxV第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性是不稳定的平衡态。也正定；则正定，、0)()(3exxVxV定

19、性。正实数，判别系统的稳为非，其中例：系统的状态方程为0)1 (1222221axxxaxxx00) 1exx，可求得系统平衡状态令解：解题步骤：1、确定系统的平衡态。2、选正定的李雅普诺夫函数。3、判断它的导数的定号性。4、有时需要证明 不恒为0 。)(xV第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性大范围的条件。，它满足数选正定的李雅普诺夫函0)(:)22221xxxViiixxVxV21)()3：判断它的导数的定号性222212222212211)1 (2)1 (2222xxaxxxaxxxxxxx。恒为轨迹上不会有，但在系统状态，即时，或而对于任意。或任意，则要求表达式可知，使由0)(0)(

20、0)(10, 1, 00)()(21212xVxVxVxxxxxxVxV第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性是大范围渐进稳定的。所以，时，是渐进稳定的，且当故0)(0eexxVxx状态的稳定性。的常数，分析系统平衡为大于，其中例：系统的状态方程为01221kxxkxx。，求得系统平衡状态令解：00) 1exx2221)()2kxxxV：选取李雅普诺夫函数为02222)(0, 0)(, 0, 0)() 321212211xkxkxxxkxxxxVxxVxxV而显然有第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性定。为李雅普诺夫意义下稳所以0ex稳定性。，分析系统平衡状态的例：系统的状态方程为21221

21、xxxxx001)exx，可得系统平衡状态为由解：为正定，显然：选取李雅普诺夫函数为)()( )22221xVxxxV是不稳定的。所以；可见00, 0V(x)0, 0V(x)222V(x) )3222211exxxxxxxx第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性试确定系统稳定性。，其中例：已知非线性系统 0)()(2221221222211211axxaxxxxxxaxxxx是系统的平衡态。，则有令确定系统的平衡态解：001)exx为下定，显然：选取李雅普诺夫函数为)(V)( )22221xxxxV)/1)(222)()3222122212211axxxxaxxxxxV判断其导数的定号性0)(

22、/12221xVaxx时，有当第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性0)(/12221xVaxx时，有当0)(/12221xVaxx时，有当定的。，即圆域的边界上是稳，圆域外是不稳定的；渐进稳定的；在，即圆域内是在所以，平衡态axxaxxaxxxe/1/1/10222122212221第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性4-5 线性连续系统的稳定性线性连续系统的稳定性 线性连续系统的稳定性的求法比较多，对于时变系统可根据状态转移矩阵来研究稳定性，对于线性定常系统还可根据A阵的特征值来判定。下面我们根据李雅普诺夫第二法来研究系统的稳定性。唯一的平衡状态在是非奇异矩阵，系统存，假定设系统的状态方

23、程为：0AexAxx)()(为正定的对称常值矩阵李雅普诺夫函数pPxxxVTxpApAxpAxxpxAxxpxpxxpxxdtdxVxVTTTTTTTT)()()()(是一个正定矩阵，而显然第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性)Q()()(0QPAPAQxxxVxVxTTe为正定矩阵，且满足，令应为负定的。为渐进稳定时，当要求稳定。系统，故为大范围渐进为渐进稳定，且是线性此时0ex 由于Q阵的形式可以任意给定，并且最终的判断结果与正定阵Q的不同选择无关。故最方便也是最简单的选择是选取QI(单位阵)。这时李亚南诺夫方程就成为 ：IPAPAT 根据上式求出P阵，用赛尔维斯特判据来检验其正定性，当

24、P阵是正定阵时，则 为一致渐近稳定的，并且是一致大范围渐近稳定的 0ex第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性。解：系统的平衡状态为0ex，可得：由李雅普诺夫方程：IPAPAT第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性4-6 线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的稳定性线性定常离散系统的状态方程为： )() 1(kGxkx0ex是系统的平衡状态 选取李亚甫诺夫函数为 ：)()()(kPxkxkxVT式中，P为 正定的对称常值矩阵。 nn显然Vx(k)为正定， 的差分方程为：)(kxV)()()()()()()()() 1() 1()()1()(kxPPGG

25、kxkPxkxkPGxGkxkPxkxkPxkxkxVkxVkxVTTTTTTT第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性QPPGGQkQxkxkxVkxVxTTe而为正定对称矩阵，式中为负定的，故令为渐进稳定，要求因为)()()()(0上式称为李亚甫诺夫方程。与线性定常连续系统类似，判别 系统的渐近稳定性时，通常是给出一个正定对称常P，然后用上式求出P阵，并验证其正定性。如果P阵是正定的，则 为一致渐近稳定的，且是一致大范围斯近稳定的。 0ex0ex。，试判别系统的稳定性方程为：例：线性离散系统状态)(012/10) 1(kxkx，即：，有，根据李雅普诺夫方程解：系统的平衡状态IPPGGxTe

26、0第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性100102110012102221121122211211pppppppp0211141121222111122pppppp将上式展开，得到：3/8003/5,3/803/5221211Pppp则有是大范围渐进稳定的。为正定阵，故显然0exP第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性的稳定性例：21221132,xxxxxx22214121)(0,1)xxxVxe选取正定标量函数是系统唯一的平衡点，显然解：22221212211221121)()32(21)(21)(xxxxxxxxxxxxxxV则有：大范围渐进稳定的。衡状态是是负定的，故系统的平是正定的

27、，由上可见，)()(xVxV第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性解：利用李雅普诺夫方程求)21001312132112221121122211211ppppppppIPAPAT，有可得：稳定的。平衡状态是大范围渐进点正定且对称，系统的原，故，PPpP0det, 08/38/58/58/1411212212,xxxxx例：是系统的平衡状态，解：显然，0exPIPAPAAT，可得，解李雅普诺夫方程系统的系数矩阵1210第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性定性。，故无法判定系统的稳41414143P02121)det(2AI第一法进行求解，我们可利用李雅普诺夫是不稳定的。，可见系统的平衡状态由上

28、可得：1, 221的取值。时试求系统原点渐进稳定，统方程为例：设线性离散系统系aakxakx, 0)(00100010) 1(第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性1000100010010001001001000333231232221131211333231232221131211pppppppppapppppppppaIPPGGT，可得方程解：由离散李雅普诺夫1001130001200012222aaPaaaP，故正定，只需要，要使解之可得：第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性4-7 其它稳定其它稳定1、BIBS稳定：若x(0)=0及在任意有界输入u(t)作用下，均有x(t)有界，则称

29、系统BIBS稳定；若对任意的x(0)及在任意有界输入u(t)作用下均有x(t)有界，则称系统BIBS全稳定。2、BIBO稳定：若x(0)=0及在任意有界输入u(t)作用下，均有y(t)有界，则称系统BIBO稳定；若对任意的x(0)及在任意有界输入u(t)作用下均有y(t)有界，则称系统BIBO全稳定。对于一个由y(s)=G(s)u(s)描述的线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是：G(s)中每一个元的所有极点具有负实部，如果是单输入-单输出系统线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有极点具有负实部。3、BIBO稳定与平衡状态稳定性之间的关系第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性

30、二者之间是否有关系？递函数的极点决定的，稳定是由传的特征值决定的，而渐进稳定性由平衡状态可知：，由李雅普诺夫第一法，描述的线性定常系统对于方程BIBOxCxyBuAxxeA稳定性。的渐进稳定性与系统的，分析系统平衡状态例：系统方程为BIBOxxyuxxe010121160不是渐进稳定的。，故系统可得：的特征方程为解：03, 20)3)(2(6) 1(det:21exAIA第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性3112)3)(2()3)(2(1)3)(2(6)3)(2(1101211610)()(11sssssssssssssbasIcsg系统的传递函数由于传递函数的极点位于S平面的左半平面，故

31、系统的BIBO稳定。结论：平衡状态xe=0渐进稳定性就包含了系统BIBO稳定性，但是系统BIBO稳定，可能不是平衡状态xe=0渐进稳定。第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性只有线性定常系统是只有线性定常系统是BIBO稳定，且系统是能控、又能观测时，稳定，且系统是能控、又能观测时，系统系统xe=0是渐进稳定的。是渐进稳定的。例：试求如图系统状态稳定的增益K的取值范围。)2)(1()(1)sssksG系统开环传递函数为解：ksssksGsGs23)(1)()(231为：则系统的闭环传递函数第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性上图可等效为下图2)32100010kA则系统状态方程为：10120010231332221kAkuxkxxxxxxx，则则系统状态方程为：第四章第四章 系统的稳定性系统的稳定性IPAPAT求解，可利用李雅普诺夫方程1000100013210001031020100333231232221131211333231232221131211KppppppppppppppppppK则有：)6(233)6(29321)6(293)6(227163)6(218321)6(2183)6(212732222223KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKP60,0)6(KPKK的充分条件是为正定，所以系统稳定时由上可得：第四章第四章 系统的稳定性系统