第八章 优化设计问题处理

1、第八章 优化设计问题处理 8.1 引 言 8.2优化设计前处理问题 8.3优化设计过程处理问题 8.4优化设计后处理问题8.1 8.1 引言引言 机械优化设计的一般过程机械优化设计的一般过程: :l 建立优化设计的数学模型建立优化设计的数学模型l 选择适当的优化方法选择适当的优化方法l 编写计算机程序编写计算机程序l 准备必要的初始数据并上机计算准备必要的初始数据并上机计算l 对计算求得的结果进行必要的分析对计算求得的结果进行必要的分析8.1 8.1 引言引言一、优化设计过程中经常遇到的问题：一、优化设计过程中经常遇到的问题：二、处理方法：二、处理方法：1 1、 前处理前处理l 数学模型的建立

2、与改善；数学模型的建立与改善；l 优化算法的选择；优化算法的选择； l 运行过程中出现死机；运行过程中出现死机；l 得不到运行解；得不到运行解；l 得到的运行解不理想等等。得到的运行解不理想等等。8.1 8.1 引言引言 2 2、 过程处理过程处理l 程序运行中出现死机情况的处理；程序运行中出现死机情况的处理；l 程序运行得不到运行解的处理。程序运行得不到运行解的处理。3 3、后处理、后处理l 对运行解是否为最优解作判断；对运行解是否为最优解作判断；l 对不合理运行解的处理。对不合理运行解的处理。 8.2 8.2 优化设计前处理问题优化设计前处理问题一、设计变量一、设计变量 当设计变量数当设计

3、变量数 n 增加时，维数增加，维数太高，直接增加时，维数增加，维数太高，直接影响运算速度和效率，函数的凸性等不容易判断。影响运算速度和效率，函数的凸性等不容易判断。 当设计变量数当设计变量数 n 减少时，设计空间变小，设计的自度减少时，设计空间变小，设计的自度减小，维数太少时，影响优化设计的质量。减小，维数太少时，影响优化设计的质量。1、设计变量选择原则：设计变量选择原则：l 本身可在较大范围内变化本身可在较大范围内变化 有变化性；有变化性；l 对设计指标、设计质量有显著影响对设计指标、设计质量有显著影响 作用明显作用明显；l 能直接控制的独立参数能直接控制的独立参数 无相关性。无相关性。8.

4、2 8.2 优化设计前处理问题优化设计前处理问题2、降低维数的措施：、降低维数的措施： 作常数处理：作常数处理： 将一些不太重要的、对设计质量影响不太大、本身变将一些不太重要的、对设计质量影响不太大、本身变化不太大的参数，作为常数赋值。化不太大的参数，作为常数赋值。 变量联结：变量联结： 根据设计规范或经验公式，得出各变量之间的关系，可作根据设计规范或经验公式，得出各变量之间的关系，可作为因变量的参数，以函数形式表达，实现变量联结。为因变量的参数，以函数形式表达，实现变量联结。 例如，齿轮设计中例如，齿轮设计中m, Z 为基本变量，其它变量均可用这两为基本变量，其它变量均可用这两个变量来表达，

5、个变量来表达，D = mZ, b= a1m, c= a2m 其中其中a1, a2,是根据经验、工艺、结构强度等选择的常数。是根据经验、工艺、结构强度等选择的常数。8.2 8.2 优化设计前处理问题优化设计前处理问题二、约束函数：二、约束函数：1、约束的数量：、约束的数量： 约束数量过多，数学模型的规模偏大，同时使得可行域约束数量过多，数学模型的规模偏大，同时使得可行域偏小，限制了优化设计的范围，影响了优化质量。偏小，限制了优化设计的范围，影响了优化质量。 约束数量过少，可能使可行域不封闭、包含不了所有的约束数量过少，可能使可行域不封闭、包含不了所有的设计变量；也可能因为获得运行解后需要校核许多

6、条件，设计变量；也可能因为获得运行解后需要校核许多条件，优化失去了原本的意义。优化失去了原本的意义。注意：注意： 不应该出现矛盾约束不应该出现矛盾约束8.2 8.2 优化设计前处理问题优化设计前处理问题三、目标函数：三、目标函数：函数过于复杂，则非线性程度高，出现病态、非凸性、函数过于复杂，则非线性程度高，出现病态、非凸性、H(x) 矩阵奇异等，影响优化过程的稳定性和运算结果的矩阵奇异等，影响优化过程的稳定性和运算结果的准确性准确性 ，甚至会出现不收敛现象。，甚至会出现不收敛现象。 要注意改善函数的性要注意改善函数的性态。态。 四、数学模型的规范化：四、数学模型的规范化： 目的：目的： 改善函

7、数的性态；改善函数的性态； 加速收敛；加速收敛； 提高运行的稳定性；提高运行的稳定性； 提高运行解的准确性。提高运行解的准确性。1、设计变量的规范化、设计变量的规范化 使用标度变量使用标度变量当各设计变量之间在量级上相差很大时，在给定的搜索当各设计变量之间在量级上相差很大时，在给定的搜索方向上各自的灵敏度相差也很大。灵敏度大的搜索变化方向上各自的灵敏度相差也很大。灵敏度大的搜索变化快，灵敏度小的搜索变化慢。为了消除这种差别，可以快，灵敏度小的搜索变化慢。为了消除这种差别，可以对设计变量进行重新标度。使它成为无量纲或规格化的对设计变量进行重新标度。使它成为无量纲或规格化的设计变量，这种处理称设计

8、变量的尺度变换。设计变量，这种处理称设计变量的尺度变换。使用标度变量使用标度变量 ：iiiyk x01/iikx*/iiixyk ：设计变量初始值设计变量初始值0ix逆变换得到原问题的最优解：逆变换得到原问题的最优解：8.2 8.2 优化设计前处理问题优化设计前处理问题2、目标函数规范化、目标函数规范化 尺度变换：尺度变换：221212( )14448f xxxx x1212,122yyxx2212121( )3f yyyy y*1212,122yyxxx8.2 8.2 优化设计前处理问题优化设计前处理问题3、约束函数规范化、约束函数规范化 控制约束值区间：控制约束值区间：例：例： 挠度约束：

9、挠度约束： 应力约束：应力约束： 10.50gx 21500gx 两个约束对数值变化的灵敏度相差很大。当采用惩两个约束对数值变化的灵敏度相差很大。当采用惩罚函数的时候两者在惩罚项中的作用相差很大，灵罚函数的时候两者在惩罚项中的作用相差很大，灵敏度高的约束条件将先得到满足，而灵敏度低得几敏度高的约束条件将先得到满足，而灵敏度低得几乎得不到考虑乎得不到考虑8.2 8.2 优化设计前处理问题优化设计前处理问题3、约束函数规范化、约束函数规范化 控制约束值区间：控制约束值区间：规范化：边界约束：规范化：边界约束： 性能约束：性能约束： 11010uiiiuixgxxxgxx 22010gxgx 各个约

10、束函数的取值范围都限制在各个约束函数的取值范围都限制在0，1区间内，区间内，起到稳定搜索过程和加速收敛的作用起到稳定搜索过程和加速收敛的作用8.2 8.2 优化设计前处理问题优化设计前处理问题五、五、优化算法的选择：优化算法的选择：l 考虑设计变量的类型；考虑设计变量的类型；l 考虑函数的类型、性态；考虑函数的类型、性态；l 考虑数学模型的类型、规模；考虑数学模型的类型、规模；l 考虑工程设计的要求。考虑工程设计的要求。8.3 8.3 优化设计过程处理问题优化设计过程处理问题一、程序运行过程中出现死机情况的分析及处理：一、程序运行过程中出现死机情况的分析及处理：l 可能出现分母近似为零的现象；

11、可能出现分母近似为零的现象；l 可能超出函数可行域，计算溢出；可能超出函数可行域，计算溢出；l 可能有矛盾约束；可能有矛盾约束； l 可能模型有其它不合理的情况等等。可能模型有其它不合理的情况等等。8.3 8.3 优化设计过程处理问题优化设计过程处理问题二、程序运行得不到运行解的分析与处理：二、程序运行得不到运行解的分析与处理：运行出现运行出现 “无限循环无限循环” ：l 若设计点来回变化，目标函数值忽大忽小，无规律若设计点来回变化，目标函数值忽大忽小，无规律 ，则属，则属 于不收敛。需要更换算法，或完善数学模型。于不收敛。需要更换算法，或完善数学模型。l 若计算时间很长，仍未收敛，但目标函数

12、还是在下降，变化若计算时间很长，仍未收敛，但目标函数还是在下降，变化 极小，几乎不变。则可能步长太小，或精度太高，需要调整。极小，几乎不变。则可能步长太小，或精度太高，需要调整。 8.4 8.4 优化设计后处理问题优化设计后处理问题一、确认最优解：一、确认最优解：1、校核和精确性运算：、校核和精确性运算：l 将未列入约束的设计限制条件，作校核；将未列入约束的设计限制条件，作校核；l 试算后的精确性运算：对初步运算时，未达到的精度或还试算后的精确性运算：对初步运算时，未达到的精度或还 不很合理的参数，作进一步调整，再次作精确性优化运算。不很合理的参数，作进一步调整，再次作精确性优化运算。 2、根

13、据工程实际情况，判断确认最优解、根据工程实际情况，判断确认最优解3、复核性运算：、复核性运算：l 变换初始点，作复核性的优化运算；变换初始点，作复核性的优化运算；l 变换参数，再次作复核性的优化运算；变换参数，再次作复核性的优化运算；l 变换算法，再次作复核性的优化运算。变换算法，再次作复核性的优化运算。 二、对不合理运行解的分析和处理：二、对不合理运行解的分析和处理：1、可能是局部最优解、可能是局部最优解 改变初始点；改变初始点； 2、可能算法运用不当、可能算法运用不当 变化算法的相关参数；变化算法的相关参数；3、可能算法选择不合适、可能算法选择不合适 重新选择算法；重新选择算法；4、可能数

14、学模型不完全合适、可能数学模型不完全合适 改善数学模型。改善数学模型。 最优解最优解必须在工程上是可行的、实用的、合理的、符合工程实必须在工程上是可行的、实用的、合理的、符合工程实际的、符合设计要求的。必须是比以往的设计方案际的、符合设计要求的。必须是比以往的设计方案更优更优的。的。对于普通机床，对于普通机床，不要求过高的加不要求过高的加工精度，对机床工精度，对机床主轴的优化设计，主轴的优化设计，以选取以选取主轴的自主轴的自重最轻为目标，重最轻为目标，外伸端的挠度为外伸端的挠度为约束条件。约束条件。优化模型的建立：优化模型的建立： 设计变量设计变量 当主轴的材料选定时，其设计方案由四个设计当主

15、轴的材料选定时，其设计方案由四个设计变量决定。孔径变量决定。孔径d、外径、外径D、跨距、跨距l 及外伸端长度及外伸端长度a。由于机床主轴内孔用于通过待加工的棒料，其大由于机床主轴内孔用于通过待加工的棒料，其大小由机床型号决定，不作为设计变量。小由机床型号决定，不作为设计变量。123,TTxx x xl D a 2213214f xxxxd目标函数：目标函数：约束条件约束条件 00g xyy在外力在外力F F给定的情况下，给定的情况下，y y是设计变量是设计变量x x的函数的函数, ,其其值按下式计算值按下式计算23FalayI4464IDd 231304426403Fxxxg xyE xd刚度

16、满足条件，强度尚有富裕，因此应力约束条刚度满足条件，强度尚有富裕，因此应力约束条件可不考虑。边界约束条件为设计变量的取值范件可不考虑。边界约束条件为设计变量的取值范围，即围，即minmaxminmaxminmaxlllDDDaaa 确定约束条件确定约束条件将所有的约束函数规格化，主轴优化设计的数学模型将所有的约束函数规格化，主轴优化设计的数学模型可表示为：可表示为： 32min42max1/0/10gxxDgxxD Min.s.t. 2213214f xxxxd 23131044264/103FxxxgxyE xd 21min1/0gxxl 53min1/0gxxa 圆柱齿轮减速器是一种非常广

17、泛的机械传动装置。圆柱齿轮减速器是一种非常广泛的机械传动装置。目前我国减速器存在的问题：体积大，重量重、承载目前我国减速器存在的问题：体积大，重量重、承载能力低、成本高和使用寿命短等问题。能力低、成本高和使用寿命短等问题。对减速器进行优化设计，就要考虑：提高承载能力、对减速器进行优化设计，就要考虑：提高承载能力、减轻重量和降低经济成本。减轻重量和降低经济成本。减速器的优化设计一般是在给定功率减速器的优化设计一般是在给定功率P P、齿数比、齿数比u u、输入转速输入转速n n以及其他技术条件和要求下，找出一组使以及其他技术条件和要求下，找出一组使减速器的某项经济技术指标达到最优的设计参数。减速器

18、的某项经济技术指标达到最优的设计参数。不同类型的减速器，选取的设计变量使不同的。不同类型的减速器，选取的设计变量使不同的。展开式圆柱齿轮减速器：齿轮齿数、模数、齿宽、展开式圆柱齿轮减速器：齿轮齿数、模数、齿宽、螺旋角及变位系数等。螺旋角及变位系数等。设计变量应是独立参数，非独立参数不可列为设设计变量应是独立参数，非独立参数不可列为设计变量。例如齿轮齿数比为已知，一对齿轮传动计变量。例如齿轮齿数比为已知，一对齿轮传动中，只能取中，只能取Z1Z1或或Z2Z2一个为设计变量。又如中心距一个为设计变量。又如中心距不可取为设计变量，因为齿轮齿数、模数确定后，不可取为设计变量，因为齿轮齿数、模数确定后，中

19、心距就随之确定了。中心距就随之确定了。不同的设计要求，目标函数不同。若减速器的中心不同的设计要求，目标函数不同。若减速器的中心距没有要求时，可取减速器最大尺寸最小或重量最距没有要求时，可取减速器最大尺寸最小或重量最轻作为目标函数。轻作为目标函数。 14minminf xmf xlrar 若中心距固定，可取其承载能力为目标函数。若中心距固定，可取其承载能力为目标函数。 1/minf x减速器类型、结构形式不同，约束函数也不完全相减速器类型、结构形式不同，约束函数也不完全相同。同。（1 1）边界约束）边界约束（2 2）性能约束）性能约束已知齿数比为已知齿数比为u,u,输入功率为输入功率为P, P,

20、 主动齿轮转速为主动齿轮转速为n n1 1, , 求求在满足零件强度和刚度条件下在满足零件强度和刚度条件下, , 使减速器体积最小的使减速器体积最小的各项设计参数。各项设计参数。取减速器重量最轻作为取减速器重量最轻作为目标函数目标函数 minfxV当材料选定时，其设计方案由六个设计变量决定当材料选定时，其设计方案由六个设计变量决定。b, m, z1, dz1, dz2, l。1min10gzz（1 1）防止根切）防止根切2min10bgz m（2 2）为保证承载能力）为保证承载能力, , 同时避免载荷沿齿宽分同时避免载荷沿齿宽分布严重不均布严重不均, , 对齿宽系数进行约束对齿宽系数进行约束m

21、inmaxdbd3max10bgz m（3 3）对传动动力的齿轮）对传动动力的齿轮, , 模数不能过小模数不能过小420gm511max0gz md（4 4）为限制大齿轮的直径不至于过大，对小齿）为限制大齿轮的直径不至于过大，对小齿轮直径进行约束轮直径进行约束（5 5）齿轮主、从动轴的直径取值范围）齿轮主、从动轴的直径取值范围61min10zzgdd711max0zzgdd82min20zzgdd922max0zzgdd（6 6）按结构关系）按结构关系, , 轴的支撑距离轴的支撑距离l1020.5400zgbdl 110HHg（7 7）按齿轮的接触疲劳强度和弯曲疲劳强度条）按齿轮的接触疲劳强度

22、和弯曲疲劳强度条件件, , 应有应有12110FFg13220FFg（8 8）根据轴的刚度条件）根据轴的刚度条件, , 轴的最大弯曲挠度轴的最大弯曲挠度 14max0gyymax48nF IyEJFn Fn 为作用在小齿轮齿面上的法向载荷为作用在小齿轮齿面上的法向载荷（9）根据轴的弯曲条件，弯曲应力约束为：）根据轴的弯曲条件，弯曲应力约束为：15110bbg16220bbg连杆机构的类型很多，这里只以曲柄摇杆机构两连杆机构的类型很多，这里只以曲柄摇杆机构两类运动学设计为例来说明连杆机构优化设计的一类运动学设计为例来说明连杆机构优化设计的一般步骤和方法。般步骤和方法。当曲柄当曲柄l1做等做等速转动时，要速转动时，要求摇杆求摇杆l3按照按照已知的运动规已知的运动规律律E运动。运动。1.1.设计变量的确定设计变量的确定 决定机构尺寸的各杆长度，以及当摇杆按已知运决定机构尺寸的各杆长度，以及当摇杆按已知运动