2018-2019学年江苏省扬州市邗江中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2018-2019学年江苏省扬州市邗江中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1在ABC中，下列等式正确的是( )Aa:b=A:BBa:b=sinA:sinBCa:b=sinB:sinADasinA=bsinB【答案】B【解析】根据正弦定理变形得到结果.【详解】由正弦定理asinA=bsinB可得：a:b=sinA:sinB，可知B正确本题正确选项：B【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题.2若直线l的斜率k1,3，则直线倾斜角的范围是（ ）A4,3B0,334,)C3,34D3,2)(2,34【答案】B【解析】根据斜率与倾斜角的关系，利用正切值所处范围得到倾斜角

2、的范围.【详解】k=tan1,3，且0,当tan1,0时，34,；当tan0,3时，0,30,334,本题正确选项：B【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，利用斜率的取值范围可求得倾斜角范围，需注意的是直线倾斜角范围为：0,.3下列说法正确的是（ ）A通过圆台侧面一点，有无数条母线B棱柱的底面一定是平行四边形C用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台D圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形【答案】D【解析】根据空间几何体的定义依次判断各个选项即可.【详解】根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，可知A错误；棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面

3、是四边形即可，可知B错误；由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，可知C错误；圆锥的轴截面为等腰三角形，可知D正确.本题正确选项：D【点睛】本题考查空间几何体基本概念的判定，属于基础题.4在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinA:sinB:sinC=3:5:7,则最大角为（ ）A56B6C23D3【答案】C【解析】根据正弦定理可得三边的比例关系；由大边对大角可知C最大，利用余弦定理求得余弦值，从而求得角的大小.【详解】sinA:sinB:sinC=3:5:7 由正弦定理可得：a:b:c=3:5:7设a=3k，b=5k，c=7kc最大 C为最

4、大角cosC=a2+b2c22ab=9k2+25k249k22×3k×5k=15k230k2=12C0, C=23本题正确选项：C【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及到三角形中大边对大角的关系，属于基础题.5已知不重合的直线a，b和平面，下面命题中正确的是(   ) 若a，b，则ab； 若ca，bc，则ab； 若ab，b，则a； 若ab，a，则b或bABCD【答案】D【解析】在正方体中分别寻找反例，可说明错误，根据平行的位置关系可知正确.【详解】在如下图所示的正方体中：A1B1/平面ABCD，BC平面ABCD，此时A1B1与BC异面，

5、可知错误；ABAD，AA1AD，此时AA1AB，可知错误；AB/CD，CD平面ABCD，此时AB平面ABCD，可知错误；两条平行直线中的一条直线平行于一个平面，则另一条必平行于该平面或属于该平面，可知正确本题正确选项：D【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面之间的位置关系的判定，属于基础题.6在正方体ABCDA1B1C1D1各个表面的对角线中，与AD1所成角为60°的有( )A4条B6条C8条D10条【答案】C【解析】首先确定与AD1共面的面对角线中成60角的共有4条，再通过平行关系确定异面的面对角线中也有4条，共8条.【详解】以AD1为一边的面对角线构成的等边三角形如上图为：

6、AB1D1和AD1C可知与AD1夹角为60的面对角线有：B1D1,AB1,CD1,AC根据平行关系可知BD,C1D,A1B,A1C1也与AD1成60角可知满足题意的面对角线共有8条本题正确选项：C【点睛】本题考查两条直线夹角的问题，关键是在考虑共面的直线的同时，也需要考虑异面直线的情况.7如果满足ABC=60°，AB=8，AC=k的三角形ABC有两个，那么实数k的取值范围是（ ）A23,43B(43,8)C(4,8)D43,6)【答案】B【解析】根据三角形解得个数的确定方法，确定当ABC有两个时，需满足csinB<b<c，由此得到k的范围.【详解】如图所示，AD=ABsi

7、nB=43当AD<AC<AB时，以A为圆心，AC为半径的弧与BC交于两点C1、C2即此时ABC有两个可得：43<k<8本题正确选项：B【点睛】本题考查解三角形中三角形解的个数的确定方法，通常我们采用画圆的方式，确定圆弧与边交点的个数，根据交点个数得到三角形个数.8两点(2,3),(4,5)到直线l的距离都等于5，则直线l有（ ）条A1条B2条C3条D4条【答案】C【解析】根据两点间距离可确定直线可在两点连线之间，也可以平行于两点连线所在直线；当平行时，求出斜率，假设直线方程，利用点到直线距离构造方程，求出直线有2条；当在两点连线之间时，可确定斜率一定存在，利用点到直线距

8、离构造方程，求出直线有1条；所以满足题意的直线共有3条.【详解】2,3与4,5之间距离d=242+352=10两点2,3、4,5到直线l距离都等于5l可在两点连线之间，也可以平行于两点连线所在的直线平行于两点连线所在的直线，则k=5+34+2=43设直线l方程为：y=43x+b，即4x3y+3b=0可得：8+9+3b5=5，解得：b=8或b=263在两点连线之间，则直线l必过中点1,1当l斜率不存在，即为x=1时，不满足题意则l斜率存在，设l:y1=kx1，即kxyk+1=0可得：2k+3k+1k2+1=5，解得k=34综上所述，直线l共有3条本题正确选项：C【点睛】本题考查点到直线距离公式的

9、应用，关键是要通过两点间距离判断满足题意的直线的位置有可能在连线之间，也可以平行于两点连线，由此分别求解得到结果.9在ABC中，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB，且a2+b2=mc2，则实数m的值为( )A3B2C2D3【答案】A【解析】将正切化弦后进行整理，得到sin2CsinAsinB=cosC，根据正余弦定理将角化为边，可得到a2+b2=3c2，从而可求出m.【详解】tanAtanC+tanBtanC=sinAsinCcosAcosC+sinBsinCcosBcosC=sinAcosBsinC+cosAsinBsinCcosAcosBcosC=sinCsinAcos

10、B+cosAsinBcosAcosBcosC=sinCsinA+BcosAcosBcosC=sin2CcosAcosBcosCtanAtanB=sinAsinBcosAcosBsin2CcosAcosBcosC=sinAsinBcosAcosB，即sin2CsinAsinB=cosC由正弦定理、余弦定理得：c2ab=a2+b2c22ab，即a2+b2=3c2又a2+b2=mc2 m=3本题正确选项：A【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理对边角关系式进行化简，解决此类问题时如遇到正切、余切，通常采用切化弦的方式，将问题转化到正余弦的问题上再来求解.10点P为直线y=34x上任意一点，F1(5,

11、0),F2(5,0)，则|PF1|PF2|的取值范围是 （ ）A0,8)B2,10C3,6D0,+）【答案】A【解析】两点关于原点对称，且直线过原点，可知最小值在P为坐标原点时取得；利用点关于直线对称点的求解方法求出F1的对称点F1，由斜率关系可知直线F1F2平行于y=34x，则PF1PF2<F1F2，从而可得到所求范围.【详解】当P为坐标原点时，PF1=PF2，此时PF1PF2=0，为最小值设F1关于y=34x对称的点为F1x,y则：y0x+534=1y+02=34x52，解得：F175,245，此时PF1=PF1又kF1F2=0+2455+75=34，得：直线F1F2平行于y=34x

12、可知P,F1,F2必构成三角形PF1PF2=PF1PF2<F1F2=5+752+0+2452=8即PF1PF2<8综上所述：PF1PF20,8本题正确选项：A【点睛】本题考查直线上动点到两定点距离之差的取值范围的问题，关键是能够通过对称的方式，利用三角形三边关系求解最值，易错点是忽略了平行关系，导致误认为三点共线取最大值，造成求解错误.二、填空题11动圆x2+y22xk2+2k2=0的半径的取值范围是_【答案】2,+)【解析】根据一般方程得到圆的半径，再利用二次函数的最值求解方法得到半径的取值范围.【详解】由圆的一般方程可知：圆的半径r=124+04k2+2k2=124k28k+1

13、2=k22k+3当k=1时，k22k+3min=2>0 r2本题正确结果：2,+【点睛】本题考查圆的一般方程的应用，涉及到二次函数最值问题的求解，属于常规题型.12已知正方体ABCDA1B1C1D1，P为棱AA1上任意一点，则四棱锥PBB1D1D的体积与正方体ABCDA1B1C1D1的体积之比为_【答案】13【解析】利用线面平行关系将所求四棱锥的高变为A到面BB1D1D的距离，根据正方体特点可知为12AC；根据体积公式分别求解正方体和四棱锥体积，从而得到结果.【详解】由题意可知：AA1/平面BDD1B1P到平面BDD1B1的距离即为A到平面BDD1B1的距离又ACBD，ACBB1 AC平

14、面BDD1B1设正方体棱长为a则正方体体积V=a3四棱锥PBB1D1D的体积V=13SBB1DD12AC=16×2a2×2a=13a3 V:V=13本题正确结果：13【点睛】本题考查空间几何体体积的求解问题，关键是能够通过平行关系确定几何体的高，从而使问题得以解决.13设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若(3bc)cosA=acosC，则cosA的值为_【答案】33【解析】利用正弦定理将边角关系式中的边都化成角，再结合两角和差公式进行整理，从而得到cosA.【详解】3bccosA=acosC由正弦定理可得：3sinBsinCcosA=3sinBcosAsin

15、CcosA=sinAcosC即：3sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sinA+C=sinBB0, sinB0 cosA=33本题正确结果：33【点睛】本题考查李用正弦定理进行边角关系式的化简问题，属于常规题.14已知直线l过点(2,3)，且在x轴上的截距是在y轴上截距的两倍，则直线l的方程为_【答案】3x2y=0或x+2y8=0【解析】讨论截距为零和不为零两种情况，为零时根据斜率直接得到直线；不为零时，假设直线的截距式方程，代入点求得结果.【详解】若l在坐标轴的截距均为0，即l过原点，满足题意此时l方程为：y=32x，即3x2y=0当l在坐标轴截距不为0时，设其在y轴截距为

16、b则l方程为：x2b+yb=1，代入2,3，解得：b=4 l方程为：x+2y8=0综上，直线l方程为：3x2y=0或x+2y8=0本题正确结果：3x2y=0或x+2y8=0【点睛】本题考查直线方程的求解问题，主要考察直线截距式方程的应用，易错点是忽略了截距为零的情况.15如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D,测得BDC45°,则塔AB的高是_.【答案】10【解析】设塔高AB为x米，根据题意可知，在ABC 中，ABC=90°，ACB=60°

17、，AB=x， 从而有BC=33x，AC=233x ；在BCD中，CD=20，BCD=105°，BDC=30°，CBD=45° ，由正弦定理可得BC=20sin30°sin45°=15233x=102.x=106 故塔高AB为106m.16等腰三角形一腰的中线长为2，则该三角形面积的最大值为_【答案】83【解析】建立平面直角坐标系，假设出各点坐标，得到向量BD，利用BD2=4得到m,n满足的关系；利用m,n表示出三角形面积后，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出最大值.【详解】由题意，建立如下图所示的平面直角坐标系：设Bm,0，Cm,0

18、，A0,nD为AC中点 Dm2,n2 BD=3m2,n2BD2=3m22+n22=4SABC=12×2m×n=mn=43×3m2×n243×3m22+n222=83当且仅当3m2=n2，即n=3m时取等号本题正确结果：83【点睛】本题考查利用基本不等式解决几何中的最值问题，关键是能够通过长度关系得到m,n满足的关系式，从而利用基本不等式求解积的最大值的方法得到所求最值.三、解答题17（1）求过点(2,1)且和直线2x+4y7=0平行的直线方程；（2）求过点(2,3),(2,5)且圆心在直线x2y3=0上的圆的方程。【答案】(1)x+2y4=0(

19、2)(x+1)2+(y+2)2=10【解析】（1）假设平行直线方程，代入点求得方程；（2）假设圆心坐标，利用圆心到两点距离相等构造方程，求出圆心坐标和半径，从而得到圆的方程.【详解】（1）设所求直线为：2x+4y+m=0代入2,1得：4+4+m=0 m=8所求直线方程为：x+2y4=0（2）圆心在直线x2y3=0上可设圆心为2t+3,t则r=2t+322+t+32=2t+3+22+t+52解得：t=2，r=10，则圆心为1,2圆的方程为：x+12+y+22=10【点睛】本题考查利用直线平行关系求解直线方程、已知圆上两点和圆心所在直线求解圆的方程问题，属于基础题.18已知在ABC中，角A、B、C

20、所对的边分别为a、b、c，且b2=a2+c23ac，c=3b（1）求角A； （2）若ABC的外接圆半径为2，求ABC的面积【答案】（1）当C=60°时A=90°，当C=120°时A=30°，（2）当A=90°时，SABC=23，当A=30°时，SABC=3【解析】试题分析：（1）ABC中，b2=a2+c23ac，cosB=a2+c2b22ac=32，B=30°3分csinC=bsinB，sinCsinB=cb，又c=3b，即sinCsin30°=3 sinC=32C=60°或120°6分A+B+

21、C=180°当C=60°时A=90°，当C=120°时A=30°， 8分（2）bsinB=csinC=2R，b=2RsinB,c=2RsinC10分当A=90°时，SABC=12ABACsinA=2R2sinAsinBsinC=2312分当A=30°时，SABC=12ABACsinA=2R2sinAsinBsinC=3综上所述：当A=90°时，SABC=23，当A=30°时，SABC=314分【考点】本题考查了正余弦定理的综合运用点评：正、余弦定理是解斜三解形强有力的工具，在求解三角形的时候，问题涉及三角

22、形的若干几何量，解题时要注意边与角的互化.一般地，已知三角形的三个独立条件（不含已知三个角的情况），应用两定理，可以解三角形19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=AC，D，F分别是棱BC，B1C1的中点，E是棱CC1上的一点求证：（1）直线A1F平面ADE；（2）直线A1F直线DE【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）通过证明四边形AA1FD为平行四边形可证得A1F/AD，再根据线面平行判定定理得到结论；（2）根据等腰三角形三线合一和线面垂直性质可证得ADBC，A1FBC，从而根据线面垂直判定定理得到A1F平面BCC1B1；再根据线面垂直性质定理得到结论.【详解】（1）

23、连接FDF,D分别为B1C1,BC中点 FD/BB1/AA1且FD=BB1=AA1四边形AA1FD为平行四边形 A1F/AD又A1F平面ADE，AD平面ADEA1F/平面ADE（2）AB=AC，D为BC中点 ADBC又A1F/AD A1FBC由直三棱柱可知：CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1CC1A1F，又CC1BC=C，CC1,BC平面BCC1B1 A1F平面BCC1B1DE平面BCC1B1 A1FDE【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明问题，涉及到线面平行判定定理、线面垂直判定定理、线面垂直性质定理的应用.在立体几何中，如果最终需证明线线垂直，则往往通过线面垂直的性质定理

24、证得结论.20如图，等边ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BDAE，BD2AE，AEAB，M为AB的中点(1)证明：CMDE；(2)在边AC上找一点N，使CD平面BEN.【答案】（1）见解析；（2）N为AC边上靠近A的三等分点；证明见解析.【解析】（1）根据等边三角形证得CMAB，再根据面面垂直的性质定理得到线面垂直，利用线面垂直的性质得到结论；（2）取面ADC，当BE与AC上一点连线构成平面时，根据线面平行性质定理可知：所得平面与面ADC的交线必平行于CD；两面已有一个交点P，则只需过P作CD的平行线，与AC交点即为N，根据长度关系可知：N为AC边上靠近A的三等分点；通过找BD中点F得E

25、F/AB，易证得G为AD和EF中点；根据平行线分线段成比例和长度关系可证得PGAP=NHAN=12，从而证得PN/GH，再利用三角形中位线得GH/CD，从而有PN/CD，根据线面平行判定定理，可证得结论成立.【详解】（1） ABC为等边三角形，且M为AB中点 CMAB又平面ABC平面ABDE，平面ABC平面ABDE=AB，CM平面ABCCM平面ABDE又DE平面ABDE CMDE（2）N为AC边上靠近A的三等分点，证明如下：取BD中点F，连接EF交AD于G取AC中点H，连接GH；连接BE交AD于PBD=2AE，F为BD中点，BD/AE EF/AB G为AD中点FG=EG=12ABEG/AB E

26、GAB=PGAP=12N为AC边上靠近A的三等分点即ANAC=13 ANAH=23 ANAHAN=ANNH=2即NHAN=12 PN/GH又G,H分别为AD,AC中点 GH/CDPN/CD又PN面BEN，CD面BEN CD/面BEN【点睛】本题考查线线垂直的证明、补全线面平行的条件的存在性问题，关键是能够根据图形，逆用线面平行性质定理首先确定特殊点的位置，再利用相关定理进行证明.21已知ABC的面积为32，且ABAC=1且AB>AC（1）求角A的大小；（2）设M为BC的中点，且AM=32，BAC的平分线交BC于N，求线段MN的长度。【答案】（1）A=23（2）MN=76【解析】（1）利用

27、向量数量积和三角形面积公式可构造出tanA的值，从而得到A；（2）利用AM为中线得到向量关系：2AM=AB+AC；通过平方运算转化为模长的计算可得b2+c2=5；再根据（1）中bc=2可求出b,c，从而余弦定理可得a；根据等高三角形面积之比等于底边之比可求得CN，进而可求得所求结果.【详解】（1）ABAC=-1 ABACcosA=bccosA=-1又SABC=12bcsinA=32，即bcsinA=3bcsinAbccosA=sinAcosA=tanA=-3又A0, A=23（2）如下图所示：在ABC中，AM为中线 2AM=AB+AC4AM2=AB+AC2=AB2+2ABAC+AC2=c2+b2-2=3b2+c2=5由（1）知：bcsinA=3 bc=2又c>b c=2，b=1由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=5+2=7 a=7SANC=12ANbsinCAN=12ANsinCANSBAN=12ANcsinBAN=ANsinBAN又CAN=BANSANCSBAN=CNBN=12，又CN+BN=a=7 CN=73MN=CM-CN=12a-CN=72-73=76【点睛】本题考查向量与解三角形综合应用问题，涉及到向量