环境数学模型概述

1、第三章第三章 环境系统数学模型环境系统数学模型我们我们常见常见的的 数学数学模型模型玩具、照片玩具、照片.风洞中的飞机风洞中的飞机.地图、电路图地图、电路图.实物模型实物模型物理模型物理模型符号模型符号模型观点：观点：所谓的所谓的高科技高科技就是一种就是一种数学技术数学技术。什么是数学模型什么是数学模型建模的三大功能：解释、判断、预见建模的三大功能：解释、判断、预见解释解释孟德尔遗传定律孟德尔遗传定律RrRr( Rr)RRRrRrrr+表现性状比：表现性状比：3 3：1 1放射性废物处理放射性废物处理美国原子能委员会提出如下的处理浓缩放美国原子能委员会提出如下的处理浓缩放射性废物的方案：封装入

2、密封性很好的射性废物的方案：封装入密封性很好的坚固的圆桶中，沉入坚固的圆桶中，沉入300300feet的海里。的海里。而一些工程师提出质疑？需要判断方案的而一些工程师提出质疑？需要判断方案的合理性。合理性。判断判断30040vft s？F重重F浮浮f f阻阻0.08v0.08v谷神星的发现谷神星的发现预见预见行星的轨道半径行星的轨道半径143 21010,0,1,2,?,4,5nRn 水、金、地、火、？、木、土水、金、地、火、？、木、土1802年，发现了谷神星与年，发现了谷神星与3 3对应，之对应，之后，还发现了海王星、冥王星后，还发现了海王星、冥王星你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行

3、问题航行问题” 甲乙两地相距750 公里，船从甲到乙顺水航行需30 小时，从乙到甲逆水航行需50 小时，问船的速度是多少。用x表示船速，y表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx求解得到 x=20, y=5,答：船速每小时答：船速每小时2020公里公里航行问题建立数学模型的基本步骤航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20公里）。数学模型 (Mathematica

4、l Model) 和数学建模（Mathematical Modeling)数学模型数学模型: :对于一个现实对象对象，为了一个特定目的目的，根据其内在规律规律，作出必要的简化假设假设，运用适当的数学工具数学工具，得到的一个数学结构数学结构。数学建模：数学建模：建立数学模型的全过程全过程（包括建立、求解、分析、检验）。数数 学学 建建 模模 的的 重重 要要 意意 义义 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。数学建模计算机技术如虎添翼如虎添翼知识经济内内 容容第一节第一节 环境数学模型概述环境数学模型概述

5、 第二节第二节 环境数学模型的建模方法简介环境数学模型的建模方法简介 第三节第三节 EXCELEXCEL在建立数学模型中的应用在建立数学模型中的应用3-13-1环境数学模型概述环境数学模型概述一、定义和分类一、定义和分类 1.1.定义定义如果一个事物如果一个事物 M M 与另一个事物与另一个事物 S S 之间，满足两个条之间，满足两个条件：件： M M 中包含有一些元素中包含有一些元素( (分量分量) )，每个元素，每个元素( (分量分量) )分别分别对应和代表对应和代表 S S 中的一个元素中的一个元素( (分量分量) )； M M 中的上述分量之间应存在一定的关系，这种个关中的上述分量之间

6、应存在一定的关系，这种个关系可以用于与系可以用于与 S S 的分量间关系进行类比。的分量间关系进行类比。 我们则将事物我们则将事物 M M 称为事物称为事物 S S 的的模型模型。满足模型条件的数学表达式和算法满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型叫做数学模型环境系统工程中的数学模型是应用数学语言和方环境系统工程中的数学模型是应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物法来描述环境污染过程中的物理、化学、生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关系的数学方程。相互关系的数学方程。2.模型的形式模型的形式数学模型数学模型:方程式方程

7、式,函数函数,逻辑式逻辑式图象模型图象模型:流程图流程图,方向图方向图,框图；框图；计算机程序计算机程序:计算程序计算程序,模拟程序模拟程序相似模型相似模型:(实物放大缩小实物放大缩小)建筑模型，风洞实验模型建筑模型，风洞实验模型模拟模型模拟模型:电模拟模型电模拟模型模模型型抽象模型抽象模型具体模型具体模型3.3.数学模型的特点数学模型的特点数学模型的最大特点是它的数学模型的最大特点是它的抽象性抽象性和对真实世界的和对真实世界的理想化和理想化和简化简化，它要比其它模型更抽象、更简化、，它要比其它模型更抽象、更简化、更反映事物本质更反映事物本质 优点：优点：1 1）用数学模型进行对原型的展示和模

8、拟研究，不需）用数学模型进行对原型的展示和模拟研究，不需要过多的专用设备和用材料制作模型，仅要过多的专用设备和用材料制作模型，仅需要一需要一台计算机台计算机，比较容易实现，而且不受外界恶劣条，比较容易实现，而且不受外界恶劣条件影响，可以加快模拟研究的进度。件影响，可以加快模拟研究的进度。2 2）在实物模型上或原型上进行某些条件的模拟试验）在实物模型上或原型上进行某些条件的模拟试验研究是不允许的或是不可能做到的，这些特殊或研究是不允许的或是不可能做到的，这些特殊或极限情况在数学模型中可以很容易做到，而且在极限情况在数学模型中可以很容易做到，而且在数学模型模拟中数学模型模拟中不存在放大效应。不存在

9、放大效应。 3 3）在环境科学与工程领域，常常需要对）在环境科学与工程领域，常常需要对大范围大范围区域区域进行研究，如流域、区域、全球环境，这对物理进行研究，如流域、区域、全球环境，这对物理模型几乎是不可能的，数学模型可以作到。模型几乎是不可能的，数学模型可以作到。4 4）利用计算机和多媒体技术，数学模型也可以把模）利用计算机和多媒体技术，数学模型也可以把模拟结果表现的十分拟结果表现的十分逼真逼真 制约制约 1 1）抽象或简化可能或往往不完全正确，在描述系统）抽象或简化可能或往往不完全正确，在描述系统的某些特征时有可能忽略了关键因素，造成模型的某些特征时有可能忽略了关键因素，造成模型失真失真

10、2 2）二是由于系统本身的复杂性，数学模型仅能够对）二是由于系统本身的复杂性，数学模型仅能够对系统进行粗略的近似，模型本身存在着固有误差，系统进行粗略的近似，模型本身存在着固有误差，如果不切实际地要求提高如果不切实际地要求提高精度精度，会使得模型变得，会使得模型变得十分十分复杂复杂，计算困难或根本无法获得可靠的解答，计算困难或根本无法获得可靠的解答 。4.数学模型的分类数学模型的分类划分依据划分依据模型类型模型类型变量与时间关系变量与时间关系稳态模型稳态模型 动态模型动态模型变量间关系变量间关系线性模型线性模型 非线性型非线性型变量性质变量性质确定性模型确定性模型 随机性型随机性型参数性质参数

11、性质集中参数模型集中参数模型 分布参数模型分布参数模型模型用途模型用途模拟模型模拟模型( (评价评价) )，管理模型，管理模型( (优化优化) )环境系统数学模型的环境系统数学模型的一般建模方法一般建模方法 环境系统数学模型的环境系统数学模型的基本结构基本结构如果我们关心的是环境系统的某一个如果我们关心的是环境系统的某一个状态变量状态变量Y Y（例（例如某污染物浓度或物理参数，如多个关心变量，如某污染物浓度或物理参数，如多个关心变量，成为方程组），影响这一状态变量的系统变量可成为方程组），影响这一状态变量的系统变量可以分成系统其它以分成系统其它状态变量状态变量 （ x x1 1，x x2 2，

12、.x.xn n）和）和外部变量外部变量 （ u u1 1，u u2 2，.u.um m），模型中），模型中参数参数为为（ 1 1， 2 2，. . p p）。则数学模型的一般结构可以）。则数学模型的一般结构可以表达为：表达为： , ,yf x u 环境系统模型中变量的分类环境系统模型中变量的分类 干扰变量干扰变量 决策变量决策变量 状态变量状态变量 中间变量中间变量 u, x y环境系统环境系统 yu二、数学模型的建立二、数学模型的建立建模过程建模过程观测数观测数据组据组模型结模型结构选择构选择模型模型应用应用观测数据组观测数据组参数参数估计估计检 验 与 验检 验 与 验证证1.1.数据的搜

13、集与初步分析数据的搜集与初步分析1 1）数据（或资料，即）数据（或资料，即datadata） 客观实体属性的值，是对客观事物及其状态进行记客观实体属性的值，是对客观事物及其状态进行记录而得到的用于鉴别的符号。录而得到的用于鉴别的符号。2 2）信息（）信息（informationinformation） 信息是反映客观情况的，信息是反映客观情况的，它表达和反映了人们对某它表达和反映了人们对某一事物的认识和了解程度；一事物的认识和了解程度；信息与决策是密切相关信息与决策是密切相关的，正确的决策必须依靠和控制有足够数量和质量的，正确的决策必须依靠和控制有足够数量和质量的信息，信息通过决策体现自身的价

14、值；信息是抽的信息，信息通过决策体现自身的价值；信息是抽象的认识或知识。象的认识或知识。3 3） 数据处理数据处理（1 1）明确收集数据的目标）明确收集数据的目标（2 2）有时间的连续性和一定的时间跨度）有时间的连续性和一定的时间跨度（3 3）鉴别可靠性）鉴别可靠性4）信息源的概念：与目标有关的信息集合信息源的概念：与目标有关的信息集合信息信息源源信信息息目目标标5 5）信息源的性质）信息源的性质不可预知部分不可预知部分将可理解部分将可理解部分遗漏部分遗漏部分已理解部分已理解部分可知部分可知部分不可知部分不可知部分本质本质上不上不可知可知部分部分信息源信息源2 2、模型的结构、模型的结构1 1

15、）. .白箱模型又称机理模型白箱模型又称机理模型 根据对系统的结构和性质的了解根据对系统的结构和性质的了解, ,以客观事物变化遵以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。法。机理模型具有机理模型具有唯一性唯一性建立机理模型最主要的方法是建立机理模型最主要的方法是质量平衡法质量平衡法规律相同时可以通用规律相同时可以通用 2 2）黑箱模型又称经验模型或输入输出模型）黑箱模型又称经验模型或输入输出模型人们对系统运行规律没有掌握，仅根据观察即一定人们对系统运

16、行规律没有掌握，仅根据观察即一定输入条件下的系统输出。建立模型时不追究系统输入条件下的系统输出。建立模型时不追究系统运行内在机理，仅根据输入输出数据的观测，在运行内在机理，仅根据输入输出数据的观测，在数理统计基础上建立起的经验模型的方法叫归纳数理统计基础上建立起的经验模型的方法叫归纳法。法。系统或状态下使用是系统或状态下使用是有条件有条件的的 经验模型经验模型不不具有具有唯一唯一性，可被多种不同类型的函数性，可被多种不同类型的函数描述描述 本世纪二十年代本世纪二十年代, ,意大利生物学家意大利生物学家 U.DAnconaU.DAncona在研在研究相互制约的各鱼类种群结构时发现究相互制约的各鱼

17、类种群结构时发现, ,食肉鱼类的食肉鱼类的百分比在第一次世界大战期间急剧增加。当时他百分比在第一次世界大战期间急剧增加。当时他认为是由于战争期间捕捞量大大降低的结果认为是由于战争期间捕捞量大大降低的结果, ,但捕但捕捞量的减少也同样有利于被捕食的小鱼。尽管捞量的减少也同样有利于被捕食的小鱼。尽管 U.D. Ancona U.D. Ancona 从生物学的角度多方考虑，始终未从生物学的角度多方考虑，始终未能取得满意的结果；然而能取得满意的结果；然而, ,这一问题被意大利数学这一问题被意大利数学家家 Volterra Volterra 解决解决, ,他建立起著名的他建立起著名的“捕食模型捕食模型”

18、。从所讨论的事物出发来建立模型时，首先使重要特从所讨论的事物出发来建立模型时，首先使重要特征以分量形式出现在模型中，在本问题中用征以分量形式出现在模型中，在本问题中用 x x 表表示被捕食肉的小鱼的种群数，以示被捕食肉的小鱼的种群数，以 y y 表示食肉鱼类表示食肉鱼类( (大鱼大鱼) )的种群数的种群数, ,要求获得其相互制约关系要求获得其相互制约关系, ,及人及人类活动对该关系的影响。类活动对该关系的影响。Volterra Volterra 的捕食模型为：的捕食模型为：kxBxyAxdtdxBxyAxdtdxDyCxydtdy(A ,B ,C ,D ,x,y 0)kyDyCxydtdy新平

19、衡点 yP =(A-k)/B xP =(D+k)/C再讨论捕捞的影响,若对大鱼和小鱼都具有相同的捕捞比率,原模型转变为Y X ( X1k, Y1k )( X0, Y0 )( X12, Y12 )( X10, Y10 )( X11, Y11 )( XP, YP )图图1-3 Volterra捕食模型的轨线结构由dx/dt =0 解出 y0=A/B；由dy/dt =0 解出 x0=D/C；例：在例：在x4x r r sin sin 则雨淋在前胸上的雨量为则雨淋在前胸上的雨量为则，代入常数的总量为则，代入常数的总量为4sin30.8cos1.44 104sinCDIwh(rsin)vv3330.8c

20、os1.56sin1.44 100.8cos6sin1.04 101.44 10vCvv于是，在于是，在为负角的情况下，为负角的情况下，当当 即即 时，时，V V尽可能大，尽可能大，C C才能尽可能小，才能尽可能小，当当 即，即，才是淋雨量最小。才是淋雨量最小。0.8cos6sin020tan15sinvr0.8cos6sin02tan15 上述结果似乎与实际有些相符上述结果似乎与实际有些相符 结论：结论： 如果你是如果你是逆风逆风行走，则越快越好；行走，则越快越好； 如果是如果是顺风顺风行走，则当雨的倾角行走，则当雨的倾角大于大于约约8 8时，你时，你应该保持与降雨的水平速度一致的速度；而当

21、雨应该保持与降雨的水平速度一致的速度；而当雨基本上是垂直而下时（倾角基本上是垂直而下时（倾角小于小于约约8 8），还是），还是越越快越好快越好。雨中行走问题的建模过程，又一次提醒我们模型假雨中行走问题的建模过程，又一次提醒我们模型假设的重要性和模型的阶段性。设的重要性和模型的阶段性。问题问题3 3：某校有某校有200200名学生，甲系名学生，甲系100100名，乙系名，乙系6060名，丙名，丙系系4040名，若学生代表会议设名，若学生代表会议设2020个席位，问三系个席位，问三系各有多少个席位？各有多少个席位？问题的提出问题的提出按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则按惯例分配席位方案，即按

22、人数比例分配原则Npqmm m 表示某单位的席位数表示某单位的席位数P P 表示某单总人数表示某单总人数N N 表示总人数表示总人数q q 表示总席位数表示总席位数现有现有6 6名学生从丙系转到甲乙系各名学生从丙系转到甲乙系各3 3名名2020个席位的分配个席位的分配(20/100)20=4(30/100)20=6(50/100)20=10分配方案分配方案440/20040 丙丙660/20060乙乙10100/200100甲甲席位数席位数所占比例所占比例人数人数系别系别17.0%20=3.431.5%20=6.351.5 %20 =10.3分配方案分配方案4 434/200=17.0%34

23、丙丙6 663/200=31.5%63乙乙1010103/200=51.5%103甲甲席位数席位数所占比例所占比例人数人数系别系别现象现象1 1：丙系少了：丙系少了6 6人，但席位仍是人，但席位仍是4 4位，位，不公平！不公平！为了在表决提案时可能出现为了在表决提案时可能出现1010：1010的平局，再设一个的平局，再设一个席位。席位。2121个席位的分配结果个席位的分配结果17.0%21=3.57031.5%21=6.61551.5 %21=10.815分配方案分配方案34/200=17.0%34 34 丙丙63/200=31.5%6363乙乙103/200=51.5%103103甲甲席位数

24、席位数所占比例所占比例人数人数系别系别1173现象现象2 2：总席位增加一席，丙系反而减少一席（不公平！）：总席位增加一席，丙系反而减少一席（不公平！）惯例分配：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额惯例分配：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？ 建模分析建模分析目标：建立公平的分配方案。目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。34/4=8.534/4=8.56

25、3/6=10.563/6=10.5103/10=10.3103/10=10.3每席位代表的人数每席位代表的人数4 46 61010席位数席位数好好34 34 丙丙差差6363乙乙中中103103甲甲公平程度公平程度人数人数系别系别40/4=1040/4=1060/6=1060/6=10100/10=10100/10=10每席位代表的人数每席位代表的人数4 440 40 丙丙6 66060乙乙1010100100甲甲席位数席位数人数人数系别系别34/3=11.3334/3=11.3363/7=963/7=9103/11=9.36103/11=9.36每席位代表的人数每席位代表的人数3 37 71

26、111席位数席位数差差34 34 丙丙好好6363乙乙中中103103甲甲公平程度公平程度人数人数系别系别一般地，一般地，每席位代表的人数每席位代表的人数席位数席位数B BA A人数人数单位单位1p2p1n2n11np22np当当2211npnp席位分配公平席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。准来判断。准。称为“绝对不公平”标 ) 12211npnp值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。100100101010001000DD102-100102-100=

27、2=2102102101010201020C C10101010100100B B12-10=212-10=212121010120120A A绝对不公平绝对不公平标准标准每席位代表每席位代表的人数的人数席位数席位数n n人数人数p p单位单位C,DC,D的不公平程度大为改善！的不公平程度大为改善！2 2） 相对不公平相对不公平np表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。2211npnp则则A A吃亏吃亏, ,或对或对A A 是不公平的。是不公平的。定义定义“相对不公

28、平相对不公平”则称，若 2211npnp1),(122122221121npnpnpnpnpnnrA对对A A的相对不公平值的相对不公平值同理，可定义对同理，可定义对B B 的相对不公平值为：的相对不公平值为：则称，若 2211npnp1),(211211112221npnpnpnpnpnnrB对对B B的相对不公平值的相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度的数量指标建立了衡量分配不公平程度的数量指标BArr ,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。:建模建模若若A A、B B两方已占有席位数为两方已占有席位数为,21nn用相对不公平值用相对不

29、公平值讨论当席位增加讨论当席位增加1 1 个时，应该给个时，应该给A A 还是还是B B 方。方。不失一般性，不失一般性， 2211，若npnp有下面三种情形。有下面三种情形。情形情形1 1 1 2211，npnp说明即使给说明即使给A A 单位增加单位增加1 1席，仍对席，仍对A A不公平，所增这一席必须给不公平，所增这一席必须给A A单位。单位。情形情形2 2 1 2211，npnp说明当对说明当对A A 不公平时，给不公平时，给A A单单位增加位增加1 1席，对席，对B B又不公平。又不公平。计算对计算对B B 的相对不公平值的相对不公平值1) 1() 1() 1(), 1(211211

30、112221npnpnpnpnpnnrB情形情形3 3 1 2211，npnp说明当对说明当对A A不公平时，给不公平时，给B B单位单位增加增加1 1席，对席，对A A 不公平。不公平。计算对计算对A A 的相对不公平值的相对不公平值1) 1() 1() 1() 1,(122122221121npnpnpnpnpnnrA),1,(), 1(2121nnrnnrAB若则这一席位给则这一席位给A A 单位，否则给单位，否则给B B 单位。单位。1) 1(), 1(211221npnpnnrB1) 1() 1,(122121npnpnnrA12212112) 1() 1(npnpnpnp(*) )

31、 1() 1(11222212nnpnnp结论结论：当（：当（* *）成立时，增加的一个席位应分配给）成立时，增加的一个席位应分配给A A 单单位，位，反之，应分配给反之，应分配给 B B 单位。单位。记作记作21 ) 1(2, innpQiiii则增加的一个席位应分配给则增加的一个席位应分配给Q Q值较大的一方。值较大的一方。这样的分配席位的方法称为这样的分配席位的方法称为Q Q值方法。值方法。若若A A、B B两方已占有席位数为两方已占有席位数为,21nn4 4 推广推广 有有m m方分配席位的情况方分配席位的情况设设iA方人数为方人数为ip，已占有，已占有in个席位个席位，mi,2, 1

32、当总席位增加当总席位增加1 1 席时，计算席时，计算m, innpQiiii, 21 ) 1(2则则1 1席应分给席应分给Q Q值最大的一方。从值最大的一方。从 开始，即每方开始，即每方至少应得到以至少应得到以1 1 席，（如果有一方席，（如果有一方1 1 席也分不到，则席也分不到，则把它排除在外。）把它排除在外。）1inF举例举例甲、乙、丙三系各有人数甲、乙、丙三系各有人数103103，6363，3434，有，有2121个席个席位，如何分配？位，如何分配？按按Q Q值方法：值方法：3 , 21 ) 1(2, innpQiiii1, 1, 1321nnn785) 11 ( 134, 5 .98

33、41) 11 ( 163 5304.5,) 11 ( 1103232221QQQ785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 1632 .7681) 12(2103232221QQQ1丙丙1乙乙1甲甲785)11 (1345 .661)12(2632 .7681)12(2103232221QQQ785)11 (1345 .661)12(2634 .888)13(3103232221QQQ45678910111213141516 1718192021甲：甲：1111，乙：，乙：6 6，丙：，丙：4 4第二节第二节 环境数学建模方法简介环境数学建模方法简介 一、系统结构和过程分析方法一

34、、系统结构和过程分析方法二、污染物稀释扩散模型二、污染物稀释扩散模型三、机理分析建模法三、机理分析建模法四、回归分析建模四、回归分析建模五、时间序列建模五、时间序列建模 灰箱模型的建立，一般从对对象系统的调查和灰箱模型的建立，一般从对对象系统的调查和研究开始，掌握系统的结构和系统内现象发生研究开始，掌握系统的结构和系统内现象发生的过程，通过分析建立系统的定性模型，又称的过程，通过分析建立系统的定性模型，又称概念模型，然后研究系统内发生的各类过程数概念模型，然后研究系统内发生的各类过程数学表达式，把系统变化过程定量化。学表达式，把系统变化过程定量化。 黑箱模型，常采用测试分析的方法建立，即将研黑

35、箱模型，常采用测试分析的方法建立，即将研究的系统视为一个黑箱系统，测量系统的输入和究的系统视为一个黑箱系统，测量系统的输入和输出数据，并以此为依据运用统计分析方法，在输出数据，并以此为依据运用统计分析方法，在某一类模型中选择一个与数据拟合得比较好的模某一类模型中选择一个与数据拟合得比较好的模型。型。 1 1、模型变量的筛选与确定、模型变量的筛选与确定1 1）首先建立环境输入输出模型时，根据建模的目的，）首先建立环境输入输出模型时，根据建模的目的，很容易确定要描述的系统变量，即很容易确定要描述的系统变量，即因变量因变量。2 2）然后，利用对系统的初步了解，特别是利用专业）然后，利用对系统的初步了

36、解，特别是利用专业知识和经验确定影响应变量的因素，即需要考虑知识和经验确定影响应变量的因素，即需要考虑模型的模型的自变量自变量。3 3）搜集历史数据或组织试验观察获得数据，为建模）搜集历史数据或组织试验观察获得数据，为建模作准备。作准备。注意问题注意问题：1 1）可能会把对因变量影响很小的自变量引入，也有）可能会把对因变量影响很小的自变量引入，也有可能漏掉一些重要的自变量和控制变量，可能漏掉一些重要的自变量和控制变量，2 2）有一些）有一些变量间互相不独立变量间互相不独立，在利用逐步回归方法，在利用逐步回归方法建立模型时可以消除变量间相互影响或相互重叠建立模型时可以消除变量间相互影响或相互重叠

37、对模型的影响。对模型的影响。3 3）一些重要变量可能在建模观察的系统变化范围内一些重要变量可能在建模观察的系统变化范围内变化很小变化很小，一般不考虑作为变量引进模型，因为，一般不考虑作为变量引进模型，因为很难观察，引进后用处也不大。很难观察，引进后用处也不大。4 4）模型变量的选择是一个）模型变量的选择是一个反复研究的过程反复研究的过程，历史上，历史上对类似问题的研究可以帮助确定需要引入的变量。对类似问题的研究可以帮助确定需要引入的变量。 2.2.数学模型结构的选择数学模型结构的选择 通过表达式变换，把曲线函数形式转化为线性函数形通过表达式变换，把曲线函数形式转化为线性函数形式。式。不少数学手

38、册上还有这些函数的图形和直线化方程，不少数学手册上还有这些函数的图形和直线化方程，对我们选择输入输出模型结构形式很有帮助。对我们选择输入输出模型结构形式很有帮助。 lnln0.4343bxyaeyabx11yabxabxyxxyabxabxy23012301 122.ybb xb xb xybb xb x3.3.合理安排系统实验或观察合理安排系统实验或观察用于建立输入输出模型用于建立输入输出模型数据的质量决定了模型产品数据的质量决定了模型产品的质量的质量。建模用的原始数据质量和观测方法及观。建模用的原始数据质量和观测方法及观测仪器精度有关，也和试验或观察的安排有关。测仪器精度有关，也和试验或观

39、察的安排有关。观察点位的分布应该考虑系统的变化规律，变化剧观察点位的分布应该考虑系统的变化规律，变化剧烈地方宜多布点烈地方宜多布点 对对自变量取值自变量取值进行进行观察的次数观察的次数应该选得合理，保证应该选得合理，保证一定的精度，又不过多加重试验负担，这方面主一定的精度，又不过多加重试验负担，这方面主要靠经验。要靠经验。 模型中各变量的模型中各变量的观察精度要协调观察精度要协调，不要盲目增加某，不要盲目增加某些变量的观察精度，而另一些变量却观察的十分些变量的观察精度，而另一些变量却观察的十分粗糙，这时候模型的精度完全由观察粗糙的变量粗糙，这时候模型的精度完全由观察粗糙的变量决定了。决定了。

40、合理设计建模合理设计建模试验方案试验方案，可以采用科学的试验方法，可以采用科学的试验方法 系统内污染物的分布和变化情况系统内污染物的分布和变化情况污染源污染源其他有关物质其他有关物质环境介质环境介质污染物污染物污染受体污染受体系统组成系统组成系统内污染物的分布和变化情况系统内污染物的分布和变化情况有关的过程有关的过程污染物污染物排放排放污染物污染物相 间相 间迁移迁移污染物转化或污染物转化或化学生物学化学生物学反应反应环境介质环境介质中的稀中的稀释释一、系统结构和过程分析方法一、系统结构和过程分析方法 例如：河流中溶解氧浓度分布及其变化，影响因素及例如：河流中溶解氧浓度分布及其变化，影响因素及

41、各因素间发生的过程可以用图表示。这个图就是一各因素间发生的过程可以用图表示。这个图就是一个系统概念模型，美国个系统概念模型，美国QUAL-IIQUAL-II河流水质模型就是对河流水质模型就是对它定量化开发出来的。我们从图中可以知道，河流它定量化开发出来的。我们从图中可以知道，河流中溶解氧浓度受大气复氧过程、中溶解氧浓度受大气复氧过程、CBODCBOD耗氧过程，耗氧过程，NBODNBOD耗氧过程、底泥耗氧过程、藻类呼吸耗氧和光耗氧过程、底泥耗氧过程、藻类呼吸耗氧和光合作用产氧作用控制。磷一般不直接影响溶解氧，合作用产氧作用控制。磷一般不直接影响溶解氧，但它对河流中藻类浓度有较大影响，间接影响溶解

42、但它对河流中藻类浓度有较大影响，间接影响溶解氧浓度，它来源于人为排放，还通过底泥分解有机氧浓度，它来源于人为排放，还通过底泥分解有机物而向水中释放。底泥中有机物厌氧分解，产生溶物而向水中释放。底泥中有机物厌氧分解，产生溶解性有机物和氨氮进入水系统，底泥和水中有机物解性有机物和氨氮进入水系统，底泥和水中有机物之间存在物质交换，颗粒态有机物可能沉入底泥，之间存在物质交换，颗粒态有机物可能沉入底泥，底泥也可能被冲刷进入河水，在底泥或水中消耗溶底泥也可能被冲刷进入河水，在底泥或水中消耗溶解氧。解氧。 大气大气河流河流溶解溶解氧氧底泥底泥CBOD水中磷水中磷藻类叶绿素藻类叶绿素aNH3-NNO2-NNO

43、3-N 大气复氧过程大气复氧过程 CBODCBOD耗氧过程耗氧过程 底泥耗氧过程底泥耗氧过程藻类生物量受许多因素制约藻类生物量受许多因素制约 asdCKCCdtddLK Ldt11dcbddLrk Ldt331lnexpLmNpLNKL IpNKpKHKL IHNBODNBOD耗氧过程比耗氧过程比CBODCBOD要复杂得多，首先分解成氨氮，要复杂得多，首先分解成氨氮，进一步分解成亚硝酸态氮，最后才形成硝酸态氮进一步分解成亚硝酸态氮，最后才形成硝酸态氮 1111dNk Ndt 2222121dNk Nk Ndt 3333232dNk Nk Ndt 4444343dNk Nk Ndt 二、污染物稀

44、释扩散模型的推导和建立二、污染物稀释扩散模型的推导和建立 1 1、污染物在环境介质中的输送和稀释扩散特征、污染物在环境介质中的输送和稀释扩散特征 1 1）推流迁移推流迁移推流迁移是污染物随介质运动而发生的位置变化，推流迁移是污染物随介质运动而发生的位置变化，不不改变环境介质中污染物的浓度改变环境介质中污染物的浓度。通过某断面单位面。通过某断面单位面积的污染物通量积的污染物通量f f f = u Cf = u C分解到三个坐标轴，则有分解到三个坐标轴，则有 f fx x = u = ux x C f C fy y = u = uy y C f C fz z = u = uz z C C式中，式中

45、，u u为该处环境介质流速，为该处环境介质流速，C C为该处污染物浓度。为该处污染物浓度。 2 2）扩散作用扩散作用污染物在湍流流动的介质中，在浓度梯度作用下存在污染物在湍流流动的介质中，在浓度梯度作用下存在两种扩散作用：两种扩散作用：分子扩散分子扩散作用和作用和湍流扩散作用湍流扩散作用。a.a.分子扩散分子扩散是由分子的随机运动引起的分散现象，扩是由分子的随机运动引起的分散现象，扩散过程服从散过程服从FickFick第一扩散定律，即分子扩散通量第一扩散定律，即分子扩散通量I I与扩散物质的浓度梯度成正比。对三个坐标轴，有：与扩散物质的浓度梯度成正比。对三个坐标轴，有： xMdcIEdx yM

46、dcIEdy zMdcIEdz E EM M 为分子扩散系数为分子扩散系数 b.b.湍流扩散湍流扩散是湍流流场中质点随机运动引起的一种是湍流流场中质点随机运动引起的一种分散现象。当质点的随机运动是稳定的条件下，分散现象。当质点的随机运动是稳定的条件下，湍流扩散规律也可以用湍流扩散规律也可以用FickFick第一定律描述，但其第一定律描述，但其系数是湍流扩散系数。和分子扩散系数不同，湍系数是湍流扩散系数。和分子扩散系数不同，湍流扩散系数往往是各向异性的。流扩散系数往往是各向异性的。 xxdcIEdx yydcIEdy zzdcIEdz C C为一定时间周期内的平均浓度为一定时间周期内的平均浓度

47、c.c.弥散现象可以定义为由空间各点流速（或其他参弥散现象可以定义为由空间各点流速（或其他参数）与考察空间的平均值的系统差别所产生的分数）与考察空间的平均值的系统差别所产生的分散现象。散现象。弥散也可以用（没有严格的理论证明）弥散也可以用（没有严格的理论证明）Fick Fick 第一第一定律的形式表示。定律的形式表示。 xxdcIDdx yydcIDdy zzdcIDdz 弥散现象只有在弥散现象只有在考察空间平均浓度考察空间平均浓度时才进入模型中来，时才进入模型中来，这时的浓度参数和流速都是空间平均值这时的浓度参数和流速都是空间平均值 但是对空间平均浓度来说，这三种分散作用的大小相但是对空间平

48、均浓度来说，这三种分散作用的大小相差悬殊，河流中分子扩散系数差悬殊，河流中分子扩散系数1010-5-5-10-10-4-4 m m2 2/s/s，湍流，湍流扩散系数扩散系数1010-2-2-10-10-0-0 m m2 2/s/s，弥散系数，弥散系数10101 1-10-10 4 4 m m2 2/s /s 2 2、污染物的衰减和转化性质、污染物的衰减和转化性质 非守恒物质非守恒物质进入环境之后，除了稀释、扩散和迁移进入环境之后，除了稀释、扩散和迁移之外，自己还发生自我分解或在其他化学物质与之外，自己还发生自我分解或在其他化学物质与生物的作用下衰减。由于污染物在环境中的浓度生物的作用下衰减。由

49、于污染物在环境中的浓度很低，一般都把这种衰减看作是一级反应，产生很低，一般都把这种衰减看作是一级反应，产生的误差不会很大。的误差不会很大。守恒物质在环境输送和迁移过程中认为不发生转化守恒物质在环境输送和迁移过程中认为不发生转化和相间转移。和相间转移。 ddLkLdt 河流湖泊中的有机物，一般根据它们的持久期长短河流湖泊中的有机物，一般根据它们的持久期长短分辨是否是持久性污染物。）分辨是否是持久性污染物。）持久期持久期是指物质进入环境至是指物质进入环境至75%75%在环境中在环境中消失消失所需要所需要的时间的时间 分分 类类持持 久久 期期实实 例例非持久性有机物非持久性有机物1-121-12周

50、周大多数有机磷杀大多数有机磷杀虫剂虫剂弱持久性有机物弱持久性有机物3-203-20个月个月甲基对硫磷甲基对硫磷持久性有机物持久性有机物2-52-5年年有机氯化合物，有机氯化合物，DDTDDT永久性污染物永久性污染物不降解不降解金属类、无机盐金属类、无机盐类类环境介质的推流迁移作用，污染物的分散作用和衰减环境介质的推流迁移作用，污染物的分散作用和衰减过程过程0aAx0aA0aAx(1) 推流迁移 (2)推流迁移+分散 (3)推流迁移+分散+衰减A=a A=a Aax假如进入环境的污染物能够和介质互相融合，具有相同的流体假如进入环境的污染物能够和介质互相融合，具有相同的流体力学性质，无相间转移现象

51、，从而可以把污染物质点看作力学性质，无相间转移现象，从而可以把污染物质点看作是流体质点进行分析。是流体质点进行分析。按空间维数分类；分为零维、一维、二维、三维水质模型。按空间维数分类；分为零维、一维、二维、三维水质模型。当把所考察的水体看成是一个当把所考察的水体看成是一个完全混合反应器完全混合反应器时，即水体中水时，即水体中水质组分的浓度是均匀分布的，描述这种情况的水质模型称质组分的浓度是均匀分布的，描述这种情况的水质模型称为为零维零维的水质模型。的水质模型。描述水质组分的迁移变化在描述水质组分的迁移变化在一个方向一个方向上是重要的，另外两个方上是重要的，另外两个方向上是均匀分布的，这种水质模

52、型称为向上是均匀分布的，这种水质模型称为一维一维水质模型。水质模型。描述水质组分的迁移变化在描述水质组分的迁移变化在两个方向两个方向上是重要的，在另外的一上是重要的，在另外的一个方向上是均匀分布的，这种水质模型称为个方向上是均匀分布的，这种水质模型称为二维二维水质模型。水质模型。描述水质组分，迁移变化在描述水质组分，迁移变化在三个方向三个方向进行的水质模型称为进行的水质模型称为三维三维水质模型。水质模型。 1 1）零维环境质量基本模型（箱模型）的推导）零维环境质量基本模型（箱模型）的推导 根据质量守衡可写根据质量守衡可写出完全混合反应出完全混合反应器的平衡方程器的平衡方程, ,即即零维模型零维

53、模型 连续流完全混合反应器连续流完全混合反应器Q,C0Q,CSV,C0()dCVQ CCSKCVdt如果单元内没有源和汇项，并且自身衰减可以看如果单元内没有源和汇项，并且自身衰减可以看作是一级反应，则零维模型可以改写成作是一级反应，则零维模型可以改写成 0ddCVQ CCK CVdt2 2）混合单元模型（系列箱模型）混合单元模型（系列箱模型）如果被视作完全混合器的环境单元有若干个，首尾相如果被视作完全混合器的环境单元有若干个，首尾相连，则描述这种环境系统的零维模型被称为混合单连，则描述这种环境系统的零维模型被称为混合单元系列模型。比如，河流无法看成一个箱子，但可元系列模型。比如，河流无法看成一

54、个箱子，但可以分割成一系列的河段，每个河段认为是浓度均匀以分割成一系列的河段，每个河段认为是浓度均匀的箱子，近似模拟河流的污染情况。混合单元系列的箱子，近似模拟河流的污染情况。混合单元系列模型直接利用零维模型，模型直接利用零维模型， 对单元对单元1 1有有 对单元对单元2 2有有 对单元对单元i i有有 1011ddCVQ CCK CVdt2122ddCVQ CCK C Vdt1iiididCVQ CCK CVdt3 3）一维环境质量基本模型的推导）一维环境质量基本模型的推导 xCDCuxxxxCDxxCDxCuxCuxxxx)()(zxyxyz单位时间内，流经端面的物质总量为物质通量与面积单

55、位时间内，流经端面的物质总量为物质通量与面积的乘积。的乘积。单位时间内输入量为：单位时间内输入量为：单位时间内的输出量为：单位时间内的输出量为：若体积元污染物按一级反应式衰减，衰减量为：若体积元污染物按一级反应式衰减，衰减量为：对微小体元利用质量守衡定律，并令对微小体元利用质量守衡定律，并令x0 x0，得，得 xxCu CDy zx xxxxu CCCu CxDDxy zxxxx dK C x y z xxdu CCCDk Ctxxx 在均匀流场中，介质的流速和扩散系数可以认为是在均匀流场中，介质的流速和扩散系数可以认为是常数，则上式进一步简化常数，则上式进一步简化 x x 坐标方向的弥散系数

56、坐标方向的弥散系数 x x方向的流速分量方向的流速分量 y y 坐标方向的弥散系数坐标方向的弥散系数 y y方向的流速分量方向的流速分量22xxdCCCDuk CtxxxDxuyDyu4 4）二维和三维环境数学基本模型）二维和三维环境数学基本模型 如果考虑微元如果考虑微元2 2个或个或3 3个方向的物质平衡关系，我们可个方向的物质平衡关系，我们可以得到相应的均匀流场中的二维和三维环境质量基以得到相应的均匀流场中的二维和三维环境质量基本模型。本模型。二维二维环境数学基本模型，均匀稳态流场：环境数学基本模型，均匀稳态流场： 三维三维环境数学基本模型，均匀稳态流场，守恒物质环境数学基本模型，均匀稳态

57、流场，守恒物质 2222xyxydCCCCCDDuuk Ctxyxy222222xyzxyzdCCCCCCCEEEuuuk Ctxyzxyz三、机理分析法建模三、机理分析法建模例：香烟过滤嘴的作用分析建模例：香烟过滤嘴的作用分析建模1 1）问题的提出和分析）问题的提出和分析 首先分析首先分析吸烟过程吸烟过程：有毒物质基本上均匀分布在烟草：有毒物质基本上均匀分布在烟草中，吸烟时中，吸烟时点燃的烟草化为烟雾点燃的烟草化为烟雾，一部分进入空气一部分进入空气，一部分沿烟草穿行，其中一部分又被未燃烟草和过一部分沿烟草穿行，其中一部分又被未燃烟草和过滤嘴吸附，剩下的进入人体滤嘴吸附，剩下的进入人体。吸附在

58、烟草上的有毒。吸附在烟草上的有毒物在该处烟草被点燃时又进入烟雾中，重复上述过物在该处烟草被点燃时又进入烟雾中，重复上述过程程 。假设假设所有人和所有时刻吸烟动作和方式基本相同，外所有人和所有时刻吸烟动作和方式基本相同，外部环境在吸烟过程中也不变，这样许多参数都可以部环境在吸烟过程中也不变，这样许多参数都可以看作常数。看作常数。 2 2）模型假设（模型变量和参数）模型假设（模型变量和参数） 烟草和过滤嘴长度分别为烟草和过滤嘴长度分别为 ，毒物，毒物M M均匀分布在均匀分布在烟草中，线浓度为烟草中，线浓度为 点燃处烟雾进入空气和顺烟草运行的比例为点燃处烟雾进入空气和顺烟草运行的比例为 未点燃的烟草

59、和过滤嘴对经过的烟雾毒物吸附的百未点燃的烟草和过滤嘴对经过的烟雾毒物吸附的百分数为分数为 将将1 1支烟吸完人体吸收毒物总量为支烟吸完人体吸收毒物总量为Q Q。 烟雾在烟草中穿行的速度是烟雾在烟草中穿行的速度是v v，烟草燃烧的速度是，烟草燃烧的速度是u u，并有并有 时刻时刻t t单位时间内通过烟截面单位时间内通过烟截面x x处的毒物流量为处的毒物流量为q q（x x，t t）；时刻）；时刻t t截面截面x x处单位长度烟草中的毒物含量处单位长度烟草中的毒物含量w w（x x，t t）。由假设，）。由假设，w w（x x，0 0）=W=W0 0。 12,l l01WM lvu:a a1aa1

60、2,b b3)3)问题的数学描述方法建立（微分方程及求解）问题的数学描述方法建立（微分方程及求解） 香烟模型建立示意图香烟模型建立示意图 1l2llxu对吸烟者吸入毒物总量对吸烟者吸入毒物总量Q Q，有，有 我们分析毒物流量函数的形式。首先考虑刚点燃瞬间我们分析毒物流量函数的形式。首先考虑刚点燃瞬间情况。由于情况。由于 可以认为烟雾穿过一小段香烟可以认为烟雾穿过一小段香烟时点燃处位置没有发生变化。即时点燃处位置没有发生变化。即 根据假根据假设，有设，有 是烟雾穿过所需要的时间。令其趋向零，有是烟雾穿过所需要的时间。令其趋向零，有 （1 1） 0,TQq l t dt1Tl uvu ,q x t