初二几何中常用辅助线的添加

1、初二几何中常用辅助线的添加一.教学内容：寒假专题一一初二几何中常用辅助线的添加【典型例题】（一）添加辅助线构造全等三角形例 1.已知：AB II CD, AD II BCO求证：AB=CD分析：证明线段相等的方法有：（1）中线的定义；（2） 全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。在本题中，我们可通过连结 AC,构造全等三角形来证明 线段相等。证明：连结AC,. AB II CD, AD II BC ./ 1 = / 3, / 2=/4在AABC和ACDA中rzi= z?，AC = ACZ4 = Z2/. AABCACDA （ASA） .AB = CD（二）截长补短法引辅助线当已知或求证中涉

2、及到线段 a、b、c有下列情况时：土心 如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线 段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这 两种方法放在一起叫截长补短法。通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来 例2.如图，A ABC 中，/ACB=2/B, /1 = /2。求证：AB=AC + CD证法一：（补短法）在4ABD和4AFD中小二加1，Zl= Z2AD= AD/.AABDAAFD (SAS) / B=/ F . /ACB=2/B ./ACB=2/F而/ ACB = / F+Z FDC / F=/ FDC .CD = CF而 AF=AC+CF，AF=AC + C

3、D .AB=AC +CD证法二：(截长法)在AB上截取AE = AC ,连结DEAD在4AED和4ACD中工£ 二 AC，Zl= Z24口二 AD/.AAEDAACD (SAS)：,DE=DCf ZAED = ZC,/ ZAED=BXEDB, ZACB = 2Z5,'.2Z5= /S 十乙必8：.EBSDDC：-AB = AE2B = ACDC例 3.如图，在 RtAABC 中，AB=AC, /BAC = 90°证明：BD = 2CE=/2, CEX分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的 2倍的问题，可构造线段2CE,转化为证两线段相等的问题，分别延长BA, C

4、E交于 ABDAACF ,_、人 /1=t CE= FE-CF再证F, BEFABEC ,得 ?, 得 BD = CFO证明：分别延长BA、CE交于点FVBEXCF./ BEF = / BEC = 90°在ABEF和ABEC中ZUZ2* BE=BEN8EF = ZBSC/.ABEFABEC (ASA) . /BAC=90° , BEXCF /BAC = /CAF=90° ) /1 + /BDA = 90° , /1 + / BFC = 90° ./ BDA = / BFC在AABD和AACF中$ Z3DA = AFCABAC/. AABDAAC

5、F (AAS) .BD = CF .BD = 2CE(三)加倍法和折半法证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：将较 短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段 折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折 半法。例4,已知：如图，AD是4ABC的中线，AE是4ABD的中 线，AB = DC, /BAD = /BDA。求证：AC = 2AEA分析：欲证AC = 2AE,只要取AC的中点，证其一半与 AE相等，或延长AE至等长，证其与AC相等，由于AE是ABD的中线，故考虑延长 AE至F,使EF = AE,证AF = AC。（此种方法我们又称为中线倍长法）只要证 AB

6、FZXADC ,观察图形发现，可以证明 ADE 组ZXFBE,则可得出BF = AD,尚需条件/ ADC = / FBA ,而 这可由外角的性质推出。证明：延长AE至F,使EF = AE ,连结BF.AE是4ABD的中线 .BE = ED在4BEF和4DEA中羽胃二EALBEF = /LDEABE = DE/. ABEFADEA ./ EBF = / BDA, BF = DA , / BAD = / BDA . / EBF = / BAD2ADC = £ABD 4-乙BADZFBA = / AB口 + £ 巨8sJ 乙ADC 二在AADC和AFBA中A£ = DC

7、 乙而A = £ADCBF 二口区/. AADCAFBA .AC=AF又, AF=2AE .AC=2AE（四）利用角平分线的性质来添加辅助线有角平分线（或证明是角平分线）时，常过角平分线上的 点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相 等证题。例5,已知： ABC的/ B、/ C的外角平分线交于点 Po求证：AP平分/ BAC点，PE证明：过P点作PDLAC于D点，PFLAB于F±BC于E点,PC, BP为AABC的/B、/C的外角平分线PDLAC, PEXBC.PD=PE （角平分线性质）同理：PF=PE.pd=pf （等量代换），AP平分/BAC （角平分线

8、性质逆定理）例6,已知：如图，/ 1 = / 2, P为BN上一点，且 PDXBC于 D, AB + BC = 2BDO求证：/ BAP +分析：要证/ BAP + Z BCP= 180° ,而由图可知/ BAP + /EAP = 180° ,故只要证/ EAP = /BCP 即可。由/1 = /2, PD±BC,想到过P点向BA作垂线PE,有PE=PD, BE = BD,又由上u 得 AE = CD,APEACPD,从而有/ EAP = / BCP,问题得证。证明：过点P作PEL BA于E PD±BC, / 1 = /2，PE=PD (角平分线的性质)

9、在 RtABPE 和 RtABPD 中BP=BPfe =也/. RtABPERtABPD (HL) .BE = BD'：AB ¥BC=2BDdC= CD-BDA= BE-AE：.AECD'：PEL BE, PDBC ./ PEB = / PDC = 90°在APEA和APDC中产=总，£peb = ZfdcAECD/. APEAAPDC ./ PCB = / EAP / BAP + Z EAP = 180° / BAP + Z BCP = 180°【模拟试题】（答题时间：40分钟）1 .已知，如图，AB=AE, BC=ED,=4山口，垂足为九 求证：CF = DF2 .在四边形 ABCD中，BC>BA, AD = DC, BD平分/超c ,求证：_4-_? =：:3.已知 AD >AABCAB,=