521向量加法及减法

1、庆阳六中庆阳六中学习目标学习目标掌握向量加法的定义掌握向量加法的定义; ;会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量法则作两个向量的和向量; ;掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算平面向量数量积的定义和运算律的应用行向量计算平面向量数量积的定义和运算律的应用. .问题提出问题提出1.1.向量、平行向量、相等向量的含义分向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？别是什么？2.2.用有向线段表示向量，向量的大小和用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单

2、方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？位向量？3.3.两个实数可以相加，从而给数赋予了两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵新的内涵. .如果向量仅停留在概念的层如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的面上，那是没有多大意义的. .我们希望我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则立相关的原理和法则. .探究一：向量加法的几何运算法则探究一：向量加法的几何运算法则 思考思考1 1：如图，某人从点如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B按按原方向到

3、点原方向到点C C，则两次位移的和可用哪个向量，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？表示？由此可得什么结论？A B CACBCAB思考思考2 2：如图，某人从点如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B按按反方向到点反方向到点C C，则两次位移的和可用哪个向，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？量表示？由此可得什么结论？ACBCABA B C思考思考3 3：如图，某人从点如图，某人从点A A到点到点B B，再从点，再从点B B改变方向到点改变方向到点C C，则两次位移的和可用，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？哪个向量表示？由此可得什么

4、结论？A BCACBCAB思考思考4 4：上述分析表明，两个向量可以相加，上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量并且两个向量的和还是一个向量. .一般地，一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法. .上上述求两个向量和的方法，称为述求两个向量和的方法，称为向量加法的三向量加法的三角形法则角形法则. .对于下列两个向量对于下列两个向量a与与b，如何用，如何用三角形法则求其和向量？三角形法则求其和向量？aCabABa思考思考5 5：图图1 1表示橡皮条在两个力表示橡皮条在两个力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向

5、伸长了方向伸长了EOEO；图；图2 2表表示橡皮条在一个力示橡皮条在一个力F F的作用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸长了相同长度方向伸长了相同长度. .从力学的观点分从力学的观点分析，力析，力F F与与F F1 1、F F2 2之间的关系如何？之间的关系如何？MCEOF1F2图图1ME OF图图2F=FF=F1 1+F+F2 2FCOABOAOBOC思考思考6：人在河中游泳，人的游速人在河中游泳，人的游速为为 ,水流速度为水流速度为 ，那么人在水，那么人在水中的实际速度中的实际速度 与与 、 之间的关之间的关系如何？系如何？OAOB思考思考7 7：上述求两个向量和的方法，称为上述求两个向量和

6、的方法，称为向量加法的向量加法的平行四边形法则平行四边形法则. .对于下列两对于下列两个向量个向量a与与b，如何用平行四边形法则求，如何用平行四边形法则求其和向量？其和向量？aBAaO思考思考8 8：用三角形法则和平行四边形法用三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和向量，其作图特点则求作两个向量的和向量，其作图特点分别如何？分别如何？三角形法则：首尾相接连端点；三角形法则：首尾相接连端点；平行四边形法则：起点相同连对角平行四边形法则：起点相同连对角. .思考思考1 1：零向量零向量0 0与任一向量与任一向量a可以相加吗？可以相加吗？ 探究二：向量加法的代数运算性质探究二：向量加法的代数运算

7、性质规定：规定：a0=00=0a= =a，思考思考2 2：若向量若向量a与与b为相反向量，则为相反向量，则ab等于什么？反之成立吗？等于什么？反之成立吗？思考思考3 3：若向量若向量a与与b同向，则向量同向，则向量ab的的方向如何？若向量方向如何？若向量a与与b反向，则向量反向，则向量ab的方向如何？的方向如何？ a与与b 为相反向量为相反向量 ab=0思考思考4 4：考察下列各图，考察下列各图，| |ab| |与与| |a|b| |的大小关系如何？的大小关系如何？| |ab|与与| |a|b|的的大小关系如何？大小关系如何？ABCabaaabaab| |ab|a|b|，当且仅当，当且仅当a与

8、与b同向时取同向时取等号；等号；|ab|a|b|，当且仅当，当且仅当a与与b反向时取反向时取等号等号.思考思考5 5：实数的加法运算满足交换律，即实数的加法运算满足交换律，即对任意对任意a a，bRbR，都有，都有a ab=bb=ba.a.那么向那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？量的加法也满足交换律吗？如何检验？BabaCAaOOCACOAbaOCBCOBabOAa思考思考6 6：实数的加法运算满足结合律，实数的加法运算满足结合律，即对任意即对任意a a，b b，cRcR，都有（，都有（a ab b）c=ac=a（b bc c）. .那么向量的加法也满足那么向量的加法也满足结合律吗？如何

9、检验？结合律吗？如何检验？a+b+caCcBAaOOCBCOBBCABOAcbaOCACOABCABOAcbannnOAAAAAAAOA132211nnAAAAAAOA132211思考思考7： 等于什么向量？等于什么向量？OnnnAAAAAAAAOA132211等于什么向量？等于什么向量？0132211OnnnAAAAAAAAOA理论迁移理论迁移例例1 如图，一艘船从如图，一艘船从A点出发以点出发以 的的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为水的流速为2km/h，求船的实际航行，求船的实际航行的速度的大小与方向的速度的大小与方向(用与流速间的夹用与流速间

10、的夹角表示角表示).ADABChkm/3218解：设 表示船垂直于对岸行驶的速度， 表示水流的速度，以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则 就是船的实际航行的速度. ADAC 在 中， ，所以 ABCRt2|AB32|BC|4|BC|AB|AC|22因为2 3tanCAB3CAB602 答：船的实际航行的速度的大小为 ,方向与水流速间的夹角为 .h/km460AB19课堂练习课堂练习n1、一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h，求水流的速度.n2、一艘船距对岸 ，以 的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.n3、一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是 ，求v1和v2. n4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是_km/h，最小是_km/h.hkm/324 3kmhkm /326020