概率论与数理统计 第一节 随机事件

1、概率论与数理统计概率论与数理统计四川大学数学学院四川大学数学学院邹述超邹述超 何腊梅何腊梅 编编高等教育出版社高等教育出版社 任课教师任课教师 陈陈 琼琼 四川大学数学学院四川大学数学学院 联系方式：联系方式： 邮箱：邮箱： 密码：密码： ja111111基本要求：基本要求：2、课前预习；、课前预习；3、上课认真听讲，特别注意补充的内容；、上课认真听讲，特别注意补充的内容；4、按规定按时交作业。、按规定按时交作业。上页 下页 返回 结束 1、不迟到、不旷课、不早退、独立完成作业；、不迟到、不旷课、不早退、独立完成作业；平时成绩平时成绩答疑时间：答疑时间：第5周至18周每周五下午3：30-5：0

2、0答疑地点：答疑地点：新一教B座二楼教师休息室另外：另外：B题解答，每本2元，自愿购买。购买时间、地点：3月月16日日(第第5周星期一周星期一)上午和中午 新一教B座二楼教师休息室参考资料参考资料：概率论与数理统计学习与考试指导概率论与数理统计学习与考试指导 殷秀清殷秀清 袁荫棠袁荫棠 编编 中国人民大学出版社中国人民大学出版社数学期望数学期望.概率论的诞生概率论的诞生 1654年年,一个名叫梅累的骑士就一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约两个赌徒约定赌若干局定赌若干局, 且谁先赢且谁先赢 c 局便算赢家局便算赢家, 若在一赌徒若在一赌徒胜胜 a 局局 ( ac ),另一赌徒胜另一赌徒胜b局局(b

3、c)时便终止赌博时便终止赌博,问应如何分赌本问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与帕斯卡与费费马通信讨论这一问题马通信讨论这一问题, 于于1654 年共同建立了概率年共同建立了概率论的第一个基本概念论的第一个基本概念概率论的应用概率论的应用 概率论是数学的一个分支，它研究随机现象概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、学领域，例如天气预报、 地震预报、产品的抽地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分

4、辨率等等的抗干扰性、分辨率等等.第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率二、二、 样本空间样本空间 四、四、 小结小结 一、一、 随机事件的概念随机事件的概念三、三、 事件的关系及运算事件的关系及运算第一节第一节 随机事件随机事件第一章第一章 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象. .1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象一、一、 随机事件的概念随机事件的概念“函数在间断点处不存在导数函数在间

5、断点处不存在导数” 等等.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果事物变化结果在事前不可预言，在一定条件下事物变化结果在事前不可预言，在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.2. 随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.结果有可能为结果有可能为:1, 2, 3, 4, 5 或或 6. 实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.随机现象

6、的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果实例实例3 从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品产品.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.(2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶偶然性然性, 但在大量试验或观察中但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具这种结果的出现具有一定的统计有一定的统计规律性规律性 . 说明说明(1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系联系.概率论与数理统计概率论与数理统计 就是研究随机现象这种统计规律就是研究随

7、机现象这种统计规律的一门数学学科的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?K皮尔逊皮尔逊 24000 12012 0.5005实实 验验 者者 试验次数试验次数n 正面向上次数正面向上次数m 频率频率蒲蒲 丰丰 4040 2048 0.5070K皮尔逊皮尔逊 12000 6019 0.5016 (1). 可以在相同的条件下重复地进可以在相同的条件下重复地进行行; (2). 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能并且能(3). 进行一次试验之前不能确定哪一个结果

8、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现. 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.定义定义3.3.随机试验随机试验事先明确试验的所有可能结果事先明确试验的所有可能结果; ;说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的 “调查调查”、“观察观察”或或 “测量测量” 等等. 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.实例实例 “抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观观察正面察正面,反面出现的情

9、况反面出现的情况”.分析分析(1) 试验可以在试验可以在相同的条件下重复地进行相同的条件下重复地进行;(2) 试验的所有可能结果试验的所有可能结果: 正面正面、反面反面;(3) 进行一次进行一次试验之前不能试验之前不能确定哪一个结果会出现确定哪一个结果会出现. 故为随机试验故为随机试验.1. 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.2. 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.3. 记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车

10、人数.4. 考察某地区考察某地区 10 月份的平均气温月份的平均气温.5. 从一批灯泡中任取一只从一批灯泡中任取一只,测试其寿命测试其寿命. 随机事件随机事件： 简称事件，指随机试验的结果简称事件，指随机试验的结果. .常用常用大写字母大写字母 A、B、C、Ai、Bi表示表示。 随机事件可分为随机事件可分为基本事件基本事件和和复合事件复合事件。基本事件基本事件：一个试验的每个直接可能发生一个试验的每个直接可能发生的结果的结果.实例实例 “出现出现1点点”, “出现出现2点点”, , “出现出现6点点”.例如例如 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数. 可设可设 A = “点

11、数不大于点数不大于4”, B = “点数为奇数点数为奇数” 等等等等.复合事件复合事件： 一个试验的包含了多个基本事件的结果一个试验的包含了多个基本事件的结果.如例中的如例中的 A、B.实例实例 上述试验中上述试验中 “点数不大于点数不大于6” 就是必然事件就是必然事件.必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果.不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果. 实例实例 上述试验中上述试验中 “点数大于点数大于6” 就是不可能事件就是不可能事件.记作。记作。定义定义 随机试验随机试验 E 的所有基本事件组成的集合的所有基本事件组成的集合

12、称为称为 E 的样本空间的样本空间, 记为记为 .样本空间样本空间中的元素的元素 , 称为称为样本点样本点.实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察正面观察正面,反面出现的情况反面出现的情况.1, .H T 二、样本空间二、样本空间 样本点样本点 正面朝上H反面朝上T实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.21, 2, 3, 4,5, 6. 实例实例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录记录出现正品与次品的情况出现正品与次品的情况.3 , , , , , , .NNNNNDNDNDNNNDD DDNDNDDDD则.,次品次品正品正品记记DN实

13、例实例4 记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数.40,1, 2,. 实例实例5 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只, 测试其寿命测试其寿命.50. t t.t的寿命的寿命为灯为灯其中其中泡泡实例实例6 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数. .60,1, 2,. 2. 同一试验同一试验 , 若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样则对应的样 本空本空 间也不同间也不同. 例如例如 对于同一试验对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三将一枚硬币抛掷三次次”. 若观察正面若观察正面 H、反面、反

14、面 T 出现的情况出现的情况 ,则样本空间为则样本空间为若观察出现正面的次数若观察出现正面的次数 , 则样本空间为则样本空间为0,1, 2, 3. ,.HHHHHT HTH THHHTT TTH THT TTT 说明说明 1. 试验不同试验不同, 对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同.3. 建立样本空间建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型事实上就是建立随机现象的数学模型. 例如例如 只包含两个样本点的样本空间只包含两个样本点的样本空间又能用于排队现象中又能用于排队现象中有人排队有人排队与与无人排队无人排队的模型等的模型等. ,H T 它既可以作为抛掷硬币出现它既可以作为抛掷硬币出

15、现正面正面与出现与出现反面反面的模型的模型 ,也可以作为产品检验中也可以作为产品检验中合格合格与与不合格不合格的模型的模型 ,因此因此 , 一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.随机事件随机事件 可用可用 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 的子集表示的子集表示.试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出现出现6点点”,A=“点数不大于点数不大于4”, B=“点数为偶数点数为偶数” 为随机事件为随机事件,可用集合表示可用集合表示. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数.A

16、=1,2,3,4，B=2,4,6。例例2(1)一次同时取出两件产品；一次同时取出两件产品；(2) 一次抽出一件，无放回地抽取两次；一次抽出一件，无放回地抽取两次； 箱中有大小形状相同的产品箱中有大小形状相同的产品4件，其中件，其中3件件合格品，编号为合格品，编号为1、2、3；一件次品，编号为；一件次品，编号为4。从箱中共取出两件产品观察号码。求下列。从箱中共取出两件产品观察号码。求下列取法中，样本空间取法中，样本空间 及事件及事件 A=取出的两件中取出的两件中有一件是次品有一件是次品的集合表示：的集合表示：(3)一次抽出一件，有放回地抽取两次一次抽出一件，有放回地抽取两次。解解:用用( i,

17、j )表示从箱中取出的两球的号码，则表示从箱中取出的两球的号码，则(1) =(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4);A=(1,4), (2,4),(3,4)。(2) =(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4), (2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3);A=(1,4),(2,4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3).(3) = (2)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4);A与与(2)中的中的A相同。相同。设试验设试验E的样本空间为的样本空间为 , A,B,Ai (i=1,2,)都都

18、是是E的事件。的事件。1.事件的包含关系与相等事件的包含关系与相等若事件若事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生，称事件发生，称事件B包含包含事件事件A，记为，记为A B。 若若A B且且B A，则称事件，则称事件A与与B相等，记为相等，记为A=B。三、事件的关系及运算三、事件的关系及运算实例实例 “长度不合格长度不合格” =A必然导致必然导致 “产品不合格产品不合格” =B 所以所以“产品不合产品不合格格”=B包含包含“长度不合格长度不合格”=A.图示图示 B 包含包含 A. BA2、事件的和、事件的和(并并)“事件事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生”是一个事件，是一个事件，称为

19、事件称为事件A与事件与事件B的和的和(并并)，记作，记作 A+B或或AB。实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此 “产品不合格产品不合格”是是“长度长度不合格不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. BABA; , , , 211的和事件的和事件个事件个事件为为称称推广推广nknkAAAnA . , ,211的和事件的和事件为可列个事件为可列个事件称称AAAkk 3、事件的积、事件的积(交交)“事件事件A与事件与事件B同时发生同时发生”是一个事件，是一个事件

20、，称为事件称为事件A与事件与事件B的积的积(交交)，记作，记作AB 或或AB。图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件. ABAB实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度长度合格合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.; , , ,211的积事件的积事件个事件个事件为为称称推广推广nnkkAAAnA . , ,211的积事件的积事件为可列个事件为可列个事件称称AAAkk 对于事件对于事件 A, 称称“事件事件 A 不发生不发生”.A实例实例 “骰子出现骰子出

21、现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立. BA 若若 A 与与 B 互逆（或对立）互逆（或对立）,则有则有 ABAB. 且A对立对立4、对立事件、对立事件为事件为事件 A 的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件. 记作记作或或AB5、事件的差、事件的差“事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生”是一个事件，是一个事件，称为事件称为事件A与事件与事件B之差之差, 记为记为 A-B图示图示 A 与与 B 的差的差. AB ABAB AB BA BA 注：注：对于任意事件对于任意事件A、B，有，有A-B=A-ABA+B=A+(B-A)= B+(A-B)6、互

22、不相容事件互不相容事件则称则称事件事件A与事件与事件B互不相容互不相容(或称互斥或称互斥)。注： (a) 互斥事件可同时不发生；互斥事件可同时不发生； (b) 基本事件组是互斥事件组。基本事件组是互斥事件组。若事件若事件A与事件与事件B不能同时发生，即不能同时发生，即AB= ，实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现正面出现正面” 与与 “出现反面出现反面”“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A 与与 B 互斥互斥. AB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.对立事件与互斥事件的

23、区别对立事件与互斥事件的区别 ABABA A、B 对立对立A、B 互斥互斥 ABAB 且 AB互互 斥斥对对 立立1nii A若事件若事件A1,A2,An为两两互不相容的事件，为两两互不相容的事件，并且并且称事件组称事件组A1,A2,An构成一个完备事件组。构成一个完备事件组。注注: A(a) A与与 构成一个完备事件组；构成一个完备事件组；(b)基本事件组构成一个完备事件组。基本事件组构成一个完备事件组。事件的关系与运算与集合的关系及运事件的关系与运算与集合的关系及运算是一致的，具有相同的运算律。算是一致的，具有相同的运算律。参见教材参见教材P5说明：说明：7、完备事件组、完备事件组事件间的

24、运算规律事件间的运算规律.,)1(BAABABBA 交换律交换律),()()2(CBACBA 结合律结合律,)()()()3(BCACCBCACBA 分配律分配律.,:(4)BABABABA 摩根律摩根律德德则有则有为事件为事件设设 ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA “事件事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生” 记作记作A+B或或AB。“事件事件A与事件与事件B同时发生同时发生” 记作记作AB或或AB。AB“事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生” 记为记为 A-B或或对于事件对于事件 A, “事件事件 A 不发生不发生” 记作记作.A例例4

25、对一批产品进行抽样检查，一次对一批产品进行抽样检查，一次抽取一抽取一件，连续抽取件，连续抽取3次，次，Ai(i=1,2,3)表示第表示第 i 次次抽到合格品，试用抽到合格品，试用A1、A2、A3表示下列事件表示下列事件:A=第一次和第三次均抽到合格品第一次和第三次均抽到合格品:13;A A123;A A AB=只有第一次抽到合格品只有第一次抽到合格品:123123123;A A AA A AA A AC=只有一次抽到合格品只有一次抽到合格品:123AAAD=至少有一次抽到合格品至少有一次抽到合格品:122313A AA AA AE=至多有一次抽到合格品至多有一次抽到合格品:A1 +A2 : 前

26、两次射击中至少有一次击中目标前两次射击中至少有一次击中目标;第二次射击没有击中目标；第二次射击没有击中目标；A1 +A2 +A3 :A1A2 A3 : 三次射击都击中目标三次射击都击中目标;32A A32:AA第三次射击击中但第二次没击中目标；第三次射击击中但第二次没击中目标；2:A例例(补补) 一名射手连续向某个目标射击一名射手连续向某个目标射击3次，事件次，事件Ai, i=1,2, 3 表示该射手第表示该射手第 i 次射击时击中目标次射击时击中目标,试用文字叙述下列事件试用文字叙述下列事件:三次射击中至少有一次击中目标；三次射击中至少有一次击中目标；12AA12:A A前两次均未击中目标前两次均未击中目标;23AA后两次射击中至少有一次没有击中目标；后两次射击中至少有一次没有击中目标；122313:A AA AA A三次射击中至少有两次击中目标；三次射击中至少有两次击中目标；123123123:A A AA A AA A A三次射击中只有两次击中目标；三次射击中只有两次击中目标；B=A1B+ A2B+ A3B.的，的，B表示表示“买到合格品买到合格品”，则事件，则事件B表示为：表示为：例例5.市场上供应的灯泡是由甲、乙、丙三个市场上供应的灯泡是由甲、乙、丙三个工厂生产的。现在