数学建模减肥计划

1、减肥方案节食与运动 摘要：肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。 肥胖是与目前严重危害人类健 康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、 阻塞性睡眠呼吸暂停、 某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。 但是实际 情况确是违禁广告屡禁不止。 之所以造成这种情况的原因很多， 但是有一个重要 原因就是科学素质低， 不知道应该从生理机理， 特别是从数学模型的角度来考虑 和认识问题。 数学模型的优点是科学的解释了肥胖的机理， 引导群众合理科学的 减肥。关键词： 减肥 饮食 合理运动一、问题重述联合国世界卫生组织公布的体重指数简记 BMI 定义为体重单位： kg 除以身高单位

2、：m的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重， 超过 30 那么为肥胖。据悉，我国有关机构对东方人的特点，拟将上述规定中的 25 改为 24， 30 改为 29。在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜 台。可是大量事实说明， 多数减肥食品达不到减肥的目标， 或者即使能减肥一时， 也难以维持下去。许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动， 才能在不伤害身体的条件下，到达减轻体重并维持下去的目的。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异 常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明 显相关的危

3、险因素之一。 肥胖也是身体健康的晴雨表， 反映着体内多方面的变化。 很多人在心理上害怕自己变得肥胖， 追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的 话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动， 从而也就造成了各种减肥 药、器械和治疗方法的巨大的市场。各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、 夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。情况的严重使得国家广电总局、 新闻出版总署等不得不发出通知， 命令所有 电视台自 2006年 8月1 日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。但是 实际情况确是违禁广告屡禁不止。 之所以造成这种情况的原因很多， 但是有一个 重要原因就是科学素质

4、低， 不知道应该从生理机理， 特别是从数学模型的角度来 考虑和认识问题。、模型分析通常，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。 人们通过饮食吸收热 量，转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。 只要作适当的简化假设就可得到体重变化的关系。减肥方案应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少体重不 要过快来表达。当然，增加运动量是加速减肥的有效手段， 也要在模型中加以考 虑。每日膳食中，营养的供给是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标 准，营养素的要求量是指维持身体正常的生理能所需的营养素的数量，如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将使身体产

5、生不利的影响。每天膳食提供的热量不少于5000 7500J这是维持正常命活动的最少热量通常，制定减肥方案以周为时间单位比拟方便， 所以这里用离散时间模型一 差分方程模型来谈论。三、模型假设根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假设：1. 体重增加正比于吸收的热量，平均每 8000kcal增加体重1kgkcal为非国 际单位制单位1kcal=4.2kj；2. 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal3200kcal;3. 运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4.

6、 为了平安与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不要小于 10000kcal。符号说明:3 k第k周末的体重c k第k周吸收的热量a热量转换系数B代谢消耗系数c每周吸收的热量cmin吸收热量的下限Y运动热消耗t运动时间四、根本模型记第k周末体重为k，第k周吸收热量为k，热量转换系数 狞1/8000kg/kcal，代谢消耗系数B因人而异，那么在不考虑运动情况下体重变化的基 本方程为Hk+1)= 3(k)+ oc(k+1) B (k),k=0，1，2,1增加运动时只需将B改为供B，B由运动的形式和时间决定。五、减肥方案的提出某甲身高1.7m，体重100kg，BMI高达34.6。自述目

7、前每周吸收 20000kcal 热量，体重长期不变。试为他按照以下方式制订减肥方案，使其体重减至75kg并维持下去：1在根本上不运动的情况下安排一个两阶段方案， 第一阶段：每周减肥1kg， 每周吸收热量逐渐减少，直至到达平安的下限10000kcal；第二阶段：每周吸 收热量保持下限，减肥到达目标。2假设要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段方案。3给出到达目标后维持体重的方案。六、减肥方案的制订1首先应确定某甲的代谢消耗系数B根据他每周吸收c=20000kcal热量，体重沪100kg不变，由1式得3+ ac B (pac/ 3相当每周每公斤体重消耗热量 20000/100=200kca

8、l。从假设2可以知道，某 甲属于代谢消耗相当弱的人，他又吃得那么多，难怪如此之胖。第一阶段要求体重每周减少 b=1kg，吸收热量减至下限cmin=10000kcal, 即p(k) p(k+1)=b，p(k)= p(0) bk由根本模型1式可得1bc(k+1)= B (k) b= 3(0) (1+ 侏)将a B, b的数值代入，并考虑下限cmin，有c(k+1)=12000 200k cmin=10000得k 10,即第一阶段共10周，按照c(k+1)=12000 200k，k=0，1,，9 2吸收热量，可使体重每周减少1kg，至10周末到达90kg。第二阶段要求每周吸收热量保持下限cmin，由

9、根本模型1式可得3pk+1=1 B 讹+ ODmin为了得到体重减至75kg所需的周数，将3式递推可得Hk+n)=(1 - ®%(k)+ acmin1+(1 ® + +(1 - y-1= (1- ®n 3(k) amin/ 3+/min/ 3讹)=90，要求Hk+n)=75，再以a 3 cmin的数值代入，4式给出n(90 - 50)+50 5得到n=19,即每周吸收热量保持下限10000kcal,再有19周体重可减至75kg。 配餐方案：常见食物热量:食物数量热量kcal米饭1 碗135g200面条1 碗135g280煎蛋1只136大饼鸡蛋1个165馒头1个28

10、0小米粥100g46豆腐100g57青椒土豆丝100g72草鱼100g113西红柿鸡蛋汤100g14豆腐脑100g47烤馍片100g221炸鸡腿100g261什锦炒饭1份800苹果1个55梨1个45方便面1份470花卷100g217猪肉水饺一个40烧饼100g326水煮土豆100g67土豆粉100g337素什锦100g173韭菜包子100g199煎饼100g304配餐方案:星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日早餐小米粥、 大饼鸡蛋豆腐脑、 烤馍片西红柿 鸡蛋汤、馒头方便面 汤、花卷小米粥、烧饼豆腐脑、 烤馍片西红柿 鸡蛋汤、 烤馍片午餐米饭、豆 腐、煎 蛋、草鱼西红柿 刀削面、苹果米饭、

11、炸鸡腿、梨猪肉水 饺、苹 果米饭、水 煮土豆、豆腐西红柿 刀削面、 炸鸡腿米饭、草 鱼、煎 蛋、苹果晚餐西红柿 鸡蛋汤、 烤馍片小米粥、 馒头小米粥、 什锦炒饭豆腐脑、 大饼鸡 蛋、馒头西红柿 鸡蛋汤、烤馍片小米粥、 素什锦、 馒头小米粥、 韭菜包 子、煎饼2为加快进程，第二阶段增加运动。经过调查资料得到以下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量:运动跑步跳舞乒乓自行车中速游泳50m/mi n热量消耗kcal记表中热量消耗Y每周运动时间t，为利用根本模型1式，只需将B改为 越aY 即6wk+1= 3k+ ack+1越 a tY 3k试取 at=0.003,即卩 Yt=24,那么4式中的 B +at=0.028,5式为7得到n=14,即假设增加 沪24的运动，就可将第二阶段的时间缩短为14周。 3最简单的维持体重75kg的方案，是寻求每周吸收热量保持某常数 c,使 w(k)不变。由6式得3+ ac ( a t) 3C=( a t) 3/ a 8假设不运动，容易算出c=15000kcal;假设运动内容同上，那么c=16800kcal七、评注人体体重的变化是有规律可循的，减肥也应科学化、定量化。这个模型虽然 只考虑了一个非常简单的情况，但是它对专门从事减肥这项活动甚至作为一项 事业的人来说也不无参考价值。体重的