二元二次方程组的解法-分式方程的解法-无理方程的解法教案

1、个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：谭盛德授课时间：2013年 8月 2日(星期 五)16 : 00 18 : 00姓名郭海杰年级性别教学课题简单的二元二次方程组的解法教学目标重点难点课前检查作业完成情况：优 良中口差建议第4次课1 .会用代入解简单的二元二次方程组2 .会用平方法解无理方程3 .熟悉分式方程的解法重点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法 难点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法第四讲 简单的二元二次方程组的解法在初中我们已经学习了次方程、次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组.高中新课标必修 2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二

2、次方程组的解法.因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法.含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是 2的整式方程，叫做二元二次方程.由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方 程组，叫做二元二次方程组.、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组其蕴含着转一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解.化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解.【例u解方程组2x y2 0(1)x2 y2 3 0(2)得y 2x ,代入方程消去y .分析：由于方程(1)是二兀一次方程，故可由方程(1),解：由得：y 2x (3)将

3、(3)代入(2)得：x2 (2x)2 3 0,解得:把x 1代入(3)得：y2 2;把x1代入(3)得：y原方程组的解是:x1 1 或 x1y2y1说明：(1)解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤:由二元一次方程变形为用x表示y的方程，或用y表示x的方程(3);把方程(3)代入二元二次方程，得一个次方程;解消元后得到的次方程;把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程 (3),求相应的未知数的值；写出答案.(2)消x,还是消y ,应由二元一次方程的系数来决定.若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程 x 2y 1 0,可以消去x,变形得x 2y 1 ,再代入消

4、元.(3)消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记.【例2】解方程组x y 11(1)xy 28分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x、y看成是方程 z2 11z 28 0的两根，则更容易求解.解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把 x、y看成是方程z2 11z 28 0的两根，解 方程得：z 4或z=7 .、，x. 4xd 7原方程组的解是：1 或1.% 7 M 4说明：(1)对于这种对称性的方程组 x y a ,利用一元二次方程的根与系数的关系构造 xy b方程时，

5、未知数要换成异于x、y的字母，如z .x 4x 7(2)对称形方程组的解也应是对称的，即有解，则必有解y 7y 4二、由两个二元二次方程组成的方程组1.可因式分解型的方程组方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成. 22例3】解方程组2y I y)()x2xyy243(2)分析：注意到方程x2 y2 5(x y),可分解成(x y)(x y 5) 0,即得x y 0或 x y 5 0,则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方程.解：由(1)得：22x y 5(x y)

6、0 (x y)(xy) 5(xy)0 (x y)(xy 5) 0x y 0或 xy5 0原方程组可化为两个方程组:，5 02 xy y-x或243x20xy y2 43用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是:x11x26,y16 y21X3y3.43,143X443.,43说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元次方程，则原方程组转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程.12Q)2【例4】解方程组 3y 0或 x y xy xy y分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程.对其

7、因式分解,就可以转化为例3的类型.解：-3得:2xy 3(xy y即 x2 2xy 3y20(x3y)(x y)原方程组可化为两个二元一次方程组:xy3y 02,y 4xyy 0 y24用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是:x13V11x2V2(2)分析：(1) +(2) 2得：(xy)236(3) , (1)-(2)2得：(xy)2 16 (4),分别分解(3)、说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程.此方程与 原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组.22【例5】解方程组x y 26 xy 5(4)可得四个二元一次方程组.解：(1

8、) +(2)2 得：x22xy36 (xy)236 x-(2)2 得：x2 y2 2xy 16(x y)216 x4.解此四个方程组，得原方程组的解是:X1yi51,X2V215,x31y35说明：对称型方程组，如X4V4xy2y a都可以通过变形转化为x y m的形 bxy n式，通过构造一元二次方程求解.2.可消二次项型的方程组【例6】解方程组xy x 33xy y 8分析：注意到两个方程都有xy项，所以可用加减法消之，得到一个二元一次方程，即转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.解：(1)3 (2)得:3x y3x 1(3)代入(1)得：x(3x 1)3x2分别代入(3

9、)得：y12或y2原方程组的解是:* 1或4V12y2说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项，得到一个次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解.二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决.A1 .解下列方程组：x y2 6(1)y x(2)2y2 8 y 2x y C 22x3xyy2 5(4)x3x22y 02xy 102 .解下列方程组:x y 3cxy 2(2)xy3 .解下列方程组:x(2x 3) y x2 1(2)(3x 3x4y 3)(3x 4y 3) 02y 5(xy 2)(x y) 0(xy)

10、(x y 1) 02 xy2 8(4)/(xy)(x y 1) 04.解下列方程组:2 x2 y3xyx1622(2)xy0xyx81.解下列方程组：x 2y 32x2 2y 3x 2 02x 3y 1222x 3xy y 4x 3y 3 0x y 3(1)cxy 23.解卜列方程组：-22c3x y 8(1)22x xy y42.解下列方程组：(2)x 2y 42xy 2122x y 42xy 21B 组2 xy2 5xy24.解下列方程组:(2)x y 422x y 10分式方程和无理方程的解法初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法.本讲将要学习可化为一元二次方程的分式方程的

11、解法以及无理方程的解法.并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解法，会用"去分母"或“换元法”求方程的根，并会验根；(2) 了解无理方程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用“平方"或“换元法”求根，并会验根. 一、可化为一元二次方程的分式方程1.去分母化分式方程为一元二次方程例u解方程 -24x 1 .x 2 x 4x2分析：去分母，转化为整式方程.解：原方程可化为：1 4x21 x 2 (x 2)( x 2) x 2方程两边各项都乘以x2 4 :一- 一 2(x 2) 4x 2(x 2) x 4即 3x 6 x2 4,整理得：x2 3x

12、 2 0解得：x 1或x 2 .检验：把x 1代入x2 4 ,不等于0,所以x 1是原方程的解；把x 2代入x2 4 ,等于0,所以x 2是增根.所以，原方程的解是x 1.说明：(1)去分母解分式方程的步骤：把各分式的分母因式分解；在方程两边同乘以各分式的最简公分母；去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；解一元二次方程； 验根.(2)验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大.而分式方程可能产 生的增根，就是使分式方程的分母为 0的根.因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式 方程两边同乘的各分式的最简公分母为 0.若为0,即为增根；若不为0,即为原方程的解.2 .用换元

13、法化分式方程为一元二次方程22 2【例2】解方程()2工4 0x 1 x 1分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难.但注意到方程的结构特点，2设y,即得到一个关于y的一元二次方程.最后在已知y的值的情况下，用去分母的方法x 12解方程y .x 12解：设-x y,则原方程可化为：y2 3y 4 0 解得y 4或y 1 .x 12(1)当 y 4时，4 ,去分母，得 x2 4(x 1)x2 4x 4 0 x 2;x 1x2215(2)当 y 1 时，1 x x 1 x x 1 0 x .x 12检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0.所以，x 2, x 5都是原方程的

14、解.2说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出 y的值，而没有求到原方程的解，即x的值.22,、【例3】解方程"x）内11分析：注意观察方程特点，可以看到分式22x2 与x 1互为倒数.因此，可以设 x 1 x 2x2x一2x2x1,即可将原方程化为一个较为简单的分式方程.解:2设x2x2x1x21x2 2x原方程可化为：8y 3 11y8y2 11y 3 02 2Y(1)当 y 1 时，21x2 122x 2x x 1 x当yx2 2xx2 1228x2 16x 3x2 3_ 2 一 一 一5x2 16x 3 0检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0.1所以，原方程

15、的斛是x , x 3 , x 2说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、5换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想.、可化为一元二次方程的无理方程根号下含有未知数的方程，叫做无理方程.1 .平方法解无理方程【例4】解方程Vx7 x 1分析：移项、平方，转化为有理方程求解.解：移项得：&7 x 1两边平方得：x 7 x2 2x 1移项，合并同类项得：x2 x 6 0解得：x 3或x 2检验：把x 3代入原方程，左边 右边，所以x 3是增根.把x 2代入原方程，左边=右边，所以x 2是原方程的根.所以，原方程的解是x 2.说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：移项

16、，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；两边同 时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根.例5解方程3X223分析：直接平方将很困难.可以把一个根式移右边冉平方，这样就可以转化为上例的模式， 再用例4的方法解方程.解：原方程可化为：，3x 2 3 Jx 3两边平方得：3x 2 9 6,x- x 3整理得：6,x 3 14 2x 3“x 3 7 x两边平方得：9(x 3) 49 14x x2整理得：x2 23x 22 0 ,解得：x 1或x 22.检验：把x 1代入原方程，左边=右边，所以x 1是原方程的根.把x 22代入原方程，左边 右边，所以x 22是增根.所以，

17、原方程的解是x 1.说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；两边平方，得到含未知数的二次 根式恰有一个的无理方程；一下步骤同例 4的说明.2 .换元法解无理方程【例6】解方程3x2 15x 2&2 5x 1 2分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大.注意观察方程中含未知数的 二次根式与其余有理式的关系，可以发现：3x2 15x 3 3(x2 5x 1).因此，可以设 Jx2 5x 1 y ,这样就可将原方程先转化为关于 y的一元二次方程处理.解：设册5x 1 y ,贝U x2 5x 1 y23x2 15x 3

18、(y2 1)原方程可化为：3(y2 1) 2y 2,25即 3y 2y 5 0,解得：y 1或 y -.(1)当 y 1 时，Vx5x 1 1 x2 5x 0 x1 或x 0;5(2)当y /，因为VxF y 0,所以万程无解.检验：把x 1,x 0分别代入原方程，都适合.所以，原方程的解是x 1,x 0.说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想.1.解下列方程:2x 1(1)(x 1)(x 2)(xAx 5 2)(x 3)2x2x 11x 21x 72x2 12x 352 y2 4 y15x2 42.用换元法解方程:3.解下列方程:，x 2(3

19、) % x 3 2 x4.解下列方程:(1).3x 15.用换元法解下列方程:3x x2 3x x 12 x1.解下列方程：22； 5 9x 3x 24x2 4x 7(2x 1)(x 7) 2x2 3x 12.用换元法解下列方程:2 x 5x 24(x 1) 14 0 x 1 x(x 5)(2)(2)2xxx 6x2 42xx 14x 八x2 102(x2 1)x 16(x 1) 7x21422x22x1x12xx3 .若x 1是方程-3 x4.解下列方程：4的解，试求a的值.-2,2x 4x 1 3x26xx a a2 a x2x x a5.解下列方程: x2x2 1 3J 5x 10(3) 2x2 4x 3、.x2 2x 6 15简单的二元二次方程组答案1 - (1)y13x22 x13, y22， y1X283 2，3x 4x1o，