第八章-矩阵位移法(一)

1、2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法结构力学第第8章章 矩阵位移法矩阵位移法 Matrix displacement method同济大学土木工程学院2008年12月2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法应用矩阵理论以计算机为工具（力学原理与方法）（结构矩阵分析方法）v 结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。结构矩阵分析方法是利用计算机进行结构力学计算的方法。 结构分析问题趋向大型化、复杂化结构分析问题趋向大型化、复杂化 提出要求提出要求 计算机技术发展突飞猛进计

2、算机技术发展突飞猛进 提供可能提供可能力法力法位移法位移法矩阵力法矩阵力法矩阵位移法矩阵位移法结构分析技术手段：手算结构分析技术手段：手算技术要求：计算尽可能简化技术要求：计算尽可能简化结构分析技术手段：电算结构分析技术手段：电算技术要求：结果尽可能精确技术要求：结果尽可能精确1940s1950s1940s1950s计算机的发明计算机的发明2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法v 结构矩阵分析的力学理论基础结构矩阵分析的力学理论基础 力法力法 位移法（考虑杆件轴向变形）位移法（考虑杆件轴向变形）未知量数量未知量数量 较难判定（多余约束力数量）较难判定（多余约束力数量）

3、 极容易判定（节点位移数量）极容易判定（节点位移数量）基本结构基本结构 形式形式 多样（不唯一）多样（不唯一） 确定的（唯一）确定的（唯一）基本结构内力基本结构内力 需求解静定结构需求解静定结构 套用公式套用公式适用范围适用范围 超静定结构超静定结构 超静定结构和静定结构超静定结构和静定结构 2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法v 矩阵位移法与有限元法（矩阵位移法与有限元法（FEMFEM）的关系）的关系有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种

4、非常有效的数值分壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。析方法。矩阵位移法可视为有限单元法在杆系结构中的应用特例。矩阵位移法可视为有限单元法在杆系结构中的应用特例。 v 有限元法的发展和应用有限元法的发展和应用有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题（多物理场等问题的求解计算，最近又发展到求解几个交叉学科的问题（多物理场问题）。问题）。 例如：例如： 当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动当气流流过一个很

5、高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过来影响到气流的流动这这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解，即所谓 流固耦合流固耦合 的问的问题。题。2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法在大力推广在大力推广CADCAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，都离不开有限元分析计算，FEAFEA在工程设计和分析中将得到越来越广泛在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。的重视。国际上早在国际上早在2020世纪世纪5050年代

6、末、年代末、6060年代初就投入大量的人力和物力开发年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国家宇航局（NASANASA）在）在19651965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的NASTRANNASTRAN有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前有限元分析系统。该系统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。世界上规模最大、功能最强的有限元分析系统。目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规

7、模较小但使用灵活、目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的价格较低的专用或通用有限元分析软件，主要有德国的ASKAASKA、英国的、英国的PAFECPAFEC、法国的、法国的SYSTUSSYSTUS、美国的、美国的ABQUSABQUS、ADINAADINA、ANSYSANSYS、BERSAFEBERSAFE、BOSORBOSOR、COSMOSCOSMOS、ELASELAS、MARCMARC和和STARDYNESTARDYNE等公司的产品。等公司的产品。2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法v 有限元分

8、析技术的发展现状有限元分析技术的发展现状 由求解线性工程问题进展到分析非线性问题由求解线性工程问题进展到分析非线性问题 线性理论已经远远不能满足设计的要求。线性理论已经远远不能满足设计的要求。 例如：结构工程中的弹塑性分析（物理非线性）；索膜结构（几何非线性）。例如：结构工程中的弹塑性分析（物理非线性）；索膜结构（几何非线性）。 非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年非线性的数值计算是很复杂的，很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARCMARC、ABQUSABQUS和和ADI

9、NAADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。等专长于求解非线性问题的有限元分析软件，并广泛应用于工程实践。 增强可视化的前置建模和后置数据处理功能增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。日益突出。 在现在的工程工作站上，求解一个包含在现在的工程工作站上，求解一个包含1010万个方程的有限元模型

10、只需要用几万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有十分钟。工程师在分析计算一个工程问题时有80%80%以上的精力都花在数据准备以上的精力都花在数据准备和结果分析上。和结果分析上。2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 增强可视化的前置建模和后置数据处理功能增强可视化的前置建模和后置数据处理功能 目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分，生成有处理模块。使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格

11、自动划分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图，便于极值搜索和所需数据的列表输出。图，便于极值搜索和所需数据的列表输出。 与与CADCAD软件的无缝集成软件的无缝集成 当今有限元分析系统的另一个特点是与通用当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CADCAD软件的集成使用，软件的集成使用， 即：在用即：在用CADCAD软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，软件完成部件和零件的造型设计后，自动生成有限元网格并进行计算，如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到

12、满意为止，从如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。当今所有的商业化有限元系统商都开发了而极大地提高了设计水平和效率。当今所有的商业化有限元系统商都开发了和著名的和著名的CADCAD软件的接口（例如软件的接口（例如Pro/ENGINEERPro/ENGINEER、UnigraphicsUnigraphics、SolidEdgeSolidEdge、SolidWorksSolidWorks、IDEASIDEAS、BentleyBentley和和AutoCADAutoCAD等）等） 。2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位

13、移法v 有限元分析技术的应用实例有限元分析技术的应用实例沉井的有限元分析模型沉井的有限元分析模型2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法半导体芯片温度场的数值仿真半导体芯片温度场的数值仿真同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法水轮机叶轮的受力分析模拟应力云图水轮机叶轮的受力分析模拟应力云图2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法三林商业城地下施工对相邻建筑物的影响三林商业城地下施工对相邻建筑物的影响有限元模型有限元模型开挖状态变形

14、图开挖状态变形图位移云图位移云图结构内力图结构内力图邻房位移随施工进程变化图邻房位移随施工进程变化图2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法第一步：离散化，单元分析v 矩阵位移法的解题思路矩阵位移法的解题思路 一般原理：同位移法一般原理：同位移法第二步：按平衡条件组合，整体分析 与位移法不同之处：与位移法不同之处： 一般计入所有杆件的轴向变形。 基本结构（单元）进一步归于一类杆件两端固定杆。 所有过程均采用矩阵的形式表述。进一步规格化单跨超静定单跨超静定杆件（单元）杆件（单元）的组合体的组合体结构结构 相当于位移法中第相当于位移法中第1 1步（判别基本步（判别基本未知量

15、，做基本结构）和第未知量，做基本结构）和第3 3步步（求位移法方程的系数项和自由（求位移法方程的系数项和自由项）项） 相当于位移法中第相当于位移法中第2 2步（建立位移步（建立位移法方程）和第法方程）和第4 4步（解方程求节点步（解方程求节点位移）位移）2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 结构标识结构标识 坐标系的设定（为了表示力和位移的方向）w整体坐标系（结构坐标系）：一般采用右手系，记为Oxy。（图中黄色） 结点编号w构造结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。 （图中1 1、2 2、3 3、4 4）w非构造结点：荷载作用点。（化集中荷载为结点荷载）w构造结点必

16、须作为结点；非构造结点可以不作为结点。 单元编号w单元：两结点之间的等截面直杆段等截面直杆段。yx1342v 结构的离散化结构的离散化u局部坐标系（单元坐标系）：一般也采用右手系，记为 。原点设在单元的一个杆端i， 轴与杆轴重合。（图中橙色橙色）yx ixxy2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 变截面和曲杆杆件的离散化处理方式变截面和曲杆杆件的离散化处理方式2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法v 矩阵位移法的基本方程矩阵位移法的基本方程 单元刚度方程单元刚度方程eeeKF （相当于位移法中的转角位移方程）单元杆端力向量单元杆端位移向量单

17、元刚度矩阵000KF 结构总的结点力向量结构总的结点位移向量原始总刚度矩阵（由单刚形成） 原始总刚度方程原始总刚度方程（结构全部结点的平衡方程） 位移边界条件位移边界条件0CC （已知支座位移）结构刚度方程结构刚度方程FK 结构已知结点力向量（荷载）结构未知结点位移向量结构刚度矩阵（相当于位移法方程）2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平原始总刚度方程无法直接求解。因为原始总刚度方程表示结构全部结点的平衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支座结点（如图示结构的衡方程，结构的结点分为两大类：有约束的支

18、座结点（如图示结构的1 1、2 2结结点）和无约束的内部结点（如图示结构的点）和无约束的内部结点（如图示结构的3 3结点）；前类结点已知结点位移而结点）；前类结点已知结点位移而未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。未知结点力（支座反力），后类结点已知结点力而未知结点位移。 要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原要求支座反力必须先求后类结点的结点位移，故，原 始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度始总刚度方程必须考虑边界位移条件修正为结构刚度 方程后才能求解。方程后才能求解。 根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩阵位移法根据支座位移边界条件的处理方式不同，矩

19、阵位移法 可分为可分为先处理法先处理法和和后处后处 理法理法。v 矩阵位移法基本方程与有限元法基本方程的比较矩阵位移法基本方程与有限元法基本方程的比较 矩阵位移法基本方程矩阵位移法基本方程 有限元法基本方程有限元法基本方程 单元刚度方程单元刚度方程 物理方程（材料本构方程）物理方程（材料本构方程） 原始原始总刚度方程总刚度方程 平衡方程平衡方程 边界位移条件边界位移条件 几何方程几何方程 I, AI, AI, AI, AP PMM1 12 23 3v 矩阵位移法的后处理法与先处理法矩阵位移法的后处理法与先处理法2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法同济大学土木工程学院

20、 结构力学 之 矩阵位移法同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 后处理法（又称直接刚度法）后处理法（又称直接刚度法） 结构的支座位移边界是在总刚度方程形成后引入的，即先形成原始总刚度方原始总刚度方程程，再考虑支座位移边界对总刚度方程修正形成结构刚度方程结构刚度方程。 单元分析不考虑任何位移约束，故，单元均为自由式单元（无杆端约束），单元统一。 先处理法先处理法 在形成单元刚度矩阵时就将实际的位移边界条件和位移关系考虑进去，即在总刚度方程形成之前考虑支座位移边界条件。 单元为有约束单元，每个单元所受到的位移约束条件不完全相同，故，单元不统一。 由单刚形成的总刚度方程就是结构刚度方程。

21、后处理法单元统一，更适用于编程、电算；先处理法单元不统一，适用于手后处理法单元统一，更适用于编程、电算；先处理法单元不统一，适用于手算。算。2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法v 矩阵位移法进行结构分析的步骤矩阵位移法进行结构分析的步骤 后处理法（直接刚度法）的分析步骤后处理法（直接刚度法）的分析步骤 结构离散并进行结构标识。 计算各单元的刚度矩阵。 形成原始总刚度矩阵和原始总刚度方程。 引入位移边界条件，形成结构刚度矩阵和刚度方程。 求解结构刚度方程，得未知的结点位移。 计算各单元杆端力和支座反力。单元分析结构整体分析 先处理法的分析步骤先处理法的分析步骤 结构离

22、散并进行结构标识。 计算各单元的刚度矩阵。 形成结构刚度矩阵和刚度方程。 求解结构刚度方程，得未知的结点位移。 计算各单元杆端力和支座反力。单元分析结构整体分析2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法yxijexiiFu ,yjjFv ,jjM,yiiFv ,xjjFu ,iiM, 单元刚度矩阵：单元刚度矩阵：单元杆端力与杆端位移之间的关系矩阵。 杆端力和杆端位移的表示方法杆端力和杆端位移的表示方法 正负号规定：无论是在单元坐标系还是在结构坐标系中，均规定力和位移分量与坐标方向一致为正与坐标方向一致为正。 单元坐标系中 杆端力向量 杆端位移向量 “”表示单元坐标系中的物

23、理量。v 几个基本概念几个基本概念eTjjjiiivuvueeTjyjxjiyixiMFFMFFeFeeeKF 杆端力向量杆端位移向量单元刚度矩阵2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 结构坐标系中 杆端力向量 杆端位移向量 eTjjjiiivuvueeTjyjxjiyixiMFFMFFeFyxiiFu ,yjjFv ,jjM,yiiFv ,xjjFu ,iiM,xije 单元坐标系和结构坐标系中，杆端力和杆端位移向量同一分量所表示的物理单元坐标系和结构坐标系中，杆端力和杆端位移向量同一分量所表示的物理含义不同。故，单元坐标系和结构坐标系中的单刚不同。含义不同。故，单

24、元坐标系和结构坐标系中的单刚不同。2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法elEAlEAlEAlEA000000000000单刚矩阵杆端位移向量v 单刚导出方法单刚导出方法 静力法静力法 虚功原理虚功原理 能量法能量法v 桁架单元的刚度矩阵桁架单元的刚度矩阵0)(0)(eyjeiejexjeyiejeiexiFuulEAFFuulEAFxyxiiFu ,yjjFv ,yiiFv ,xjjFu ,ije 由材料力学由材料力学表示为矩阵形式eyjxjyixiFFFFejjiivuvu杆端力向量适用于复杂单元。（参见：朱伯芳，有限单元法原理与应用，中国水利水电出版社 周竞欧，

25、结构力学，同济大学出版社）由静力平衡条件建立杆端力与杆端位移之间的关系，从而写出单刚矩阵。适用于简单单元。（本课程采用该方法）2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法v 坐标变换坐标变换 上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前，上述单刚方程是在单元坐标系下建立的，单元按结点平衡拼装成结构之前，由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换由于结构中单元的方位一般不全相同，因此，应将杆端位移和杆端力都转换成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换问题，简成统一的、对整体坐标的量，这是同一矢量在不同坐标系中的变换

26、问题，简称为坐标变换。称为坐标变换。 坐标变换矩阵坐标变换矩阵ojxxyyeiyiFyjFxiFxjFxiFxjFyiFyjF单元系与结构系的关系： 结构系 轴沿逆时针转至单元系 轴所转过的角度记为 。 单元系下的杆端力结构系下的杆端力xxcossinsincoscossinsincoseyjexjeyjeyjexjexjeyiexieyieyiexiexiFFFFFFFFFFFF表示为矩阵形式2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法eyjxjyixieyjxjyixiFFFFFFFFcossin00sincos0000cossin00sincoseeTFF eeT 坐

27、标变换矩阵T简写为同理， 是正交矩阵（Orthogonal matrix）， TTTT1 单元刚度矩阵坐标变换单元刚度矩阵坐标变换eeeKF （单元系单刚方程）eeTFF eeT eeeTKTF 左乘 ，并注意 ，得1TTTT1eeeTKTFT结构系单刚方程eeeKF 2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法eTsscsscsccsccsscsscsccscclEA22222222TKTKee 结构系单刚矩阵 其中，sincossc2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法v 刚架单元的刚度矩阵刚架单元

28、的刚度矩阵 梁单元的刚度矩阵梁单元的刚度矩阵 无结间荷载梁单元的转角位移方程为 考虑到杆端力和杆端位移正负号规定的差异，有 所以，无结间荷载梁单元的转角位移方程可改写为2212661266642624lililiVlililiVliiiMliiiMBABABAABBABABAABjijBiAyjBAyiABjBAiABvvFVFVMMMM,同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法梁单元刚度矩阵elEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEI462661261226466126

29、12222323222323)(1266)(1266)(642)(62432232222eeeeeeeeeeeeeeeeeeeejijiyjjijiyijijijjijiivvlEIlEIlEIFvvlEIlEIlEIFvvlEIlEIlEIMvvlEIlEIlEIM表示成矩阵形式ejyjiyiMFMFejjiivv2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法刚架单元刚度矩阵刚架单元的刚度矩阵刚架单元的刚度矩阵 刚架单元考虑轴向变形，有elEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612

30、061200000260460612061200000222323222323ejieexjxiuulEAlEAlEAlEAFFejyjxjiyixiMFFMFF 其它杆端力与杆端位移的关系同梁单元，所以刚架单元的单刚方程为ejjjiiivuvu2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法桁架单元单刚方程elEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323ejyjxjiyixiMFFMFFejjjiiivuvu

31、 刚架单元的单刚矩阵由桁架单元的单刚和梁单元的单刚组合而成。梁单元单刚方程2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法2. 方向1. x，y向变换关系与桁架单元 无任何区别。无任何区别。结构坐标系中刚架单元的刚度矩阵结构坐标系中刚架单元的刚度矩阵 根据单元坐标系中的单刚，通过坐标变换计算。首先确定坐标变换矩阵。有无区别？不需要变换，因为单元坐标系与结构坐标系一致。不需要变换，因为单元坐标系与结构坐标系一致。是否需要变换？为什么？ 所以，坐标变换矩阵为1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincosT2022-3-26同

32、济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 按 计算结构坐标系中刚架单元的单刚矩阵为eaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa65465453253242142165465453253242142122eKTKTKeTe,sin6,sin12cos242321lEIalEIlEAa 其中，lEIalEIlEAa4,cos12sin62323cos6,sincos)12(2532lEIalEIlEAa2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法k35v 单元刚度矩阵元素的物理含义单元刚度矩阵元素的物理含义 单刚元素单刚元素k kmnmn的物理

33、含义：的物理含义： 以刚架单元单刚元素k35为例说明。 eejyjxjiyixilEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAMFFMFF460260612061200000260460612061200000222323222323ejjjiiivuvu单元第n项杆端位移为1而其它杆端位移均保持为零时，第m项杆端力的大小。单元刚度方程e010000单元单元j j端发生端发生v vj j=1=1而其它杆端位移均为零时，而其它杆端位移均为零时，i i端的杆端弯矩大小。端的杆端弯矩大小。2022-3-26同济大学土木工程学院

34、 结构力学 之 矩阵位移法 单元坐标系和结构坐标系中单刚元素物理含义的区别单元坐标系和结构坐标系中单刚元素物理含义的区别 以刚架单元单刚元素k25和k25为例说明。 k25表示单元坐标系中，单元只发生第5号单位杆端位移（j端沿y轴正向移动1）时，第2号杆端力（i端沿y轴方向的杆端力剪力）大小。 k25表示结构坐标系中，单元只发生第5号单位杆端位移（j端沿y轴正向移动1）时，第2号杆端力（i端沿y轴方向的杆端力剪力）大小。同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法ijyxyiFk251ijxyyiFk251哪个元素？同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法2022-3-26同济大学土木

35、工程学院 结构力学 之 矩阵位移法局部坐标系与整体坐标系杆端力（位移）的对应关系如下：jyjxjiyixijjjiiiMlEIlEIlEIlEIFlEIlEIlEIlEIFlEAlEAMlEIlEIlEIlEIFlEIlEIlEIlEIFlEAlEAvuvu460260612061200000260460612061200000222323222323K)()()()()()()()()()()()(jjxjjyjjiixiiyiijjyjjxjjiiyiixiiMFuFvMFuFvMFvFuMFvFu整体系局部系)(460260)(61206120)(0000)(260460)(612061

36、20)(0000)()()()()()(222323222323jjxjyjyjxjiixiyiyixijjjjjjiiiiiiMMlEIlEIlEIlEIFFlEIlEIlEIlEIFFlEAlEAMMlEIlEIlEIlEIFFlEIlEIlEIlEIFFlEAlEAuvvuuvvuK312lEI)6(2lEI26lEI2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法v 单刚矩阵的性质单刚矩阵的性质 固有性固有性 单刚矩阵仅与单元本身的性质有关，与外荷载无关。 对称性对称性 主系数 或 恒正；副系数 或 可正，可负，可零。 奇异性奇异性 矩阵行列式的值为零。（不可逆）同济大

37、学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法iikjiijjiijkkkk,ijk(反力互等）iik)(jikij同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法称为单元杆端位移的结点子向量；v 单刚矩阵的分块形式及其对应的单刚方程单刚矩阵的分块形式及其对应的单刚方程 目的目的 为了建立结构总刚矩阵和表述的方便，单刚矩阵经常分块表示。 分块原则分块原则 通常按结点i和j进行分块。 分块形式的单刚方程分块形式的单刚方程 同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法eeejijjjiijiijikkkkFFeeeeeeeeeejjjiji

38、jjijiiiikkFkkFeejiFF 、 展开后 其中，eeji、eeeejiijjjiikkkk、称为单元杆端力的结点子向量；称为单刚矩阵的子块。对应于i结点对应于j结点同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 单刚矩阵子块单刚矩阵子块k ke eij ij的物理含义的物理含义 单元j杆端发生各单位位移时，i杆端的各杆端力。 根据单刚矩阵的对称性，单刚矩阵子块有根据单刚矩阵的对称性，单刚矩阵子块有 Teejiijkk转置v 本节小结本节小结 两种单元：平面桁架单元、平面刚架单元两种单元：平面桁架单元、平面刚架单元 对于

39、平面刚架，矩阵位移法取两端固端梁作为基本结构，即所有杆端位移均作为基本未知量（包括静定杆件），与位移法相比，基本结构统一成一种。分析过程规格化，易于编程。 要求要求 两种单元在单元坐标系中的单刚矩阵。 单刚矩阵元素及子块的物理含义。 坐标变换。 单刚矩阵的性质。 2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法结点位移向量ni21ni21nnnin2n1iniii2i12n2i22211n1i1211FFFFKKKKKKKKKKKKKKKK 有有n n个结点结构的总刚度矩阵按结点分块形式个结点结构的总刚度矩阵按结点分块形式v 结构总刚度矩阵的形成结构总刚度矩阵的形成总刚度矩阵结

40、点荷载向量 为第i个结点的位移子向量； 为第i个结点的结点力子向量； 为结构总刚度矩阵的子矩阵。iiFijK K Kij ij的物理含义：的物理含义：结构第j号结点发生各单位位移，而其余结点位移均为零时，第i号结点上的各结点力。 2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 结构总刚度矩阵的形成结构总刚度矩阵的形成 根据总刚矩阵子块的物理含义可知，总刚矩阵子块由结构坐标系下相关单元的单刚矩阵子块叠加形成。 例：左图所示结构总刚矩阵子块K22由结构坐标系下 单元的单刚矩阵子块K 22 和 单元的单刚矩阵子块K 22叠加形成。即： K22 K 22 K 22可由2结点力的平衡条

41、件证明（略）。 由单刚矩阵形成结构总刚度矩阵的原则由单刚矩阵形成结构总刚度矩阵的原则 对号入座，同号相加。“号”是指矩阵元素的下标。 2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法结点号ijjjjiijiiKKKKKe0Knij21nij21jiji结构总刚度矩阵单元刚度矩阵2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 111K0K12341234 例：图示平面刚架，结构离散化如图。例：图示平面刚架，结构离散化如图。各单元在结构坐标系下的单元刚度矩阵各单元在结构坐标系下的单元刚度矩阵为为 1222112111kkkkK 3444334333kkkkK 23

42、33223222kkkkK形成结构总刚度矩阵为形成结构总刚度矩阵为 344343334333233232223222122121112111KKKKKKKKKKKKK0 112K2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 例：图示平面刚架，结构离散化如图。例：图示平面刚架，结构离散化如图。单元刚度矩阵为单元刚度矩阵为 1222112111kkkkK 3444334333kkkkK 2333223222kkkkK形成结构总刚度矩阵为形成结构总刚度矩阵为 344343334333233232223222122121112111KKKKKKKKKKKKK02022-3-26同济

43、大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 思考题思考题1 1：已知变刚度梁的结点位移编号如图所示，问结构刚度矩阵的元素：已知变刚度梁的结点位移编号如图所示，问结构刚度矩阵的元素k k1111和和k k1212各为多少？各为多少？LLEI2EI12EI2EI11k131136LEIk212LEI212LEI26LEI26LEIEI2EI12k121218LEIkLEI4LEI8LEI4LEI22022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法 思考题思考题2 2： 思考题思考题3 3：2022-3-26同济大学土木工程学院 结构力学 之 矩阵位移法v 边界条件的处理边界条件的处理？ 结构原始总刚度矩阵结构原始总刚度矩阵 的阶数的阶数0K（结点总数）（结点总数）（一个结点的位移分量数）（一个结点的位移分量数） 由于直接刚度法各单元均采用自由式单元，其集合而成的结构无任何约束，由于直接刚度法各单元均采用自由式单元，其集合而成的结构无任何约束，故由单刚集成的故由单刚集成的原始总刚度矩阵是奇