二次根式的运算知识点及经典试题讲义

1、 二次根式的运算知识点及经典试题 知识点一: 二次根式的乘法法则：4aQb=VOb(a0,Jb0),即两个二次根式相乘，根指数不变，只 把被开方数相乘 要点诠释： (1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 值=%,二/之0，叼之%之0,*乐之) (3)若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如次6=4. 知识点二、 积的算术平方根的性质：uOb=ja.屈(a0,Jb之0),即积的算术平方根等于积中各因式的 算术平方根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a20, V

2、b圭0才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有a2形式的a移到根号外面 (3)作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简 (4)步骤：对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即： 利用积的算术平方根的性质相=血6(a0,Jb之0)； :2a(a.之0) 利用Ja=a=(一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)即 、-a(a0,因为 b 在分母上，故 b 不能为 0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

3、 知识点四、 a、b 都必须是非负数; 商的算术平方根的性质Ja=亲(a之0， b0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 要点诠释：(1)利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.对 于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意，其中a0,b0,因为 b 在分母上，故 b 不能为 0. (2)步骤： 利用商的算术平方根的性质：=3(a0,b0) bbb 分别对下,汪利用积的算术平方根的性质化简 分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化，即(病2=a(a、0) (3)被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简 知识点五：最简

4、二次根式 1.定义：当二次根式满足以下两条： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简 二次根式或有理式. 要点诠释： (1)最简二次根式中被开方数不含分母； (2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数 2,即每个因数或因式从次数只 能为 1 次. 2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤： (1)把根号下的带分数或绝对值大于 1 的数化成假分数，把绝对值小于 1 的小数化成分数； (2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母； (4)将

5、被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外； (5)化去分母中的根号；(6)约分. 3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事： 一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 知识点六、同类二次根式 1 .定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 要点诠释： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关

6、 2.合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释： (1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2) 二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 知识点七、二次根式的加减&J 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同 类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. 二次根式加减运算的步骤： (1)将每个

7、二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次 根式结合为一组； (3)合并同类二次根式. 知识点八、二次根式的混合运算国 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用 要点诠释： (1) 二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先 算括号里面的； (2) 在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式， 这个形式应是最简二次根式， 或几个非同类最简二次式之和或差，或是有理式. 规律方法指导国 二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加

8、减 (1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是： 日甚密 2/匈/撷设” (2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同 类二次根式合并. 二次根式运算的结果应尽可能化简. 经典例题透析 类型一、二次根式的乘除运算 1、计算 解: 后 X 后=二护 x3=9/； 举一反三 【变式1判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： J(-4)x(-9)=x；/25x725=4x1/ssx/25=4/25x5=4-/12=8也. 3、化简 (1)v9xl6； 716x81； 思路点拨：利用向=而,而(&之0,解:(1)J9K16=后X/T

9、b=3X4=12; Tioo (3) 叵0) 781X100；(4)府7;(5)取. 直接化简即可. (2)J16乂81=716xx/si=4X9=36;(3)gl乂100=x/81X 4 /16 解：(1)不正确.改正：J(T)x(-9)=闲=&x拒=2X3=6; (2)不正确改正: =Jl12=J16x7=4J、 _J”-卜”-5x+4 【变式 1】已知心-6JX-6,且 x 为偶数，求（i+x）V/-1 的值. 思路点拨：式子=存，只有 a0,b0 时才能成立. 因此得到 9-x0 且 x-60,即 6x9,又因为 x 为偶数，所以 x=8. 9-1之0 0,即卜6 6x0),并

10、验证你的结论. 总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力. 【变式 1】对于题目“化简求值：1+J12+a2-2,其中 a=1，甲、乙两个学生的解答不同. aa5 同理可得：4 r4fc5fe 甲的解答是: -2 11112 3 J1111- - 2 2 3 =!-/：:-=：/一+-=二 11249 =+a=a aaa5 乙的解答是：1+,.12.a2-2=1+.(1-a)2=1+a=a=一 aaaaaa5 谁的解答是错误的？为什么？ 跟踪练习 21.1 二次根式： 1 .使式子JX二4有意义的条件是。2.当时，

11、JX72+JTT2X 有意义。 3.若J-m+1有意义，则m的取值范围是。4.当x时，J(1xf是二 m1 次根式。 5 .在实数范围内分解因式：x49=,x2_2j2x+2=。 6 .若J4x2=2x,则x的取值范围是。7.已知，(x2)2=2x,则x的取值范 围是O 8.化简：Jx2-2x+1(x1)的结果是。9.当1Ex0),我所?川=2(Q7(x0C. x-2x-2 D.x.2 19 .计算：J(2a12+J(12a2的值是()A.0B.4a2C.24aD. 或4a-2 20 .下面的推导中开始出错的步骤是() ；2j3=、223”121 -273(-22x3=712111(2) 23

12、=-2.3|HiHHHIIHHH3 2-2IHIHHHHHHHHHII4 A.1B.2C.3D.4 21 .若Jx_y+y2_4y+4=0,求xy的值。 22 .当a取什么值时，代数式j2a+1+1取值最小，并求出这个最小值。 A.a-1.a-1 B. 1-a.1-aC.a-1,1-a D. x2 2-4a 23.化简： (1)2700; 202162; 答(6)1/32a3b4；(7)ya4+a2b2；、住 21.2 二次根式的乘除 1 .当aE0,b40时，J0b3=。2.若J2m2和，33m/n隹都是最简二次根式，则m=,n=。 3.计算：J2MJ3=;J36=。4.计算 （痂-35/2

13、7广亚=。 5.长方形的宽为J3,面积为2娓,则长方形的长约为 简二次根式的是（） （精确到 0.01）。6.下列各式不是最 A.a21B.2x1C. 2b D. 0.1y 7.已知xy0,化简二次根式xj二J的正确结果为 -V )A.、vB.:yC.-yD. Ja2+b2=a+bC.J(a2+b2j=a2+b2D. 9.-273和-3J2的大小关系是（） A.-2,3-3,2B.-2,3-3.2C.-2,3-3,2 D.不能确定 10.对于二次根式TX2+9,以下说法中不正确的是（） A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是最简二次根式 D.它的最小 11.计算: 1.232 2.5

14、.x3,x3 8.对于所有实数a,b,下列等式总能成立的是（ 12 .化简： m时）e 受加一用 13 .把根号外的因式移到根号内： 1 .-52.1-x 21.3 二次根式的加减 1 .下列根式中，与石是同类二次根式的是（）A.244B.J12C.后D.J18 2 .下面说法正确的是（4.a3b6-aba0,b0 5ab2 C.3D.-3 D.3 8.下列式子中正确的是（ 一20002001 。15.3-2L.32 16.计算:A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 C.相与 不是同类二次根式 50 D. B. J8与，80是同类二次根式 同类二次根式是根指数为 2 的根 3.与jab

15、不是同类二次根式的是（ A. ab B. 2 C. D. 一ab b 3a 4.下列根式中, 是最简二次根式的是（ )A. B. ,12a-12b C. D. 5.若1YxY2,则J4-4x+x2+Jx2+2x+1化简的结果是 A. 2x-1 B. -2x1 6.若J18x+2,x+xJ2=10,则x的值等于( )A.4 B. _2 C.2 D. _4 7.若J3的整数部分为x，小数部分为y,则，3x-y的值是（ )A. 3.3-3B. 、.3 C.1 A.,5,2=.7 8.一a2-b2=a-bC.a、,x-b、.x=a-b.x D. 工！32-32 9.在枢屈,炳J20中，与J2是同类二次根式的是 10.若最简二次根式a。2a+5与J3b+4a是同类二次根式，则a=,b= 11. 一个三角形的三边长分别为78cm,g2cm,J18cm,则它的周长是 cm。 12. 若最简二次根式3、4