2020年全国版高考数学必刷题：第十五单元直线和圆的方程

1、第十五单元直线和圆的方程真题回访考点一求圆的方程1.(2016 年浙江卷)已知a R 方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表示圆，则圆心坐标是 _，半径是_.【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a=a+2,解得a=2或a=-1.当a=2时方程为4X+4y2+4x+8y+10=0,即2225_ 125、.22_ _ 22、.x +y +x+2y+2=0,配方得(?+)+(y+1)=-0,圆的半径为 2b.由勾股定理可得b2+(v3)2=4b2,解得b=1.又因为b0 所以b=1 所以圆C的圆心坐标为(2,1),半径为 2,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4.2

2、2【答案】(x-2)+(y-1)=4? ?3.(2015 年全国I卷)一个圆经过椭圆-?+-?=1 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为164-【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=(E)+E2-4F0).由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点,16 + 0 + 4?+ 0 + ?= 0,?=3则有0：4：0-；?2+?；?=?0,0,解得唔04,3225故所求圆的方程为x2：y2-3x-4=0,标准方程为（?？2）+冷.32225【答案】（?？$+y=25考点二有关距离的计算4.（2015年全国H卷） 已知三点A（1,0） ,B（0,l3）,a2

3、,v3）,则厶ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）.【解析】由已知可得|AB|=|AC|=|BC|=2,所以ABC是等边三角形，所以其外接圆圆心即为三角形的重心，其坐标为21+0+2 0+ v3+ V3.2 v32v3v2T3, -3），即（1,），故圆心到原点的距离为v1+（）=-.【答案】B5. （2016 年上海卷）已知平行直线丨1：2x+y-仁 0,12：2x+y+1=0,则11,12的距离为 _ .解析】d=Q=竺年.?+?扌-22+126.（2016 年全国H卷）圆x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线ax+y-1=0 的距离为 1,则a=（）.A.-4B.-3C. v3D

4、.234【解析】圆x2+y2-2x-8y+13=0 的标准方程为（x-1 ）2+（y-4）2=4,由圆心到直线ax+y-1=0 的距离为 1 可知|?+i=1,解得a=-3,故-?+12选 A.【答案】A考点三直线与圆的位置关系v2TB.25C.-TDp3【答案】7.（2014 年安徽卷）过点P（-v3,-1）的直线丨与圆x2+y2=1 有公共点，则直线丨的倾斜角的取值范围是（）.A.(O,nB.(O,nc.【o，nD.【o，n【解析】设直线丨：y+1=k(x+v3),即kx-y+v3k-1=0,由题意知，圆心O到直线l的距离d=|?B-0+3k-11wi,解得 owk0)截直线x+y=0 所

5、得线段的长度是 2艮艮，则圆M与圆 N：(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是().A.内切B.相交 C.外切 D.相离2 2 2 2 2【解析】Tx+y-2ay=0(a0),.x+(y-a)=a(a0),圆心M(0,a),r1=a.依题意，有迈=2?2,解得a=2.圆M的方程为x+y-4y=0,即x+(y-2)2=4,圆心M(0,2),半径r1=2.又圆N:(x-1)+(y-1)=1,圆心N(1,1),半径2=1,|MN|=V(0-1)2+ (2-1)2=v2.r-r2=1,r1+r2=3,1|MN|3,两圆相交.【答案】B9. (2014 年湖南卷)若圆C：x2+y2=1 与圆G：x

6、2+y2-6x-8y+m=外切，则m=).A.21B.19C.9 D.-11【解析】圆G的圆心是原点(0,0),半径=1.圆 G：(X-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C(3,4),半径2=?由两圆相外切，得|CiC|=r1+Q,即 5=1+v25-?,所以m=9.故选 C【答案】C10.(2015 年山东卷)过点F(1,V3)作圆x2+y2=1 的两条切线，切点分别为AB,则?.【解析】如图所示，由题意可知OAL APOBL BPOP动+ 3=2，又OA=OB=可以求得AP=BP总,/APB=0，故?辭辭XV3XCOS60=3.3【答案】2考点四 直线和圆的综合应用11. （2014 年

7、福建卷）已知直线丨过圆x2+（y-3）2=4 的圆心，且与直线x+y+1=0 垂直，则l的方程是（）.A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0【解析】由直线丨与直线x+y+1=0 垂直，可设直线丨的方程为x-y+n=0.又直线丨过圆x+（y-3）=4 的圆心（0,3）,则n=3,所以直 线丨的方程为x-y+3=0,故选 D.【答案】D12.（2014 年浙江卷）已知圆x2+y2+2x-2y+a=0 截直线x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数a的值是（）.A._2B._4C.-6D._8【解析】圆的标准方程为（x+1 f+（y-1f=2-a,r2=2-a,则

8、圆心（-1,1）到直线x+y+2=0 的距离为|-1+V+21=V2.由 22+（V2）2=2-a,得a=-4,故选 B.【答案】B13.（2015 年山东卷）一条光线从点（-2,-3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y-2）2=1 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）.人.-5或-33或5B.-2或-1C.-5或-44或5D.-3或-3【解析】由已知，得点（-2,-3）关于y轴的对称点为（2,-3）.由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点（2,-3）.设反|-3?22?3|射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k（x-2）,即kx-y-2k-3=0.由反

9、射光线与圆相切，则有d=1,v?+i43解得k=-3或k=-故选 D【答案】D14._ （2016 年全国I卷）设直线y=x+2a与圆Cx2+y2-2ay-2=0 相交于A,B两点若|AB|=2 辺，则圆C的面积为_.【解析】 圆C：x+y-2ay-2=0 化为标准方程是C：x2+（y-a）2=a+2 所以圆心C（0,a） ,半径r=V?+ 2.|AB|=2 込，点C到直线y=x+2a即x-y+2a=0 的距离d=笃2?!由勾股定理得（竽/+（匕?芦=af+2,解得a2=2 所以r=2,所以圆C的面积为nx22=4n.【答案】4n15._ （2014 年全国n卷）设点Mx,1），若在圆Ox2+

10、y2=1 上存在点N使得/OMN45 ,则x。的取值范围是 _.【解析】由题意可知M在直线y=1 上运动，设直线y=1 与圆x2+y2=1 相切于点P（0,1）.当x=0 即点M与点P重合时，显然圆上 存在点N（1,0）符合要求 当X0工 0 时，过点M作圆的切线，切点之一为点P,此时对于圆上任意一点N,都有/OMN/OM故要存在/OMN45 ，只需/OMP45.特别地，当 /OMF45 时，有刈=1.结合图形可知，符合条件的X。的取值范围为-1,1.【答案】-1,1卅淤卅疏强卅淞“命题调研； 於壬虫卅淞卅卅注卅.高频考点：求直线的方程，求圆的方程，判断两条直线的位置关系，判断直线与圆的位置关

11、系.命题特点：本部分内容是解析几何的基础知识，需要掌握求直线与圆的方程的基本方法、熟悉距离公式以及会判断直线与圆 的位置关系，需要掌握求切线方程的基本方法以及会运用弦长公式：这些内容在题型考查中既可以作为一个考点单独在选择题、 填空题中考查，也可以在解答题中与圆锥曲线一起综合考查.15.1直线方程与两条直线的位置关系诗勺总记祝专壬专淞mm葺讦空汪壬空备知IRL壬勺壬壬玄空汪土汨空壬玄虫冷专壬r(1)11/12?ki=k2；直线的倾斜角1.定义:X轴正向与直线向上方向之间所成的角叫作这条直线的倾斜角 它的倾斜角为 0 .2.倾斜角的范围为0,n).直线的斜率1.定义:一条直线的倾斜角a的正切值叫

12、作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tana.倾斜角是 90的直线没有斜率.2.经过两点P(Xi,yi),R(X2,y2)(xi丰x2)的直线的斜率公式二直线方程的五种形式点斜式:_斜截式:_.99 99截距式:?+=i.一般式:_四两条直线平行与垂直的判定1.两条不重合的直线Ii,l2的斜率分别为ki脸,则.当直线与X轴平行或重合时，规定:k=?h?两点式:?=?歹?？=?-?.A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0(2)11丄l2? _.2.直线Ii：Ax+By+G=O 与直线12：Ax+E2y+C=O 则AB-A2B1M0?11与I2相交；(2)A BAB=0?I1与l2

13、平行或重合;(3)?I1与12垂直.五距离1.点Po(xo,yo倒直线I:Ax+By+C=的距离d=_ .2.两条平行直线Ax+By+G=0 与Ax+By+C=0(其中CC)之间的距离d=_1判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“V”，错误的画“X(1) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率(2) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(3) 如果两条直线I1与12垂直，那么它们的斜率之积一定等于-1.(4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.1(5)若点AB关于直线I:y=kx+b(k工 0)对称,则直线AB的斜率等于且线段AB的中点在直线I上.2直线V3x-y+a=0

14、 的倾斜角为().A.30 B.60C.150 D.120 3过点(1,0)且与直线x-2y-2=0 平行的直线方程是().?左学右考()()()()()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=04已知两条直线|i：x+y-1=0,12：3x+ay+2=0 且丄12,则a等于().A.-3吗C.-3冃已知直线 3x+4y-3=0 与 6x+my+4=0 平行,则它们之间的距离是冃若A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一条直线上 则y的值是知识清单三、y-yo=k(x-xo)y=kx+b Ax+By+C=A2+B)彳|?yM-B?)+C|V?2

15、+?2基础训练1【答案】(1)XXXV (5)V2.【解析】.直线的斜率为倾斜角为 60 .【答案】B3.解析】由题意知所求直线方程为x-2y+c=,因为该直线过点(1,0),所以1-+c=,即C=-1.所以所求直线方程为x-2y-1=0.【答案】A4. 解析】.11丄12,.3+a=0,二 a=-3.答案】C5.解析】由题意知6=?,. m=.所求距离为17+=2.6?V32+42答案】26.解析】A(1,2),B(-2,3),.过A,B两点的直线方程是y-2=-；x-1).点(4,y)在此直线上，.y-2=x(4-1),二 y=1.【答案】1庶芒蹩密运搭劉搭尉尉淫逹泾J关健力lD.3四、1

16、.(2)kik2=-12.AA+BB2=五、|?1-?;|V?+?2【变式训练 1】(1)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)共线，则?+?勺值为题型一 直线的倾斜角与斜率【例 1】直线xsina +y+=0 的倾斜角的取值范围是().A.0,n)B【,nU32,n)C.0,；4D.0,4U(,n)(2)若直线l:y=kx- 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限，则直线丨的倾斜角的取值范围是().B(6,9c.(nn)n nD.【62】【解析】(1)因为直线xsina+y+=0 的斜率k=-sina,-1 sina 1 所以-1W1.设直线xsina+y+=0 的

17、倾斜角为0所以-Ktane-1,所以 tane-1.结合正切函数的图象可知,e的取值范围为0,nU庁，n)1n3n【答案】(1)-(2)0,nUn)题型二两条直线的位置关系【例 2】(1)(2017 吉安一中期中)“a=-2”是“直线11：ax-y+3=0 与l-:2x-(a+1 )y+4=0 互相平行”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)两条平行直线 2x-y-2=0 和 4x-2y+3=0 之间的距离是 _.【解析】(1)直线|1：ax-y+3=0 与12：2x-(a+1)y+4=0互相平行的充要条件为-(a+DaH-1)x2 且才工4,即

18、a=-2 或a=1,因此“a=-2”是“直线丨4：ax-y+3=0 与12：2x-(a+1)y+4=0 互相平行”的充分不必要条件.故选 A.(2)直线方程 2x-y-2=0 即 4x-2y-4=0,利用两条平行直线距离公式得其距离d=丫-31需.42+( -2)2【答案】(1)A莎2 运用两条平行直线间的距离公式求解，或转化为点到直线的距离求解.【变式训练 2】(1)直线10：x-y+1=0，直线11：ax-2y+1=0 与10平行，且直线12：x+by+3=0 与I。垂直，则a+b=().4 利用两条直线的平行与垂直关系的判断公式求解；C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0(2)平行于

19、直线 2x+y+1=0 且与圆x2+y2=5 相切的直线的方程是().A. 2x-y+ v5=0 或 2x-y- v5=0B. 2x+y+v5=0 或 2x+y- v5=0D.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0A.3B.2C.1D.-1【变式训练 3】(1)过点A(2,3),且将圆C:x2+y?-2x-4y+1=0 平分的直线的方程为11 1【解析】(1)因为I。I1,所以？=2,解得a=2.因为丨0丄12,所以-?=/,解得b=l 所以a+b=3.(2)设所求切线方程为 2x+y+c=0，依题意有|0+0+?|=v5,解得c=5,v22+12所以所求切线方程为 2x+y+5=0 或 2x

20、+y-5=0.故选 D.【答案】(1)A (2)D题型三 求直线的方程【例 3】根据下列条件，分别求满足条件的直线的一般式方程：(1) 过点(5,10),且原点到该直线的距离为 5;(2) 与直线 3x+4y+1=0 平行且过点(1,2);(3) 经过两条直线I1：x-2y+4=0 和I2:x+y-2=0 的交点P且与直线I3：3x-4y+5=0 垂直.【解析】(1)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x=5.当直线的斜率存在时，设其方程为y-10=k(x-5)，即kx-y+(10-5k)=0.由点到直线的距离公式得陛?=5，解得k=3.v1+?此时直线的方程为 3x-4y+

21、25=0.综上所述，所求直线的方程为x=5 或 3x-4y+25=0.(2) 设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线I的方程为 3x+4y+m9因为I经过点(1,2),所以 3X1+4X2+m=,解得m=-11.所以所求直线的方程为 3x+4y-11=0.?2?+ 4=0?= 0(3) 由方程组?_ ?2 =0, 得?=；即交点为 R0,2).设所求直线为I，因为I丄I3,直线I3的斜率为3,所以直线I的斜率k1=-4,所以直线I的方程为y-2=-4x,即 4x+3y-6=0.求直线的方程需弄清两个条件：一是直线的倾斜角或斜率；二是直线上某点的坐标从点(2,3)射岀的光线沿与直线x-2y=0

22、 平行的方向射到y轴上，则经y轴反射后的光线所在的直线的方程为?2 ?1C(1,2),依题意知，点A(2,3),C(1,2)在所求直线上.由两点式得T2=2-1，即x-y+1=0.1(2)由题意得，入射光线的方程为y-3=2(x-2),即x-2y+4=0，与y轴的交点为(0,2).又(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),二反射光线所在的直线过(0,2),(-2,3).由直线方程的两点式可得反射光线的方程为【答案】(1)x-y+1=0(2)x+2y-4=0方法 对称冋题的解题技巧涉及对称问题，主要有以下几种情况：1.若点P(x0,y。)关于直线丨：Ax+By+C住对称的点是Q(x0,y0),

23、则线段PQ的中点在直线丨上且直线PQL|,由此可得方程组?+B+oO. . .、?-x 0 ?解方程组得到x0,y0的值，从而求得对称点的坐标.2.若直线丨：Ax+By+C住关于点P(x0,y。)对称的直线为r,由于直线r必与直线丨：Ax+By+C=平行，故可设直线r的方程为Ax+By+C0.利用距离公式并结合图形可求得直线的方程.3.若直线丨：Ax+By+C=关于直线lAx+By+C=0 对称的直线为，则在直线l:Ax+By+C=上取两点，求出这两点关于直线丨。对 称的两点的坐标，再由两点式便可得直线r的方程.【突破训练】已知直线丨：3x-y+3=0，求:(1) 点 R4,5)关于丨的对称点

24、；(2) 直线x-y-2=0 关于直线丨对称的直线方程；(3) 直线丨关于点(1,2)的对称直线方程.【解析】(1)设P(x,y)关于直线丨：3x-y+3=0 的对称点为P(x,y).kppku-1，.两*3=-1.又 PP的中点在直线3x-y+3=0 上,?+?+?3X -?+302 2【解【解析】(1)由题意知圆心为372=20，即x+2y- 4=0.1.(2017 北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为a,斜率为k,那么“a是“kV3 ”的().3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】当nan时,kv3 时，nan”是“kv3”的必要不充分条件.

25、故选B.【答案】B?=由得-4?+3?953.把x=4,y=5 代入，得x=-2,y=7,点P(4,5)关于直线I的对称点P的坐标为(-2,7).用分别代换x-y-2=0 中的x,y,得关于I的对称直线方程为-4?+3?-93?+4?+3-2=0化简得 7x+y+22=0.(3)在直线I:3x-y+3=0 上取点M0,3),设其关于点(1,2)的对称点为M(x,y),?+02=?+3 _2:1,?= 2 解得?= 2二M(2,1).2,所求对称直线的斜率k=3,对称直线的方程为y-1=3X(x-2),即 3x-y-5=0.府賤脳嵌沁嵌阴酬酬运滋了iT练鼻L又l关于点(1,2)的对称直线平行于l

26、,2.(2017 沧州市一中月考)若直线l!：ax+y-1=0 与12：3x+(a+2)y+1=0 平行，则a的值为().A.1 B.-3【解析】由题意可得a(a+2)=3,解得a=1 或a=-3.当a=-3 时两条直线重合，故应舍去.所以选 A.【答案】A3.(2017 襄阳四中月考)方程(1+4k)x-(2 3k)y+(2-14k)=0 表示的直线必经过点().A.(2,2)B.(-2,2)c.(-6,2)D.(34,22)【解析】原方程可化为?2?+ 2=0?2= 2x-2y+2+k(4x+3y-14)=0，由4?+32214 = 0 解得?= 2 所以直线过定点(2,2)【答案】AD.

27、-11【解析】由题意知 2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0,解得a=3或a=-1.故选 B.【答案】B5.(2017 广州综合测试)已知三条直线 2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0 不能构成三角形，则实数m的取值集合为().4 242、A.-3,3B.3,-34 2 442 2C.-3,3,3D.-3,-3,3【解析】三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.若直线 2x-3y+1=0 平行直线mx-y-1=0,242则m;若直线 4x+3y+5=0 平行直线mx-y-1=0，则m=;若三条直线相交于同一点，则m=3，故选 D.【答案】D6

28、.(2017 沙市中学月考)若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+=0 相交于同一点，则点(mn)到原点的距离的最小值为().c.o 或-2D.1 或-34.(2017 广州模拟)已知直线li：2ax+(a+l)y+l=02：(a+l)x+(a-l)y=0,若11丄丨2,则a=().1A.需B. v6C.2 v3D.2 齿【解析】直线y=2x,x+y=3 的交点为(1,2)代入mx+ny+=0 得mn +5=0.V?+ ?表示点(mn)与(0,0)的距离，其最小值为原点 到直线的距离d=V5, ?+ ?的最小值为V5.【答案】A7.(2017 云南师大附中月考)已知倾斜角为0的直线I与直

29、线mx-2y+3=0 垂直，则 tan 201【解【解析】直线I与m垂直，迈 tan0=-1?tan0=-2,c 2tan? 2X-2) 4二-=_1 -tan201-43【答案】48._ (2017 河南豫东、豫北十校联考)ABC勺三个顶点坐标分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),则边BC的垂直平分线的直线方程 为.【解析】设BC的中点的坐标为(x,y),则x=-r=0,y=2,即(0,2).直线BC的斜率也諾BC的垂直平分线的直线斜率k2=2,所求的直线方程为 2x-y+2=0.【答案】2x-y+2=0log 2 log 3 log 59. (2016 深圳市调研)若a二g-

30、,b=-J,c=，则().A.abcB.cbaC.cabD.bakPc即cb0,q0,给出下列命题：1若p=q=0,则“距离坐标”为（0,0）的点有且仅有一个；2若pq=0,且p+q工 0,则“距离坐标”为（p,q）的点有且仅有两个；3若pq0 则“距离坐标”为（p,q）的点有且仅有四个.上述命题中，正确命题的个数是（）.A. 0 B.1C 2D. 3【解析】正确，此点为点Q正确,注意到p,q为常数，由p,q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有两个点，这两个 点分别在两条直线上，且到另一条直线的距离为q（或p）,两点关于点Q对称;正确，四个交点分别为与直线丨1相距p的两条平行 线和与直

31、线l2相距q的两条平行线的交点.【答案】D12._ （2017 汕头潮南实验学校月考）若直线m被两条平行直线丨1：x-y+1=0 与丨2：x-y+3=0 所截得的线段的长为 2盪,则m的倾斜角可 以是.（写岀所有正确答案的序号）15 ,30 ,45 ,60 ,75.由于点（0,2）1（2,1） ,斜率为-2,故对称轴所在的直线的方程为y-1=2(x-2),即 2x-y-3=0.根据点(7,3)?3?72xX2 = -1,?=?+72?+3 c C-2-3=0,解得?=315【解析】两条平行直线间的距离为d3r=v2,由图（图略）知直线m与11的夹角为 30 ,丨1的倾斜角为 45所以直线m的倾

32、斜角等于 30 +45=75 或 45 -30 =15【答案】13.(2017 鸡泽一中月考)定义:曲线C上的点到直线|的距离的最小值称为曲线C到直线|的距离.已知曲线G：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线 ：x +(y+4)2=2 到直线|：y=x的距离，则实数a=.【解析】曲线C：x +(y+4)2=2 到直线|：y=x的距离为罟-倍旧则曲线C与直线l不能相交，2 2即x +ax.x+a-x0.设Ci：y=x+a上点为(xo,yo),121则点(xo,yo)到直线l的距离d咛=春=(斗3答=辺,9所以a=4.9【答案】414. (2017 天河中学检测)设直线|1：y=kx+1,|

33、2：y=k2X-1,其中实数 仆满足 *+2=0.证明:(1)11与|2相交;(2)|1与|2的交点在椭圆 2x2+y2=1 上.【解析】(1)假设|1与|2不相交，则|1与|2平行，有k1=k2.代入秋2+2=0,得?+2=0,此与k1为实数的事实相矛盾.从而k1工k2,即|1与|2相交.(2)由方程组?= ?x + 1,?= ?x-1,?解得交点P的坐标(x,y)为?=2?-?,?+?1?-?.而 2x+y=2(22為)+(?+?)?-?)8+?纟+?1+2?1? ?彳+?%+4=1?彳+?彳15.2圆的方程汀必备知禎L ”rp圆的方程1.圆的标准方程22 2方程(x-a)+(y-b)=r

34、(r0)表示圆心为_ ，半径为r的圆的标准方程(2)_特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为 _2.圆的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F0(D+E-4F0),圆心为_ ,半径为_点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(xo,yo),2221_(xo-a)+(yo-b)r?点在圆上；2_(X0-a)2+(y-b)2r2?点在圆外；?左学右考1方程X+y+4mx-2y+5m0 表示圆的充要条件是().1 1A.4mB.m1C.m42若点(2a,a+1)在圆x2+(y-仃=5 的内部，则a的取值范围是().A.-lalB.0aliiC.-1aD.-

35、a1553已知点A(2,0),B(0,2),则以线段AB为直径的圆的方程是知识清单. 2 2 2一、 1.(1)(a,b) (2)x +y=r? ?v?2+?2-4F2.(-2,-2)2二、二0,解得m.【答案】B2.【解析】由题意知(2a)2+a25,即 5a25,解得-1a1.【答案】A3.【解析】AB的中点为(攀,乎),即(1,1).二圆心为(1,1). |AB|=2込,二圆的半径为V2.所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.【答案】決卅+仪-1)2逐於能淞虫能腳酬卅氓偕/癸it能力l题型一求圆的方程【例 1】求下列各圆的方程(1) 已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l:x+

36、y-1=0 相切于点P(3,-2);经过点A(5,2)，点B(3,2),且圆心在直线 2x-y-3=0 上；(3)经过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2).【解析】(1)过切点且与x+y-1=0 垂直的直线为y+2=x-3,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).所以半径r=切(31)2+ (-2 + 4)2=2v2,故所求圆的方程为(x-1 )2+(y+4)2=8.2 2 2(2) 设圆C的方程为(x-a)+(y-b)=r,(5-?) + (2-b)2= ?,?= 4,则 (3-?2+ (2 -b)2= ?，得?= 5,2?3 = 0,?= 10.2 2故圆C的方程为(x-4

37、)+(y-5)=10.o o_(3) 设圆的一般方程为x +y +Dx+Ey+F=因为圆过三点A(1,12),B7,10),a-9,2),1 + 144 + ?+ 12 ?+ ?= 0,所以49 + 100 + 7?+ 10?+ ?= 0,81 + 4-9?+ 2?+ ?= 0,?= -2,解得?= -4,?= -95.2 2所以所求圆的方程为x +y-2x-4y-95=0.求圆的方程的三种方法：(1) 直接法：直接求岀圆心坐标和半径，从而求岀方程.(2) 待定系数法：设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a,b,r的方程组，从而求出a,b,r的值;选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D,EF

38、的方程组 进而求出DEF的值.(3) 平面几何法：利用圆的几何性质(圆心在圆的任意弦的垂直平分线上)确定圆心.【变式训练 1】(1)已知圆M与直线 3x-4y=0 及 3x-4y+10=0 都相切，圆心在直线y=-x-4 上，则圆M的方程为().A. (x+3)2+(y-1)2=1B. (x-3)2+(y+1)2=1C. (x+3)2+(y+1)2=1D. (x-3)2+(y-1)2=1(2)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M0,5)在圆C上,且圆心到直线 2x-y=0 的距离为可，则圆C的方程为_.3?4?+ 5=0?= -3【解析】(1)到直线 3x-4y=0 及 3x-4y+10=0

39、的距离都相等的直线方程为3x-4y+5=0,联立方程组?0,所以圆心到直线 2x-y=0 的距离d=?脊，解得a=2,所以圆C的半径r=|CM|= M+5=3,所以圆C的方程为(x-2)+y=9.22【答案】(1)C(x-2)+y=9题型二 与圆有关的最值或范围问题【例 2】(1)已知直线I：x-y+4=0 与圆C：(x-1)2+(y-1)2=2，则圆C上各点到I的距离的最小值为 _.(2)已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M|N是圆x2+y2+kx=0 上不同的两点,P是圆x2+y2+kx=0 上的动点.若MN关于直线x-y-1=0 对称，则PAB面积的最大值是().A.3B.

40、3 v2C.3-D.3+吕【解析】(1)圆C(x-1)2+(y-1)2=2 的圆心是(1,1),半径r=V2,圆心到直线I：x-y+4=0 的距离d=V2=2V2,圆上的点到直线的距离最 小值为d-r= v2.(2)因为MN关于直线x-y-1=0 对称所以圆心(-?,0)在直线x-y-1=0 上，即-?-1=0,解得k=-2,所以圆的方程为x +y -2x=0,即圆心为(1,0),半径为r=1.要使APAB面积的值最大，即此时点P到直线的距离为圆心(1,0)到直线AB的距离与圆半径之和.因为圆心(1,0)到直线AB的距离为-r,|AB|=2v2,所以APAB面积的最大值为S=2X2v2x(-1

41、)=3+运.故选 D【答案】(1)v2(2)D与圆上的点有关的距离的最值问题都要与圆心联系起来.当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d,圆半径为r,则圆上的点到直线的距离的最大值为d+r,最小值为d-r;过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常利用两点间距离公式转化为二元函数的最值问题，利用消元法转化为一元函数在某个区间上的最值问题求解.【变式训练 2】设点P和点Q分别在x4 5+(y-6)2=2 和椭圆而+寸=1 上，则点P点Q之间的最大距离为().A.5 v2B. v46+v?C.7+v2D.6 V(2)过点M1,2)的直线l与圆：(x-

42、3)2+(y-4)2=25 交于AB两点，设C为圆的圆心，当/ACB最小时道线丨的方程是_.【解析】(1)依题意点P,点Q之间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径2.设Qx,y),则圆心(0,6)与点Q的距离d=V? (y-6)2=V-9?2-12y + 46=9 (?+3) + 50 5v2,所以点P点Q之间的最大距离为 6VL 故选 D.(2)要使/ACB最小，由圆心角定理可知，需 |?最短.由勾股定理可知，当圆心到直线I的距离最大时AB|最短，即线段CM垂直 于直线l.因为线段CM勺斜率k=4-2=1,所以所求的直线斜率为-1,由点斜式可得y-2=-(x-1)，即

43、x+y-3=0.3-1【答案】(1)D (2)x+y-3=0题型三与圆有关的轨迹方程【例 3】已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为MO为坐标原点(1)求M的轨迹方程；当|OP|=|OM|时，求l的方程及POM勺面积.2 2【解析】(1)圆C的方程可化为x+(y-4)=16,所以圆心为 Q0,4),半径为 4.设Mx,y),?=?y-4),?=?-x,2-y),由圆的几何性质,CMLMP所以？?=?所以x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1+(y-3)2=2.因为点P在圆C的内部 所以直线l一定与圆心C相交，所以上式方

44、程满足题意.所以M的轨迹方程是(X-1亍亍+(y-可冬可冬2.由(1)可知M的轨迹是以点 N1,3)为圆心，2 为半径的圆.因为|OP|=|OM|,设线段PM中点为点D所以ODLPM又点P在圆N上，从而NDL PM所以ONL PM.14 8故l的方程为y=_3x+亍亍.因为ON的斜率为 3,所以直线l的斜率为-3,故|PM|=4v10，所以POM的面积为16.fgTW与圆有关的轨迹问题可用下面的方法解决：(1)直接法.直接根据题目提供的条件列出方程.(2)几何法.利用圆的几何性质列方程.(3)代入法.找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.【变式训练 3】已知一个圆经过点A(3,1)

45、,B(-1,3),且它的圆心在直线 3x-y-2=0 上.(1)求此圆的方程若点D为所求圆上任意一点，且点 Q3,0),求线段CD的中点M的轨迹方程3 1i【解析】(1)因为A(3,1),B(-1,3),所以kABnp,线段AB的中点坐标为(1,2),从而线段AB的垂直平分线的斜率为2,方程为y-2=2(x-1),即卩 2x_y=0.2?2= 0 ?= 2 由方程组3?2=,0解得?=4,所以圆心N(2,4),半径r=|NA|=V(3)6+ (4-1)2=V10,2 2故所求圆N的方程为(x-2)+(y-4)=10.?=设Mx,y),D(X1,y1),则由C(3,0)及M为线段CD的中点得?=

46、6 2又|OM|=|OP|=2v2,0到直线丨的距离为4v10?+3石解得?=；y-3 * 5 *2,方法 数形结合思想在解决关于圆的方程的问题中的应用2.(2017 广西名校一模)过点A(1 ,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0 上的圆的方程是().研究与圆有关的最值问题时，可借助图形，利用数形结合求解.常见的最值问题有以下几种类型：形如卩=?的最值问题，可 转化为动直线斜率的最值问题；形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(x-a+(y-b亍的最值问题，可 转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【突破训练】在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0)

47、,E(0,6),点P在圆Qx2+y2=50 上，若则点P的横坐标的取值范围是【解【解析】设P(x,y),由?20 和x2+y2=50,得 2x-y+5 0.2?+ 5=0, 由? + ? = 50,?= -5?= 1解得?=-5,或?=7如图，由 2x-y+50,即 8(m-1f-4(2m-6m+4)0-解得m.因为圆过坐标原点，所以 2m-6m+4=0,解得m=2 或m=.因此m=2.【答案】26._ (2017 温州一模)已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的 2 倍,那么点M的轨迹方程是 _.【解析】设点M的坐标为(x,y),利用动点满足的几何关系列式得V(?8)2+

48、 ?=2V(?-2)2+ ?,化简得x2+y2=16.2 2【答案】x+y=167._ (2015 年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准 方程为.【解析】mx-y-2m-1=0 可化为m(x-2)-(y+1)=0,则动直线恒过定点M2,-1),故满足题意的圆与直线切于点M时，半径最大，从而r=V(21)2+ (-1-0)2=迈2 27 2【答案】(x-1)+y=2故标准方程为(x-1)+y =2.8.(2017 丽水联考)点A(2,0)是圆x2+y2=4 上一点，点B(1,1)是圆内一点，P,Q为圆上的

49、动点 (1)求线段AP的中点的轨迹方程；若/PBQ90 ,求线段PQ勺中点的轨迹方程.【解析】(1)设线段AP的中点为Mx,y),由中点公式得点P坐标为P(2x-2,2y).点P在圆x2+y2=4 上,(2x-2)2+(2y)2=4,2 2故线段AP的中点的轨迹方程为(x-1)+y =1.(2)设线段PQ的中点为Nx,y),在 Rt PBC中PN|=|BN|，设O为坐标原点，连接ON则ONL PQ2 2 2 2 2|OP| =|ON| +|PN| =|ON| +|BN|,2 2 2 2 x+y +(x-1)+(y-1)=4,故线段PQ的中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.9.(2017

50、长春市质量监测一)已知圆(x-1)2+(y-1)2=4 上到直线y=x+b的距离等于 1 的点有且仅有两个，则b的取值范围是().A.(-V?,0)U(0,v2)B. (_3 v?,3v2)C. (-3V?,-v2)U(V2,3V2)D. (-3v2,-v2U(v2,3v2【解析】由已知得圆的半径为2,可知圆心到直线的距离属于(1,3)时，满足只有两个圆上的点到直线丨的距离为 1,根据点到直线的距离公式可得 11|3,因此be(-3v2,-v2)U(v2,3v2).故选 C.【答案】C10. (2017 福州三中测试卷)下面四个命题：1直线(3+n)x+4y-3+3m=0(meR)恒过定点(-

51、3,3);2圆x2+y2=4 上有且仅有 3 个点到直线I：x-y+v2=0 的距离都等于 1；3若函数y=f(x)在x=a及x=b之间的一段图象可以近似地看作直线，且acb，则f(c)f(a)+?J?(?(?)4当ne(-v33,v33)时，曲线C1：x2+y2-2x=0 与曲线C：y(y-mx-m)=0 有四个不同的交点.33其中正确的是().AB.C.D【解析】易知是正确的圆心(0,0)到直线的距离d=1,又半径为 2,故正确;斜率k-?需?直线近似为f(x)-f(a)=?(；?；(?X_a),把(c,f(c)代入解得f(c)f(a)+?-?(?(?)故正确;当m=0 时Q：y=0 与G

52、X+y【2x=0 只有两个交点，故错误.【答案】A11.(2016 如东高中期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,0)，点B是圆C(x-2)2+y2=4 上的点，点M为AB中点若直线I：y=kx-v5k上存在点P使得/OPM30 ,则实数k的取值范围为 _.【解析】因为点M为AB的中点，所以OM=CB=,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆.当PM为单位圆切线时，/OP陋最大 值，即ZOPIW30，从而OP三幕2,因此原点到直线l:y=kx-v5k距离不大于 2,即空尘 2?-2k 2.sin.v?，2+i【答案】-2k0)关于直线x+y+2=0 对称.(1)求圆C的方程；设Q为圆C上的

53、一个动点，求 ?的最小值.?2 ?-?2 亠 + +2=0, (1)设圆心C(a,b),则?；+22?+2=1,解得?=；，则圆C的方程为x2+y2=r2(r0),将点p的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.【解析】22设Q的坐标为(x,y),则x+y =2，所以?=?. 1,y-1) - (x+2,y+2)=x+y +x+y-4=x+y-2.因为(x+y)2=x2+y2+2xy 2(x2+y2)=4,当x=y=1 时，等号成立，所以-2x+y 2.所以？?最小值为-4.14.(2015 年广东卷)已知过原点的动直线|与圆G：x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点AB.(1)

54、 求圆心C的坐标.(2) 求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3) 是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0 得(x-3)2+y2=4,所以圆心C的坐标为(3,0).设M的坐标为(x,y),因为点M为弦AB的中点，即CMLAB所以?MkAf=- 1，即?3?=- 1，2所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为(?？|)+y2=4,从原点作圆C的切线时，得交点的横坐标为 善当点M与圆心C重合时，5点M的横坐标取得最大值 3,所以点M的横坐标范围为-x 3.329 5即轨迹C的方程为(?2

55、)+y2=4(3 xw3).33由知点M的轨迹是以3，0)为圆心，r拧为半径的部分圆弧EF如图,不包括EF两端点),且酹普),52 vSF(-T)，又直线L：y=k(x-4)过定点D(4,0),3|k(3-4)-0| 33当直线L与圆C相切时，由2=2,得k=3心2+122415.3直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆的位置关系与判断方法圆与圆的位置关系0-(邙)又kDE=-kDF=-2 v53 32 V5 2 0去 x(或 y)得一A-0元二次方程，计2算 =ty4ac0计算圆心到直dr结论方法22圆 O:(x-a2)+(y-b2)=?(门0).方法位置几何法:圆心距 d 与 r1,r2的关系

56、代数法:两圆方程联立，组成方程组的解的情况关系外离dr1+r2外切d=+r2相交|r1-r2|dr1+内切d=|r1-r2|(r1* J)内含0 d|r1-r2| (n 工1判断下列结论是否正确，正确的在括号内画“V”，错误的画“X(1) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交.(2) 过圆x2+y2=r2上一点p(Xo,yo)的圆的切线方程为xx+yy=r2.“ k=1 ”是“直线x-y+k=0 与圆x2+y2=l 相交”的必要不充分条件(4) 若两圆的公共点的横坐标有且只有一个值，则两圆一定是相切.(5) 若点F(a,b)在圆x2+y2=l 外,则直线ax+by=l 与圆相离.2

57、已知圆Cx2+y2-4x=0,l是过点F(3,0)的直线则().A.I与C相交B.I与C相切C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能3圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为().A.内切B.相交C.外切D.相离?左学右考()()()()()4已知两圆x+yl10 x-10y=0,x+y+6x-2y-40=0，则它们的公共弦所在直线的方程为公共弦长为5直线I过点A(2,4)且与圆x2+y2=4 相切,则直线|的方程为知识清单一、 相交 相切 相离 相交 相切 相离二、 无解一组实数解两组不同的实数解一组实数解无解基础训练1. 【答案】(1)x(2)V(3)X(

58、4)X(5)X2.【解析】圆Cx2+y2-4x=0 是以(2,0)为圆心，以 2 为半径的圆，而点P(3,0)到圆心的距离为d=V(3-2)2+ (0-0)2=12，点P(3,0)恒在圆内，所以过点 R3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交.故选 A.【答案】A3.解析】两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为 2 和 3,圆心距d=V4+ 12=V7.3-2vd1,即 =1,解得k (-v3,v3).v?-2+iv?+i(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1,该直线是圆的切线；当直线的斜率存在时，设直线方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,若直线与圆相切，则上?2

59、=1，解得k=3,代入切线方程整理得 3x-4y+5=0,综上可得，圆的切线方程为 3x-4y+5=0 或x=1.【答案】(1)(-v3,v3) (2)3x-4y+5=0 或x=1(1) 判断直线与圆的位置关系时，若两个方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法 若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法.(2) 过圆上一点，只有一条切线.过圆外一点，有两条切线，如果求出的切线只有一条，那么需结合图形把斜率不存在的那条切线 补上.【变式训练 1】若直线y=x+b与曲线x=Vi-?恰有一个公共点，则b的取值范围是 _【解析】由x=Vl-?知，曲线表示半圆(如图).当-10)截

60、直线x+y=0 所得线段的长度为 2v2,则圆M与圆 N：(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是().A.内切B.相交 C.外切 D.相离(2)若圆x2+y2=4 与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为 2 v3,则a=.【解析】(1)圆M的圆心为M0,a),半径ri=a,所以VV?=V?2,a=2,即M(0,2),ri=2.圆N的圆心为N(1,1),半径 3=1,又V1+ (2-1)2=v2,所以ri-r2|MN|0,结合图象(图略),再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知?=v22-(V3)2=1?a=1.【答案】(1)B (2)1两个圆的位置关系的判断