重点高中平面解析几何知识点总结(直线、圆、椭圆、曲线)

1、重点高中平面解析几何知识点 总结直线、圆、椭圆、曲线作者:日期:高中平面解析几何知识点总结.直线局部1 直线的倾斜角与斜率：(1) 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角°,18°),90斜率不存在.k (x-i x2), k tan(2) 直线的斜率：X2 Xl.两点坐标为Pl(Xl，yi)、P2(X2,y2).2. 直线方程的五种形式：(1) 点斜式：y yi k(X Xl)(直线1过点Pl(Xi,yi)，且斜率为k).注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示

2、，此时方程为 X X(2)斜截式：y kx b(b为直线1在y轴上的截距).y y1x X1(3)两点式：y2 yX2X1 ( y1y2，X1X2).注： 不能表示与X轴和y轴垂直的直线；方程形式为：(X2 X1)(y y1) (y2 y1)(X X1)0时，方程可以表示任意直线.x y 1(4) 截距式：a b( a，b分别为X轴y轴上的截距，且a 0，b ° ).注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线.(5) 般式：Ax By C °( 其中a B不同时为0).AC,Ay x k一般式化为斜截式：B B，即，直线的斜率：B

3、.注：(1)直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0 .直线横截距X。，常设其方程为x my X0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 .直线过点(X0，y0)，常设其方程为y k(x X0)y0或x X0.(2) 解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合.3 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为 0.(1) 直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点.(2)直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点.(3)直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点.(1)两点坐标P(x1，y1)、P2(x2,y2)，那么两点间距离RP

4、2(为X2)2 (% y2)2(2)X轴上两点间距离:ABXbXaXo(3)线段pp2的中点是M(x0,y0)，那么*x1x22%y224.两条直线的平行和垂直:(1)假设11:y Kx d l2 : yk2xb2有I1 /12kk?, b|b2 I1I2k1 k21(2)假设 11:A1XBy C10I2 :A2xB2 y C20，有I1 /12 a b2a2b1 且 A-|C2A2C1 ； 11 12A1A2B1B205.平面两点距离公式:6. 点到直线的距离公式:AxoBy。点P(Xo, yo)到直线I: Ax By C 0的距离:.A2 B27. 两平行直线间的距离公式:d两条平行直线

5、l1: Ax By C1 0，l2： Ax By C2 0的距离：|C1 C2-A2 B28. 直线系方程:(1) 平行直线系方程:直线y kx b中当斜率k 一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线l:Ax By C 0平行的直线可表示为Ax By C10y。) 0过点P(x0,y0)与直线l:Ax By C 0平行的直线可表示为：A(X X0)B(y(2) 垂直直线系方程:与直线l:Ax By C 0垂直的直线可表示为Bx Ay C1 0过点Px0，y0与直线l：Ax By C 0垂直的直线可表示为：Bx X。Ay y。° .3定点直线系方程： 经过定点PoXo,yo的直线系方

6、程为y yo kX Xo除直线x xo,其中k是待定的 系数. 经过定点Poxo，yo的直线系方程为Ax X。By y° 0,其中A,B是待定的系数.4共点直线系方程：经过两直线11：AxBiyC10,12：A2XB2yC2。交点的直线系方程为Ax Biy C1A2X B2y C2 0 除开l2，其中入是待定的系数.9两条曲线的交点坐标：曲线 C1 : f (x, y) 0与C2 : g(x,y)0的交点坐标f(x,y) 方程组g(x,y)00的解.10.平面和空间直线参数方程： 平面直线万程以向量形式给出：x a y b方向向量为sn in下面推-导参数方程:nin2令.x a y

7、 bXt那么有anitnin2ybn2t空间直线方程也以向量形式给出：z-b方向向量为s ni,n2,n3下面推导参数方程：nin2n3x a mt令:z-c t 那么有 y b rht nin2n3z c mt注意：只有封闭曲线才会产生参数方程， 对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。二.圆局部1 圆的方程:2 2 2(1) 圆的标准方程：(Xa)(yb)r( r 0).(2) 圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2 E24F 0).(3) 圆的直径式方程：假设A(Xi,yi), B(X2,y2)，以线段AB为直径的圆的方程是:(x xi)(x X2) (y yi)(y

8、y?) 0. (D, -|) r jD2 E2 4F注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是22 ,2(2) 一般方程的特点：2 2 2 2 X和y的系数相同且不为零； 没有xy项；D E 4F 02 2(3) 二元二次方程Ax Bxy Cy Dx Ey F °表示圆的等价条件是： A C 0 ； B 0 ； D2 E2 4AF 0 .2.圆的弦长的求法：(1)几何法：当直线和圆相交时，设弦长为1，弦心距为d，半径为r , 那么：“半弦长2 +弦心距2二半径2 _ (2) d(2)代数法:设I的斜率为k，I与圆交点分别为Agy)，B(X2,y2)，那么|AB| 1 k2 |X

9、a Xb | 1 1 |yA yB|(其中丨x1 X2 M y1 y2|的求法是将直线和圆的方程联立消去 y或X ,利用韦达定理求解)3. 点与圆的位置关系：2 2 2点P(X0,y0)与圆(x a) (y b) r的位置关系有三种P在在圆外dr(X。a)2(y°2 2b)rP在在圆内dr(X0a)2(y022b)rP在在圆上dr(Xoa)2(y°2 2b)r【P到圆心距离d、(aX0)2 (by。)2】4. 直线与圆的位置关系：2 2 2直线Ax By C 0与圆(x a) (y b) r的位置关系有三种d圆心到直线距离为d(Aa Bb C22A B ),由直线和圆联立方

10、程组消去x(或y)后，所得dddrrr相离相切相交° ；°°5.两圆位置关系：设两圆圆心分别为°1，°2，半径分别为r1,dr12外离4条公切线；dr1r2内含无公切线.dr12外切3条公切线；dr1r2内切1条公切线.r1r2driD相交 2条公切线元二次方程的判别式为IO© d内含0-d内相交夕卜弹相离V一d6.圆系方程:X2Dx Ey F °(D2 E2 4F °)(1)过直线1:Ax2 2By C °与圆C： x y DX Ey F °的交点的圆系方程:x2 y2 DxEyF (AxBy

11、C)°,入是待定的系数.(2)过圆C1:D1xEiyFl°与圆C2： x"D2x E2y F2°的交点的圆系方程:DiX Ei yFi(x2y D2X E?yF2)° ,入是待定的系数.特别地，当1时，x2LLy D1XF1(x2D2x E2y F2)° 就是(EiE2)y (Fi F2)0表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线.7 圆的切线方程:(1) 过圆x2 y2上的点P(X0，yo)的切线方程为：XH yoy.2(2) 过圆° a)? (y b)2上的点卩匕。"。)的切线方程为:(x a)(Xo

12、 a) (y b)(yo b) r(3) 当点P(Xo，yo)在圆外时，可设切方程为y yo k(x X。)，利用圆心到直线距离等于半径, 即d r，求出k ；或利用 °，求出k .假设求得k只有一值，那么还有一条斜率不存在的直线x x°8.圆的参数方程:圆方程参数方程源于:2sin2cos那么2X a)(yb)2R(x a)设： R(y b)Rsin得:RsinRcoscos22亡9.把两圆 x yD1XE1yF1x2y2 D2x E2y F20方程相减即得相交弦所在直线方程：(D1D2)x (E1 E2)y (F1 F2)10. 对称问题:X1,2y0 yj(1)中心对

13、称:点关于点对称：点A(x1,y1)关于M(X0,y0)的对称点A(2X0 直线关于点对称：法1:在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于点对称的两点坐标，由两点式求直 线方程.法2:求出一个对称点，在利用l1/l2由点斜式得出直线方程.(2)轴对称： 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是直线斜率的负倒数，点与对称点的中点 在直线上.AA 丄 IkAA -k,1点a、A关于直线I对称 AA中点在上 AA中点坐标满足I方程. 直线关于直线对称：设a，b关于1对称法1:假设a,b相交，求出交点坐标，并在直线a上任取一点，求该点关于直线1的对称点.假设a/l，那么b/l，且a，b与I的距离相等.法2

14、:求出a上两个点A，B关于1的对称点，在由两点式求出直线的方程.3其他对称：点a,b关于x轴对称：a,-b;关于y轴对称：-a,b;关于原点对称：-a,-b;点a,b关于直线y=x对称：b,a;关于 y=-x 对称：-b,-a;关于 y =x+m 对称：b-m、a+m；关于 y=-x+m 对称：-b+m、-a+m.Xi X2 X3% y2 y311. 假设 Axi,yi, BX2,y2, 5X3, y3，那么 ABC的重心 G 的坐标是3312. 各种角的范围：直线的倾斜角0180两条相交直线的夹角090两条异面线所成的角090三椭圆局部1. 椭圆定义： 到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线

15、：即I MO1 I + I MO2 I =2a 或定义：任意一条线段，在线段中任取两点不包括两端点，将线段两端点置于这两点处, 用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆。2a。 从椭圆定义出发得到一个根本结论：椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数2. 椭圆性质：由于椭圆上任意一点到两点距离之和为常数，所以从I AO1 1 + 1 A02 I = I A02 1 + 1 O2B I =2a这是因为I A01 I = I 02B I 由图形比拟看出椭圆的标准方程:x2 y 122 Ia b椭圆参数方程:C_.7010 02丿EA点向焦点引两条焦半径从圆方程知：x2 y2圆方程参数

16、方程源于:2sin所以按上面逻辑将椭圆方程2x2a2 1cos 12E 1视为bx设 R sinyr cos得:Rsi nRcos同理椭圆参数方程为:xaybsincos得：x asin y bcos由于两个焦半径和为2a2 2 2所以 OCIO2C2a 得: °QO2Ca 得: ab cO1CO2C°cbca bloci c椭圆离心率，来源于圆的定义：圆实际上是一种特殊的椭圆，而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了椭圆离心率为e四.双曲线局部1.双曲线定义：到两定点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形，即:IIMO2 Imo| 2a双曲线的标准方程：2 2x y 12 2

17、a b 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的绝对值为常数2a.g |AQ| AB AQAQ! | AB 双曲线的渐近线:2aBQ2 AQ! I ABI由标准方程知：y2b 2 2 x ay b x a"a又 ya2ay bx为渐近线，a另一条为以上为渐近线的推导过程。假设标准方程为2b2工込1，那么这时aI b2by bxaby注意y下面对应 b，x下面对应a. 取x=a及x=-a两条直线，它们与渐近线的两个焦点的连线和y轴的交点称为虚焦点,该轴称为虚轴。 推导a、b、c之间的关系:设双曲线上任意一点坐标 Mx，y、几222设：cab2从而得到：cMO2MOiMO212 (x c) y

18、12(x c) yMOi (x22c)2 2 2y (x c) y 2a经化简得：厶a c双曲线标准方程为:2a2x_a2b2五.抛物线局部i.定义：到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线。为了推导抛物线标准式，设：定直线为 x=-p，定点为01P, 0，尽管这是一种特殊情况，但同样具有一般性设：抛物线上任意一点坐标为Mx，yM点到定点Oip, 0的距离为J(x2p) y: 2 2x p '(x p) y22222px2x p 2px x py2y 4pxM点到定直线x=-p的距离为x p 很显然与以前学习的二次函数是一致的,只不过这里自变量变成y，函数变成x；而二次baca函数自变量是x,函数是y,因而二次函数也是抛物线，同样具有抛物线的性质。2如下：y a x bx