2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题6第26练完美破解立体几何证明题理

1、1第 26 练完美破解立体几何证明题题型分析高考展望立体几何证明题，是高考必考题，证明平行、垂直关系是主要题型,特别是垂直关系尤为重要.掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本.学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键，在二轮复习中，通过专题训练，使解立体几何证明的能力更上一层楼，确保该类题型不失分常考题型精析题型一空间中的平行问题例 1 如图，在正方体ABCD- ABGD中，S是BD的中点，E、F、G分别是BC DC SC的中点，求证：(1)直线EG/平面BDDB;平面EFG/平面BDDB.点评证明平行关系的方法2(1) 证明线线平行的常用方法：1利用平行公理，即证明两直线同时

2、和第三条直线平行；2利用平行四边形进行转换；3利用三角形中位线定理证明；4利用线面平行、面面平行的性质定理证明(2) 证明线面平行的常用方法：1利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；2利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行(3) 证明面面平行的方法：证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行变式训练 1 (2015 广东)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABC所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明：BC/平面PDA证明：BCL PD求点

3、C到平面PDA的距离3题型二空间中的垂直问题例 2 如图所示，已知A吐平面ACD DEL平面ACDAC为等边三角形，AD= DE=2AB F为CD的中点求证：AF/平面BCE平面BCEL平面CDE点评(1)证明线面垂直的常用方法：1利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；2利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；3利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)证明面面垂直的方法：证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的

4、直线，则借助中点、高线或添加辅助线来解决 4变式训练 2 (2014 广东)如图(1)，四边形ABCD矩形，PDL平面ABCD AB=1,BC= PC5=2，作如图 折叠，折痕EF/ DC其中点E, F分别在线段PD PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M并且MFL CF(1)证明：CF丄平面MDF求三棱锥M- CDE的体积题型三 空间中的平行、垂直综合问题例 3(2015 山东)如图，三棱台DEF-ABC中,AB=2DE G, H分别为6(1)求证：BD/平面FGH7若CF丄BC, ABL BC求证：平面BCDL平面EGH点评(1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再

5、用线垂直于面的性质易得线垂直于线要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得(2) 证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用(3) 平行关系往往用到三角形的中位线，垂直关系往往用到三角形高线、中线8变式训练 3 在如图所示的几何体中， 四边形ABCD是正方形，MAL平面ABCDPD/ MA E、GF分别为MB PB PC的中点，且AD= PD=2MA(1)求证：平面EFG/平面PMA求证：平面EFGL平面PDC求三棱锥P- MAB四棱锥P-ABC的体积之比高考题型精练94. （2015 烟台模拟）已知a、3是两个不同的平

6、面，给出下列四个条件：存在一条直线a,a丄a,a丄3;存在一个平面 丫，丫丄a, 丫丄3;存在两条平行直线a、b,a?a,b?3,a/3,b/a；存在两条异面直线a、b,a?a,b?3,a/3,b/a，可以推 出a/3的是（ ）A.B.C.D.5. （2014 浙江）设m n是两条不同的直线，a、3是两个不同的平面，则（）A. 若mLn,na,贝y mL aB. 若ni/3,3丄a，贝Uml aC. 若mL3 ,n丄3 ,n丄a ,贝Umla1.（2015 广东）若直线li和l2是异面直线,li在平面a内，I2在平面B内，I是平面a与平面3的交线，则下列命题正确的是（）A.I与I1,I2都不相

7、交B.I与I1，I2都相交C.I至多与I1，I2中的一条相交D.I至少与I1，I2中的一条相交2.（201 5 玉溪质检）已知直线I丄平面a，直线m/平面3,则“a/3”是“I丄m的（ ）A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既非充分也非必要条件3.如图，在正方形ABC中,E、F分别是BC CD的中点，A8 EF=G现在沿AE EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使PAEF中 必有（ ）B、C、D三点重合，重合后的点记为P,则在四面体A.APLAPEF所在平面C.EPLAAEF所在平面B.AGLAPEF所在平面D.PGLAAEF所 在平面10D. 若mLn,n丄3,3丄a，贝U

8、mla11a,3,Y表示不同的平面，给出下列四个命题:9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中,PAL底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上的一动点,时，平面MB丄平面PCD只要填写一个你认为是正确的条件即可10.(2014 山东)如图，四棱锥P- ABCDK AP丄平面PCD AD/ BC, AB= BC=*AD别为线段AD PC的中点6.设I,m n表示不同的直线,若，且mL a,若则I/若a=n,贝U l/m/n；若a=n,且n/3,贝U l/m其中正确的个数是A.1B.2C.3D.47.如图，已知六棱锥P-ABCDE的底面是正六边形，PAL平面ABC PA=2AB,则下列结论中:PE丄A

9、E；平面AB（丄平面PBC直线BC/平面PAE/PDA=45.其中正确的有（把所有正确的序号都填上）.8.如图，三棱柱ABC-ABC中，侧面BBCC为菱形,BC的中点为O且AC丄平面BBCC则BiC与AB的位置关系为当点M满足E,F分12(1)求证：AP/平面BEF求证：BE!平面PACpD1311.如图，在四棱锥P ABCDK AB/ CD ABLAD CD=2AB平面PAD_底面ABCDPA! ADE和F分别是CD PC的中点求证：c(1)PAL底面ABCDBE/平面PAD(3)平面BEFL平面PCD12.(2014 四川)在如图所示的多面体中，四边形ABBA1和ACGA1都为矩形(1)

10、若ACL BC证明：直线BCL平面ACCA;(2) 设D, E分别是线段BCCC的中点，在线段AB上是否存在一点M使直线DE/平面AMC请证明你的结论14合案精析第 26 练完美破解立体几何证明题常考题型精析例 1 证明如图，连接SB,/ E、G分别是BC SC的中点， EG SB又SB?平面BDEBi,EG平面BDEBi,直线EG/平面BDDB.连接SD F、G分别是DC SC的中点，FG/ SD又 St?平面BDGBi,FG平面BDDB,FG/平面BDDBi，由知，EG/平面BDDBi,且EG?平面EFGFG平面EFG EGAFG= G,平面EFG/平面BDDB.变式训练 1 证明 因为四

11、边形ABCD1长方形，所以BC/ AD因为BC?平面PDA AD?平 面PDA所以BC/平面PDA证明 因为四边形ABCD1长方形，所以BCL CD因为平面PDCL平面ABCD平面PDA平面ABC母CD BC?平面ABCD所以BCL平面PDC因为PD?平面PDC所以BCL PD解 如图，取CD的中点E,连接AC和PE因为PD= PC,所以PE! CD在 RtPED中 ,PE= , PD-DE= 41 2- 32= 7.因为平面PDCL平面ABCD平面PDA平面ABCCD PE?平面PDC所以PEL平面ABCD由(2)知：BCL平面PDC由知：BC/ AD所以ADL平面PDC因为PD?平面PDC

12、所以ADL PD设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥 CPDA=V三棱锥 PACD1X3X42AB151XSAACD PE2例 2 证明(1)如图，取CE的中点G,连接FG BGPDAh=_SAACD3PE所以点C到平面PDA的距离是3.J23X6X7SAPDA161/ F为CD的中点，GF/ DE且GF=2DE ABL平面ACDDE!平面ACDAB/ DE - GF/ AB1又AB=2DEGF= AB四边形GFA囲平行四边形，AF/ BG/ AF?平面BCE BG?平面BCEAF/平面BCEACD为等边三角形，F为CD的中点，AF!CDDEL平面ACD AF?平面ACDDELAF又Cm

13、 DE= D,故AF丄平面CDE/ BG/ AF, BGL平面CDE/ BG平面BCE平面BCEL平面CDE变式训练 2证明 因为PC丄平面ABCD AC?平面ABCD所以PDLAD又因为ABCD1矩形，CDL AD PD与CD交于点D,所以ADL平面PCD又CF?平面PCD所以ADLCF,即MDL CF又MF!CF MDMF= M所以CFL平面MDF解 因为PDLDC BC=2 ,CD=1, /PCD=60 ,所以PD=3 ,由知FDLCF1 1在 RtDCF中 ,CF= CD=21 J3 3过点F作 FGLCD交CD于点G得F* FCsin 60 =丁所以DE= FG-3,故ME= PE=

14、 .3寻=吁，所以MD=7MEDE= 寸芈2 乎2=乎.17”11 寸 6 灯 3 y!2故WGDE=MD SGDE=x .33 2o 16例 3 证明（1）方法一 如图，连接DG设cm GF=M连接MH在三棱台DEFAB中,AB=2DE G为AC的中点，可得DF/ GC DF= GC所以四边形DFC平行四边形则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM BD又HIM平面FGH BD?平面FGH所以BD/平面FGH方法二 在三棱台DEFAB中，由BC=2EF, H为BC的中点，可得BH/ EF, BH= EF,所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE/ HF在厶ABC中,G为AC的中点，H为B

15、C的中点，所以GH/ AB又Gf HF=H, ABA BE= B,所以平面FGH/平面ABED又因为BD?平面ABED所以BD/平面FGH连接HE因为G H分别为AC BC的中点，所以GH/ AB由A吐BC得GHL BC又H为BC的中点，所以EF/ HC EF=HC因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF/ HE又CF丄BC,所以HE! BC又HE GH*平面EGH HE? GH= H,所以BCL平面EGH又BC?平面BCDSMDE=2QE.DG=1X_38.18所以平面BCDL平面EGHfl19变式训练3证明/E、G F分别为MB PB PC的中点， EG/ PM GF/ BC又四边形ABC

16、D是正方形，BC ADGF/ AD/EG GF在平面PMA外PM AD在平面PMA内EG/平面PMA GF/平面PMA又EG GF都在平面EFG内且相交，平面EFG/平面PMA证明 由已知MAL平面ABCD PD/ MAPDL平面ABCD又BC?平面ABCD：PDL BC四边形ABCD为正方形，BCLDC又PDA DC= D,.BCL平面PDC由(1)知GF/ BCGFL平面PDC又GF?平面EFG二平面EFGL平面PDC解 /PDL平面ABCD四边形ABCD正方形，不妨设MA=1,贝U PD= AD=2.DAL平面MAB且PD/ MADA即为点P到平面MAB勺距离，即三棱锥P- MAE与四棱

17、锥P- ABC的体积之比为 1 : 4.高考题型精练1. D 若I与11,12都不相交则I/I1,I/丨2,.|1/|2，这与l1和12异面矛盾，丨至少与11,12中的一条相交.2. A 直线1丄平面a,a/3,直线1丄平面3，又直线m/平面B,1丄m;但直线I丄平面a,直线m/平面3,且I丄m时，a与3可以相交，故“a/3”是“I丄m的充分不必要条件，选A.3. A 在折叠过程中，ABL BE ADL DF保持不变.API PEAPPF?AP丄面PEFPEAPF=P,API PFVP- MAB：VP-ABCD=SMAB -S正方形 ABCB=204.C 对于，平面a与3还可以相交;21对于，

18、当a/b时，不一定能推出a/B,所以是错误的，易知正确，故选C.5. C A 中，由mln, n/a,可得m?a或m/a或m与a相交，错误；B 中，由m/3,B丄a，可得n?a或m/a或m与a相交，错误；C 中，由n丄3,n丄3,可得m/ n,又n丄a,贝U mLa,正确；D 中，由mln,n丄3, 3丄a，可得m与a相交或m?a或m/a，错误.6. B 对于，两条平行线中有一条与一平面垂直，则另一条也与这个平面垂直，故正确;对于，直线I可能在平面a内，故错误；对于，三条交线除了平行，还可能相交于同 一点，故错误；对于，结合线面平行的判定定理和性质定理可判断其正确.综上正确.7. 解析 由PA

19、!平面ABC AE?平面ABC得PAI AE又由正六边形的性质得AEL AB PAAAB= A,得AE!平面PAB又PB?平面PAB二AEL PB正确；平面PADL平面ABC二平面ABCL平面PBC不成立，错;由正六边形的性质得BC/ AD又AD?平面PAD BC?平面PAD二BC/平面PAD直线BC/平面PAE也不成立，错；在 RtPAD中 ,PA= AD=2ABPDA=45 ,正确.8. 异面垂直解析 /AQL平面BBCC,AQL BC,又平面BBCC为菱形，BCL BQBC丄平面ABQ / AB?平面ABQBC丄AB9.DM丄PC（或BM PC答案不唯一）解析 四边形ABCD是菱形，AC

20、L BD又PAL平面ABCD - PAL BD又A8 PA= A, BDL平面PACBDLPC当DMLPC或BMLPC时，即有PCL平面MBD而PC?平面PCD二平面MBL平面PCD10. 证明 设ACABE= Q连接QF EC如图.由于E为AD的中点，221AB= BC=?ADAD/ BC23所以AE/ BC AE= AB= BC,因此四边形ABCE为菱形，所以0为AC的中点.又F为PC的中点，因此在PAC中，可得AP/ OF又OF?平面BEF AP?平面BEF所以AP/平面BEF由题意知ED/ BC ED= BC所以四边形BCD胡平行四边形，因此BE/ CD又AP丄平面PCD所以API CD因此API BE因为四边形ABCE为菱形，所以BEL AC又APn AC