选修系列极坐标与参数方程课件

1、第三节坐标系与参数方程第三节坐标系与参数方程第三节坐标系与参数方程第三节坐标系与参数方程考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考1极坐标系的概念极坐标系的概念一般地，在平面上取一个定点一般地，在平面上取一个定点O，自点，自点O引一引一条射线条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向度的正方向(通常取逆时针方向为正方向通常取逆时针方向为正方向)，这，这样就建立了一个极坐标系其中，点样就建立了一个极坐标系其中，点O称为称为_，射线，射线Ox称为称为_极点极点极轴极轴设设M是

2、平面上任一点，是平面上任一点，表示表示OM的长度，的长度，表表示以射线示以射线Ox为始边，射线为始边，射线OM为终边所成的为终边所成的角那么，每一个有序实数对角那么，每一个有序实数对(，)确定一个确定一个点的位置其中，点的位置其中，称为点称为点M的的_，称为称为点点M的的_有序数对有序数对(，)称为点称为点M的的_2极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化设设M是平面内任意一点，它的直角坐标是是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是，极坐标是(，)，可以得出它们之间的关，可以得出它们之间的关系：系：x_，y_.又可得到关系又可得到关系式：式：2_，tan _ (x0)极径极径极

3、角极角极坐标极坐标cossinx2y23常见曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程直线的极坐标方程过点过点M(0，0)且倾斜角为且倾斜角为的直线的直线l的极坐标的极坐标方程为方程为_(2)圆的极坐标方程圆的极坐标方程圆心的坐标为圆心的坐标为M(0，0)，半径为，半径为r的圆的极坐的圆的极坐标方程为标方程为_.4几种常见曲线的参数方程几种常见曲线的参数方程sin()0sin(0)220cos(0)20r20(1)直线直线经过点经过点P0(x0，y0)，倾斜角为，倾斜角为的直线的参数方的直线的参数方程是程是 其中其中 t是参数，是参数，|t|表示直表示直线上的动点线上的动点P(

4、x，y)与点与点P0(x0，y0)之间的距离之间的距离t表示有向线段表示有向线段P0P的数量的数量(2)圆圆以以O(a，b)为圆心，为圆心，r为半径的圆的参数方程是为半径的圆的参数方程是 其中其中是参数是参数当圆心在当圆心在(0,0)时，方程为时，方程为yy0tsinybrsinybsinyasin1(2010年高考广东卷改编年高考广东卷改编)在极坐标系在极坐标系(，)(02)中，求曲线中，求曲线2sin 与与cos 1的交点的极坐标的交点的极坐标3(2011年苏北四市调研年苏北四市调研)在极坐标系中，直线在极坐标系中，直线l的极坐标方程为的极坐标方程为 (R)，以极点为原点，以极点为原点，极

5、轴为极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为的参数方程为 (为参数为参数)，求直线，求直线l与曲线与曲线C的交点的交点P的直角坐标的直角坐标考点探究考点探究挑战高考挑战高考极坐极系与直角坐标系的互化极坐极系与直角坐标系的互化1极坐标的四要素：极坐标的四要素：(1)极点；极点；(2)极轴；极轴；(3)长长度单位；度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一角度单位和它的正方向，四者缺一不可不可3若把直角坐标化为极坐标，求极角若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应时，应注意判断点注意判断点P所在的象限所在的象限(即角即角的终边的位置的终边的位置)，以

6、便正确地求出角以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题在极坐标系中，在极坐标系中，P是曲线是曲线12sin上的动上的动点，点，Q是曲线是曲线12cos( )上的动点，试求上的动点，试求PQ的最大值的最大值【思路分析思路分析】【名师点评名师点评】圆的极坐标方程，简单类型有圆的极坐标方程，简单类型有r，2rcos，2rsin.一般形式有一般形式有asin()和和acos()解这类问题，可解这类问题，可以将圆的极坐标方程化为直角坐标方程以将圆的极坐标方程化为直角坐标方程变式训练变式训练1已知已知 O1和和 O2的极

7、坐标方程分的极坐标方程分别为别为2cos和和2asin(a是非零常数是非零常数)(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若两圆的圆心距为若两圆的圆心距为 ，求，求a的值的值解：解：(1)由由2cos，得，得22cos.所以所以 O1的直角坐标方程为的直角坐标方程为x2y22x.即即(x1)2y21.由由2asin，得，得22asin.所以所以 O2的直角坐标方程为的直角坐标方程为x2y22ay，即即x2(ya)2a2.(2) O1与与 O2的圆心距为的圆心距为 ，解得解得a2.参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化1化参数方程为普通方程化参

8、数方程为普通方程消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消去法；通方程，消去参数的常用方法有：代入消去法；加减消去法；乘除消去法；三角恒等式消加减消去法；乘除消去法；三角恒等式消去法去法2化普通方程为参数方程化普通方程为参数方程只要适当选取参数只要适当选取参数t，确定，确定x(t)，再代入普通方，再代入普通方程，求得程，求得y(t)，即可化为参数方程，即可化为参数方程【思路分析思路分析】直线化为普通方程，点直线化为普通方程，点P(2cos，sin)到直线的距离求最值到直线的距离求最值【名师点评名师点评】法一借助了三角

9、函数的知识，法一借助了三角函数的知识，较为方便，这也是参数方程的一个优点，其较为方便，这也是参数方程的一个优点，其实质是减少了变量的个数，最终归结到某一实质是减少了变量的个数，最终归结到某一个变量来研究个变量来研究变式训练变式训练2已知曲线已知曲线C的方程为的方程为y23x22x3，设设ytx，t为参数，求曲线为参数，求曲线C的参数方程的参数方程极坐标、参数方程的综合应用极坐标、参数方程的综合应用利用极坐标、参数方程与普通方程间的转化，把利用极坐标、参数方程与普通方程间的转化，把点、线和曲线等问题转化为熟知内容，进而解决点、线和曲线等问题转化为熟知内容，进而解决有关问题有关问题【思路分析思路分

10、析】写出直线和圆的普通方程，写出直线和圆的普通方程，再判断位置关系再判断位置关系【名师点评名师点评】普通方程是我们所熟悉的知普通方程是我们所熟悉的知识，而且多数知识是利用普通方程来描述数识，而且多数知识是利用普通方程来描述数量关系的，因而首先转化为普通方程再解题量关系的，因而首先转化为普通方程再解题是常见的解题思路是常见的解题思路方法技巧方法技巧1极点的极径为极点的极径为0，极角为任意角，即极点的坐，极角为任意角，即极点的坐标不是惟一的极径标不是惟一的极径的值也允许取负值，极角的值也允许取负值，极角允许取任意角，当允许取任意角，当0时，点时，点M(，)位于极角位于极角的终边的反向延长线上，且的

11、终边的反向延长线上，且OM|，在这样，在这样的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给定极坐标后，可以确定平面上惟一的点，但给出定极坐标后，可以确定平面上惟一的点，但给出平面上的点，其极坐标却不是惟一的这有两种平面上的点，其极坐标却不是惟一的这有两种情况：如果所给的点是极点，其极径确定，但情况：如果所给的点是极点，其极径确定，但极角可以是任意角；极角可以是任意角；如果所给点如果所给点M的一个极坐标为的一个极坐标为(，)(0)，则则(，2k)，(，(2k1)(kZ)也都也都是点是点M的极坐标这两种情况都使点的极坐标的极坐标这两种情况都使点的极坐标不惟一，

12、因此在解题的过程中要引起注意不惟一，因此在解题的过程中要引起注意2在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，在这个轴的正半轴重合，且长度单位相同，在这个前提下才能用转化公式同时，在曲线的极坐前提下才能用转化公式同时，在曲线的极坐标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两边平方，两边同乘以边平方，两边同乘以，去分母等变形，应特别，去分母等变形，应特别注意变形的等价性注意变形的等价性3对于极坐标方程，需要明确：

13、曲线上点对于极坐标方程，需要明确：曲线上点的极坐标不一定满足方程如点的极坐标不一定满足方程如点P(1,1)在方程在方程表示的曲线上，但点表示的曲线上，但点P的其他形式的坐标都的其他形式的坐标都不满足方程；曲线的极坐标方程不惟一，如不满足方程；曲线的极坐标方程不惟一，如1和和1都表示以极点为圆心，半径为都表示以极点为圆心，半径为1的圆的圆4同一个参数方程，以不同量作为参数，一同一个参数方程，以不同量作为参数，一般表示不同的曲线般表示不同的曲线5任何一个参数方程化为普通方程，从理论任何一个参数方程化为普通方程，从理论上分析都存在扩大取值范围的可能性从曲上分析都存在扩大取值范围的可能性从曲线和方程的

14、概念出发，应通过限制普通方程线和方程的概念出发，应通过限制普通方程中变量的取值范围，使化简前后的方程表示中变量的取值范围，使化简前后的方程表示的是同一条曲线，原则上要利用的是同一条曲线，原则上要利用xf(t)，yg(t)，借助函数中求值域的方法，以，借助函数中求值域的方法，以t为自变量为自变量，求出，求出x和和y的值域，作为普通方程中的值域，作为普通方程中x和和y的的取值范围取值范围考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考从近几年江苏高考来看，本部分内容重点考查直从近几年江苏高考来看，本部分内容重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆与

15、椭圆的参数方程，参数方程与普通方直线，圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查程的互化，题目不难，考查“转化转化”为目的为目的预测预测2012江苏高考中，极坐标、参数方程与直角江苏高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易 (本题满分本题满分10分分)(2010年高考江苏卷年高考江苏卷)在极坐在极坐标系中，已知圆标系中，已知圆2cos与直线与直线3cos4sina0相切，求实数相切，求实数a的值的值【名师点评名师点评】(1)简单曲线的极坐标方程可结简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中合极坐标系中和和的具体含义求

16、出，也可利用的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出同直极坐标方程与直角坐标方程的互化得出同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同在没有充分理解极坐标的坐标方程也会不同在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题前提下，可先化成直角坐标解决问题(2)在普在普通方程中，有些通方程中，有些F(x，y)0不易得到，这时可不易得到，这时可借助于一个间变量借助于一个间变量(即参数即参数)来找到变量来找到变量x，y之之间的关系间的关系同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆

17、锥曲线如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量，将曲线的参数方程化为普会大大简化计算量，将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的其中的x，y(它们都是参数的函数它们都是参数的函数)的取值范围的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性，参数方程化普通方程程与参数方程的等价性，参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消去、平常用的消参技巧有：代入消元、加减消去、平方后相加减消去等同极坐标方程一样，在没方后相加减消去等同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方程再去解决相关问题坐标方程再去解决相关问题1从极点从极点O作直线与另一直线作直线与另一直