二次函数与几何图形动点问题--答案资料

1、1二次函数与几何图形模式 1:平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p 使得A、B、C、P四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB是对角线时，那么有AP/BC（2）当边AC是对角线时，那么有AB/CP（3）当边BC是对角线时，那么有AC / BP1、本题满分 14 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0, -4），C（2，0）三点.（1）求抛物线的解析式；若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为 m, AMB 的面积为 S.求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S的最大值；（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=

2、 x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q B 0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标222、如图 1，抛物线y - -X 2x 3与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C,顶点为D.(1) 直接写出 A、B、C 三点的坐标和抛物线的对称轴;E,点 P 为线段 BC 上的一个动点，过点P 作 PF/DE 交抛物线于点 F，设点 P 的横坐标为 m.1用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为平行四边形?2设 BCF 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系.(2)连结 BC,与抛物线的对称轴

3、交于点模式 2 :梯形例如：请在抛物线上找一点p 使得A、B、C、P四点构成梯形，则可分成以下几种情况3分类标准：讨论上下底（1）当边AB是底时，那么有AB/PC（2）当边AC是底时，那么有AC / BP（3）当边BC是底时，那么有BC / AP3、已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图1 所示，点 A 的坐标为（4,0），点 C 的坐标为（0, - 2），直线2y x与边 BC 相交于点 D.3（1）求点 D 的坐标；抛物线y = ax2- bx c经过点 A、D、o,求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点M，使 0、D、A、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有

4、符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.4、已知二次函数的图象经过A (2, 0)、C(0, 12)两点，且对称轴为直线x= 4，设顶点为点 P,与 x 轴的另一交点4(1) 求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；(2)如图 1，在直线 y= 2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在, 请说明理由；(O、P 两点除外)，以每秒.2 个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动,(3)如图 2,点 M 是线段 OP 上的一个动点过点 M 作直线MN/X 轴，交 PB 于点 N.将厶 PMN 沿直线 MN 对折，得到 PiMN.在动点 M 的运动

5、过程中，设 PiMN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为S,运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式.模式 3:直角三角形例如：请在抛物线上找一点 p 使得A、B、P三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况5分类标准： 讨论直角的位置或者斜边的位置(1)当.A 为直角时，AC _ AB(2) 当 ZB 为直角时，BC _ BA(3)当.C 为直角时，CA _CB5、如图1，已知抛物线y= X2+ bx+ c 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C(0, - 3)，对称轴是直线 x= 1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 D .(1)求抛物线的

6、函数表达式；(2)求直线 BC 的函数表达式；(3)点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交 CE 于点 F，交抛物线于 P、Q 两点，且点 P 在第三象限.1当线段 PQ =3AB 时，求 tan/ CED 的值；42当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标.466:如图 1,直线y x 4和 x 轴、y 轴的交点分别为 B、C,点 A 的坐标是(-2, 0)3(1)试说明 ABC 是等腰三角形；(2)动点 M 从 A 出发沿 x 轴向点 B 运动，同时动点 N 从点 B 出发沿线段 BC 向点 C 运动，运动的速度均为每秒1 个单位长度当其中一个动点到

7、达终点时，他们都停止运动设M 运动 t 秒时， MON 的面积为 S.1求 S 与 t 的函数关系式；2设点 M 在线段 0B 上运动时，是否存在 S= 4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；3在运动过程中，当 MON 为直角三角形时，求 t 的值.模式 4:等腰三角形例如：请在抛物线上找一点p 使得A、B、P三点构成等腰三角形，则可分成以下几种情况7分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置（1）当.A为顶角时，AC =AB（2）当.B为顶角时，BC二BA（3）当.C为顶角时，CA二CB7:已知：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴

8、的正半轴上，0C 在 x 轴的正半轴上，0A =2, 0C = 3，过原点 0 作/ AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC ,过点 D 作 DE 丄 DC ,交 0A 于点 E.（1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；（2） 将/ EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 0C 交于点 G.如果6DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为一，那么 EF = 2G0 是否成立？若成立，请给予证明；若不成5立，请说明理由；（3） 对于（2）中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线 GQ 与 AB 的交

9、点 P 与点 C、G构成的 PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由.88 已知抛物线 y = ax2+ bx+ c(a0)经过点 B(12, 0)和 C( 0, - 6)，对称轴为 x= 2.(1) 求该抛物线的解析式.(2) 点 D 在线段 AB 上且 AD = AC,若动点 P 从 A 出发沿线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动 点 Q 以某一速度从 C 出发沿线段 CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段 PQ 被直线 CD 垂直平分？若存在，请 求出此时的时间 t(秒)和点 Q 的运动速度；若存在，请说明理由.(3) 在(

10、2)的结论下，直线 x= 1 上是否存在点 M，使 MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由.y |x模式 5:相似三角形9突破口：寻找比例关系以及特殊角9、在梯形 ABCD 中, AD/ BC, BAL AC, / B = 45, AD = 2 , BC = 6，以 BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直 角坐标系，点 A 在 y 轴上。(1)求过AD C 三点的抛物线的解析式。(2)求厶 ADC 的外接圆的圆心 M 的坐标，并求OM 的半径。(3)E 为抛物线对称轴上一点，F 为 y 轴上一点，求当 ED+ EC+ FD+ FC 最小时，EF 的长

11、。(4)设 Q 为射线 CB 上任意一点，点 P 为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q,使得以 P、 QC 为顶点的与 ADC 相似？若存在，直接写出点 P、Q 的坐标，若不存在，则说明理由。y10模拟题汇编之动点折叠问题1.(本题 12 分)已知二次函数y = x2 bx C与x轴交于 A (- 1, 0)、B (1 , 0)两点(1) 求这个二次函数的关系式；(2)若有一半径为r的OP,且圆心 P 在抛物线上运动，当OP 与两坐标轴都相切时，求半径r的值.(3)半径为 1 的OP 在抛物线上，当点 P 的纵坐标在什么范围内取值时，OP 与 y 轴相离、相交？2.如图，在平

12、面直角坐标系中，二次函数y=x2，bx，c的图象与x轴交于A B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0),与 y 轴交于 C( 0, -3 )点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)分别求出图中直线和抛物 线的函数表达式；(2)连结 PO、PC,并把POC 沿 C O 翻折，得到四边形POP C,那么是否存在点P,使四边形POP C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由11解：将 B、C 两点的坐标代 y=kx+b, 0=3k-3, k=1 ,Ay=x-3. 1 分一”3b+c=0b = 2将 B、C 两点的坐标代入得：丿，解得：丿c = 3c = -3

13、!U所以二次函数的表达式为：y=x2_2x_3 .3 分（2）存在点 P,使四边形 POP C 为菱形设 P 点坐标为（x，x2-2X-3），/ /PP 交 CO 于 E若四边形 POP C 是菱形，则有 PC = PO. 5 分、一亠 /3连结 PP 则 PE丄CO 于 E，二 OE=EC = 2二y= _.Ax2- 2x -3= _3. .2 2解得=210,x2=2一10（不合题意，舍去）21如果以 A, P, Q 三点构成的三角形与 AOC 相似，求出点 P 的坐标；2若将 APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为点 M.是否存在点 P,使得点 M 落在 x 轴上.若存在，求出点 若

14、不存在，AP 点的坐标为（2102_3)23. （2012 江西模拟）已知抛物线-X23x 4交 y 轴于点 A,交 x 轴于点 B,C （点 B 在点 C 的右侧）直于 y 轴的直线 I.在位于直线 I 下方的抛物线上任取一点 P,过点 P 作直线 PQ 平行于 y 轴交直线 l 于点（1）写出 A, B, C 三点的坐标；（2）若点 P 位于抛物线的对称轴的右侧：.过点 A 作垂Q.连接 AP.P 的坐标;12请说明理由.4. （ 2012 安庆模拟）在直角梯形 ABCD 中，/ B = 90 AD = 1 , AB= 3, BC = 4, M、N 分别是底边 BC 和腰 CD 上的两个动

15、点，当点 M 在 BC 上运动时，始终保持 AM 丄 MN、NP 丄 BC .（1）证明： CNP 为等腰直角三角形;（2）设 NP =乂，当厶 ABM MPN 时，求 x 的值；（3）设四边形 ABPN 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 x 取何值时，四边形 ABPN 的面积最大，最大面 积是多少.解：（1）过 D 作 DQ 丄 BC 于 Q,则四边形 ABQD 为平行四边形DQ=AB= 3, BQ=AD= 1 QC=DQ DQC 中/ C= / QDC=45 Rt NPC 为等腰 Rt. （4 分）（2）v VABM也VMPNMP=AB= 3, BM=NP/ NPC

16、为等腰 Rt1 PC=NP= x BM=BC MP PC= 1x 1- x= x x=21当VABM也VMPN时，x =. (8 分)2/c、c1112111八(3)S四边形ABPN=；(AB+NP ) BP=：(3+x)(4 x)=- x+; x+ 6=- ( x-匚)+ 6.125(11 分)2 2 2 2 2 21当 x 取 时，四边形 ABPN 面积最大，最大面积为 6.125. （14 分）25. （2012 宝应模拟）在直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（2, 2），点 C 是线段 OA 上的一个动点（不运动至 O, A 两点），过点 C 作 CDLx 轴，垂足为 D,

17、以 CD 为边在右侧作正方形 CDEF.连接 AF 并延长交 x 轴的正半轴 于点 B,连接OF,设 OD= t.13 求 tan / FOB 的值；用含 t 的代数式表示 OAB 的面积 S;是否存在点 C,使以 B, E, F 为顶点的三角形与 OFE 相似，若存在，请求出所有满足要求的B 点的坐标；若不存2814在，请说明理由./ A(2,2) AH=OH=2 AOB=45(2)TCF/ OB要使 BEF 与厶 OFE 相似，/FEO=/ FEB=90OE EF即：BE =2t或EB(1)作 AFUx 轴于当BE =2t时,BO = 4t,2t=4t- t =0(舍去)或t2 -1=-

18、B(6,0)1当EB t时,25(1)当 B 在E的右侧时OBMEBSt,空5tt=0(舍去)或t =-B(3,0)2 -t 2510 分3(ii )当 B 在 E 的左侧时，如图，OB=OE-EB t,22t32-21-tt =0(舍去)或2 -t 23- B(1,0)12 分6. (2012 广东预测)(本小题满分12 分)如图，抛物线的顶点坐标是9，且经过点A(8,14).(1)求该抛物线的解析式;CD=OD=DE=EF=二tan ZFOB2tAP CFAH OB即2_t t2 OBSOABJOB AH22t2_t(宀2)EB EFEF EB15(2)设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相

19、交于C、D两点(点C在点D的左边)，试求点B、C、D的坐标；设点P是x轴上的任意一点，分别连结AC、BC试判断：PA PB与AC BC的大小关系，并说明理由抛物线经过A(8,14) ,14=a8 ：9，解得：a-丄I2丿82y叮-9(或y=丄+2). 1 分2 i 2丿822(2)( 4 分)令x = 0得y = 2, B(0,2).1 分125令y=0得x x2=0，解得為=1、x2= 4.2 分22C(1,0)、D(4,0) .1 分(3)( 4 分)结论：PA PB _AC BC理由是：当点P与点C重合时，有PA P AC BC当点P异于点C时，直线AC经过点A(8,14)、C(1,0)

20、，直线AC的解析式为y=2x-2设直线AC与y轴相交于点E,令x=0，得y-2,E(0,-2),则点E(0,-2)与B(0,2)关于x轴对称BC = EC，连结PE,贝 UPE二PB,AC BC二AC EC二AE,在APE中，有PA PE AEPA PB =PA PE AE = AC BC.1 分综上所得AP BP一AC BC.1 分 7.如图，已知二次函数y= x2+ bx+ c 的图象经过 A(- 2, 1), B(0,7)两点.解：(1)( 4 分)设抛物线的解析式为二a1 分16(1) 求该抛物线的解析式及对称轴;(2) 当 x 为何值时，y 0?在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线

21、I，与抛物线交于 C、D 两点(点 C 在对称轴的左侧)，过点 C、D 作 x 轴的垂线，垂足分别为 F、E.当矩形 CDEF 为正方形时，求 C 点的坐标.解：解：把 A(-2, - 1), B(0,7)两点的坐标代入y= x2+ bx+ c,得4 2b + c= 1|b=2，解得c= 7|c= 7所以，该抛物线的解析式为y= x2+ 2x+乙又因为 y= x2+ 2x+ 7= (x 1)2+ 8,所以对称轴为直线 x= 1.(2)当函数值 y= 0 时，x2+ 2x+ 7= 0 的解为 x = 1 戈 2,结合图象，容易知道 1 22x0.当矩形 CDEF 为正方形时，设 C 点的坐标为(

22、m, n), 则 n = m?+ 2m + 7,即 CF = m?+ 2m+ 7.因为 C、D 两点的纵坐标相等，所以 C、D 两点关于对称轴 x= 1 对称，设点 D 的横坐标为 p,贝 U 1 m= p 1,所以 p= 2 m,所以 CD = (2 m) m = 2 2m.因为 CD = CF，所以 2 2m= m2+ 2m + 7,整理，得 m2 4m 5 = 0，解得 m = 1 或 5.因为点 C 在对称轴的左侧，所以 m 只能取一 1.当 m= 1 时,2 2n= m + 2m+ 7 = ( 1) +2人1) + 7 = 4.17于是，点 C 的坐标为(1,4).8.如图，在 AB

23、C 中，已知 AB = BC = CA = 4cm, AD 丄 BC 于 D，点 P、Q 分别从 B、C 两点同时出发，其中点BC 向终点 C 运动，速度为 1cm/s ;点 Q 沿 CA、AB 向终点 B 运动，速度为 2cm/s,设它们运动的时间为 x(s)。求 x 为何值时，PQ 丄 AC ; 设厶 PQD 的面积为 y(cm2)，当 ovxv2 时，求 y 与 x 的函数关系式； 当 0vxv2 时，求证：AD 平分 PQD 的面积； 探索以 PQ 为直径的圆与 AC 的位置关系，请写出相应位置关系的x 的取值范围(不要求写出过程)。解：当 Q 在 AB 上时，显然 PQ 不垂直于 A

24、C。当 Q 在 AC 上时，由题意得： BP = x, CQ= 2x, PC = 4 x,AB=BC=CA=4,ZC=60,若 PQ 丄 AC,则有/ QPC= 300,. PC= 2CQ44x=2X2x,.x=5，4当 x= (Q 在 AC 上)时，PQ 丄 AC ;5当 0vxv2 时，P 在 BD 上, Q 在 AC 上，过点 Q 作 QH 丄 BC 于 H ,/C=60,QC=2x, QH=QCXsin600=,3x1/ AB = AC , AD 丄 BC , BD = CD = BC = 211Q 3 DP= 2 x , y= 2 PD QH = 2 (2 x) . 3x =2+ .

25、 3x当 0vxv2 时，在 RtAQHC 中，QC = 2x , / C= 600, HC = x, BP = HC/ BD = CD, DP = DH ,/ AD 丄 BC , QH 丄 BC, AD / QH ,18 OP= OQSAPDO= SADQO, AD 平分 PQD 的面积； 显然，不存在 x 的值，使得以 PQ 为直径的圆与 AC 相离 当 x = 或16时，以 PQ 为直径的圆与 AC 相切。554416 16当 0 xv4或4 xv百或-r x 4 时，以 PQ 为直径的圆与 AC 相交。55559.已知抛物线y = -x22(k -1)x k 2与x轴交于 A、B 两点

26、，且点 A 在x轴的负半轴 上，点 B 在x轴的正半轴上.(1) 求实数 k 的取值范围；(2) 设 OA、OB 的长分别为 a、b，且 a : b = 1 : 5,求抛物线的解析式；(3) 在(2)的条件下，以 AB 为直径的OD 与y轴的正半轴交于 P 点，过 P 点作OD 的 切线交x轴于 E 点，求点 E 的坐标。解：(1)设点 A (Xi, 0), B (x2, 0)且满足xi 0 x2由题意可知x1x1二-k2:0，即k -2(2)va:b= 1 : 5,设OA = a，即x1= a，则OB = 5a，即x2= 5a,a 0 x,+x2= -a +5a =4a2(k -1 )=4a

27、 0). P 是直 线 AB 上的一个动点，作 PCLx轴，垂足为 C.记点 P 关于 y 轴的对称点为 P (点 P不在 y 轴上)，连接 PP , P A, P C.设点 P 的横坐标为 a.(1)当 b=3 时,求直线 AB 的解析式;4a c = 0a= 1c 解之得：，a c=-3J c=-4(2)如图 2,连接 BD，交 y 轴于点设 BD 的解析式为y = kx b，则有故 BD 的解析式为y = x -2;令x :故y = X2-4为所求4 分M，则点 M 就是所求作的点2k+b=0；k=1-k b - -3b - -20,则y = 2，故M (0, -2)8 分OM=OA=OD= 2,AMB=90y 2a=a+420