安徽省宿松县2016-2017学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面教

1、2.1.1 平面1.正确理解平面的几何概念，掌握平面的基本性质2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共教学点、共线、共面问题.目标3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.教学重、三种数学语言的转换与翻译，利用三个公理证明共点、共线、共面问题.X难点C j教学多媒体课件准备 /观察长方体（图 1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、 一 k底面之间的关系吗？rDfchA_1c.1-/|3Zv 图 1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有教学过些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；程

2、每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、f - 1平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题-jr rlr 17提出问题怎样理解平面这一最基本的几何概念；平面的画法与表示方法;如何描述点与直线、平面的位置关系？直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面?如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关糸如何？请画图表2加“平面”二字，如平面a、平面3、平面丫等，且字母通常写在平行描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言?自己总结三个公理的有关内容活动：让学生先思考或讨论，然后再

3、回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下:回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外确定一条直线需要几个点?引导学生观察教室的门由几个点确定两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性文字语言、图形语言、符号语言平面的基本性质小结讨论结果：平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定 义其他概念，

4、不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的 本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌（吴承恩的立体几何一定不错 ）.我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些.平面的基时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，角通常画成 45，且横边长等于其邻边长的2 倍.如果一个平面被另一个如图 2.平行四边形的锐平面遮挡住，为了增强它的立体感， 我们常把它遮挡的部分用虚线画出来,如图 3.图 3（1） 在一个希腊字母(X、3、丫的前面3四边形的一个锐角内（图 4） ; （2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图 5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平下面我

5、们总结点与直线、平面的位置关系如下表:点 A 在直线 a 上（或直线 a 经过点 A）A/Aa元素与集合间 的关 系点 A 在直线 a 外（或直线 a 不经过点 A）%A 更 a点 A 在平面a内（或平面a经过点 A）/ VA a点 A 在平面a外（或平面a不经过点 A）/ /Aa直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内（图 7），直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内例如用直尺紧贴着玻璃黑板,则直尺落在平面内公理 1 :如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的 点都在这个平面内这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、

6、直线、平面 从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系 除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示公理 1 也可以用符号语若 Aa,Ba,且 A a,B a,则 a 二a面 AC（图图 54上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理2:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面（图 8）.产面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这2 刻画了平面特有的性质，它

7、是确定一个平面位置的依据之一请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交若 A a,B a,且a,B a,贝V a:二a.如图（图 7）.在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等公理如图公理我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢?不是，因为平面是无限延展的 .直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如4T面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）A /2问： 两个平面会不会只有一个公共点？不会， 因为平面是无限延展的， 应 当有很多公共点.正因为平面是无限延

8、展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图（图 9）,用符号语言表示为：Pa,且 PB二a A 3=1,且 P l.5图 9公理 3 告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线 由此看出公理 3 不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法描

9、述点、直线、平面的位置关系常用3 种语言：文字语言、图形语言、符号语言.“平面的基本性质”小结:名称作用公理 1判疋直线在平面内的依据公理 2确定一个平面的依据公理 3两平面相交的依据应用示例例 1 如图 10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系 图 10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的 答案）教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价解：在（1）中，aA3=l,an a=A,an 3=B.6在（2）中，a n3=l,a 二a,b 二3,anl=P,bnl=P.7变式训练(1)Aa解:F1;答案:点评:一个平面.1.画图表示下列由集合符号给

10、出的关系:如图 11.C 3图 112.根据下列条件，画出图形(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来例 2 已知直线 a 和直线 b 相交于点 A.求证：过直线 a 和直线 b 有且只有证明：如图 13,点 A 是直线 a 和直线 b 的交点，在 a 上取一点 B, b 上取一 a,Ba,A1,B1;3=a, ABC 的三个顶点满足条件：A a, Ba, B- a,二a,b 二3,aIIc,bAc=P,a A 3=c.3=1，直线 AB 二a, AB/ I , E AB 直线 EFA 3=F,图形语言与符号

11、语言的转换是本节的重点，主要有两种题型:(1)平面a A平面(2)平面a A平面，C- a.8点 c,根据公理 2 经过不在冋一直线上的三点A、B C 有一个平面a ,因为A B在平面a内，根据公理 1,直线 a 在平面a内，冋理直线 b 在平面a内，即平面a是经过直线 a 和直线 b 的平面 又因为 A、B 在 a 上，A、C 在 b 上，所以经过直线 a 和直线 b 的平面一定 经过点AB C.于是根据公理 2,经过不共线的三点AB、C 的平面有且只有一个，所以经过直线 a 和直线 b 的平面有且只有一个变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内证明：如图 14,直线 a、b、c、d 两两相交，交点分别为A、B C、D E、F,/W图 14直线 aQ直线 b=A, 直线 a 和直线 b 确定平面设为a,即卩 a,b ua.TB C a, E、F b, B C、E、Fa.而 B F c, C E d, c、d=a,即 a、b、c、d 在冋一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2 夕卜，确定平面的依据还