2018全国卷1理数试题及答案

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1 ?答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2?回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合3 ?考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。题目一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 要求的。1i1?设z2i，则|z卜C?1D? 八21 +i1A ?0B ?-22.已知集合A =0，贝U宗A =B?:x一1空xZ2D.、x| X

2、 _ -1U、x| X _ 2C.、x| x: :-1fU x | x 2:3 ?某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A.x-1cxc2建设后经济收入构成比例种植咗人第三产业收入其他收入种植收人三产业收入其地收入A ?新农村建设后，种植收入减少B?新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C?新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ?新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4 .设Sn为等差数列an!的前n

3、项和，若3S3 = S2S4,ay=2，则a5口A.-12B .-10C.10D.125.设函数f(x) =X3? (a -1)x2ax，若f(x)为奇函数，贝U曲线y二f(x)在点(0,0)处的切线方程为A .y ?2xC .y=2x在厶 ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，贝V EB =C.3AB1AC4其余部分记为 III .在整个图形中随机取一点，此点取自 I , 11 , III 的概率分别记为 P1, P2, P3,则D.ETC44某圆柱的高为 2，底面周长为 16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱

4、侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A .2 .172设抛物线 C: y =4x 的焦点为 F2的直线与 C 交于 M , N 两点，贝U TM FN= 过点(-,0 )且斜率为一3f(x)=X兰：g(x)= f(x)+x+a.若 g( x)存在 2 个零点，贝ya 的取值范围是Jn x, x 0,已知函数0)B.0,+8)C.- ,+8)D.1,+8)10 .下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角ABC 的斜边 BC,直角边 AB , AC .AABC 的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为 II,BA . P1=P2B . P1=

5、P311.已知双曲线 C: -y2=1 , O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点3分别为 M、N.若厶OMN 为直角三角形，贝 U |MN|=3A .-2B . 3C. 23D. 412.已知正方体的棱长为1 ,每条棱所在直线与平面a所成的角相等，则a截此正方体所得截面面积的最大值为A . 31B.二C. 口D . -J4342、填空题：本题共 4 小题， 每小题 5 分，共 20 分。Jx -2y -2 014.记 Sn为数列aj的前 n 项和，若 Sn=2% +1，则 S6=_15.从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1

6、位女生入选，则不同的选法共有 _种.(用数字填写答案)16._ 已知函数f(x)=2sin x+sin2x，贝U f (x )的最小值是_ .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：60 分。17.(12 分)在平面四边形ABCD中，.ADC =90,. A = 45*,AB= 2,BD=5.(1)求cosAADB；(2)若DC= 2 2，求BC.18.(12 分)13?若 x，y满足约束条件x-y?1_0，则 z=3x?2y 的最大值为y1721 题为必考题，每个试题考生如图，四边形ABCD为

7、正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF _ BF.(1)证明：平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值19.（12 分）x设椭圆C :y =1的右焦点为F,过F的直线I与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).2(1)当丨与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设0为坐标原点，证明：.OMA =/OMB.20.( 12 分)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品？检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品

8、作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0: : :p . 1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点P。.(2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的p。作为p的值.已知每 件产品的检验费用为 2 元，若有 不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25 元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21.(12 分)、，1已知函数f (

9、x)x aln x.x(1)讨论f (x)的单调性；fxf-x(2)若f(x)存在两个极值点x,X2，证明：:a_2.% x2(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4 坐标系与参数方程 (10 分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 专？2TC0SV -3 = 0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C!与C2有且仅有三个公共点，求C!的方程.23. 选修 4 5 不等式选讲 (10 分)已知f(x) =|x 1| -|ax-1|

10、.(1) 当a =1时，求不等式f(x) 1的解集；若(0,1)时不等式f(x) x成立，求a的取值范围2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案:123456789101112CBABDABDCABA13.614.-6315.1616. -3 3217. （12 分）解:（1）在厶ABD中由正弦定理得BDAB? 1?sin / A-si n . ADB由题设知，52，所以sin.ADB -.sin 45si nN ADB5由题设知，NADB v90?，所以cos/ADB = Ji2 =返.V 255（2）由题设及（1）知,cos BDC =sin ? ADB在厶 BCD中，由余弦

11、定理得BC2二BD2DC2-2 BD DC cos BDC=25 8 -2 5 2 .2-25.所以BC =5.18. （ 12 分）解：（1）由已知可得，BF 丄 PF, BF 丄 EF，所以 BF 丄平面 PEF.又BF平面 ABFD，所以平面 PEF 丄平面 ABFD.（2）作 PH 丄 EF，垂足为 比由（1）得，PH 丄平面 ABFD .以 H 为坐标原点，HF的方向为 y 轴正方向，| BF |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.则X1 .2, x?2,直线 MA, MB 的斜率之和为kMA二 .二 卩一.：二二FF 二:. FF 二Fl=? 故 PE 丄 PF.33

12、3、3),D(-1,0), DP =(1-,), HP=(0,0,所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 二319. (12 分)解：(1)由已知得F(1,0), I 的方程为 x=1.由已知可得，点A 的坐标为(1弓或(1肓).或再好所以 AM 的方程为y二当 I 与 x 轴不重合也不垂直时，设I 的方程为y = k(x1)(k = 0),A(x1, yj, B(x2, y?),可得PH#,EH设 DP 与平面 ABFD 所成角为二，贝U si nr-IIf AI HP| |DP|由(1)可得,则H (0,0,0), P(0,0,3)为平面 ABFD 的法向量.(2)当 I 与 x

13、轴重合时,OMA OMB =0当 I 与 x 轴垂直时，OM为 AB 的垂直平分线，所以？OMA=/OMB.由yAi= kxAi-k, y2= kx2-k得2kXiX2-3k(x,X2) 4kkMAkMB(X!-2)(X2-2)从而kMA- kMB=0,故 MA, MB 的倾斜角互补，所以NOMA =? OMB综上，.OMA二.OMB20.(12 分)解：(1) 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p)二C；0p2(1- p)18.因此f (p)=c2o2p(1-p)18-18p2(1-p)17r2C；0P(1-p)17(1-10p).令f (p) =0,得p =0.1.当p (0,

14、0.1)时，f (p)所以f(p)的最大值点为P0=0.1.(2)由(1)知,p =0.1.Y : B(180,0.1)，X =20 2 25丫，即X =40 25Y.所以EX =E(4025Y) =40 25E丫=490.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400 元.由于EX 400，故应该对余下的产品作检验.21. ( 12 分)解：(1)f(x)的定义域为(0,二)，f (x)=-1旦=_-ax4.X Xx(i)若a乞2，则f (x)乞0，当且仅当a = 2，x =1时f (x) =0，所以f (x)在(0：)单调递减.将y = k(x -1)代入一y22=1得

15、2 2 2 2(2k1)x -4 k x 2k -2=0所以，X!X2辔，XX22k2十12k222k21则2kx1X2-3k(x.iX2) 4k =Wrktk38k3J。2k210;当p (0.1,1)时，f (p): :0.(i)令丫表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知(ii)若a 2，令f (x) =0得,a + Ja2-4或2a一yja2-4 a + Ja?_4当x (0,)U(,时，f (x)：0 ；2 2兀兀4)时，f (x) o. .所以f(x )在(of亠亠,(a-肯一：) )单2 2 2 2调递减，在(a Al,a八单调递增.2 2(2)由(1)知，f (x)

16、存在两个极值点当且仅当a 2.由于f (x)的两个极值点 洛公2满足x2-ax T = 0，所以XM =1，不妨设 论：x?，则x?1.由于所以昨昨- -:a _2等价于丄- -X22ln X2：0. .捲一X2X21设函数g(x) x 2In x，由(1)知，g(x)在(0, ?:)单调递减，又g(1) = 0，从而当X (1/:) x时，g(x): :0.所以丄必2lnX2；即丄凶空心-2.X2为-X222. 选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)【解析】(1)由X=cosr,y = s inn得c?的直角坐标方程为(x,1)2?y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0)，半径为2的圆.由题设知，G是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为I1,y轴左边的射线为|2?由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于h与C2只有一个公共点且|2与C2有两个公共点，或I2与C2只有一个公共点且h与C2有两个公共点.I_k+2| c4当I1与C2只有一个公共点时，A到I1所在直线的距离为2，所以=2- 2，故k或k =0.当X?(aa2一4,af (Xi) - f(X2)xA -X2-1 aXXIn论一In X2-2ln X2-2 a1 X2X2Jk2+134经检验，当k=0时，I1与C2没有公共点