必修41三角函数

1、n要点疑点考点 n课 前 热 身 n能力思维方法 n延伸拓展n误 解 分 析第1课时 三角函数的相关概念3.3.任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义 设设是一任意角，角是一任意角，角的终边上任意一点的终边上任意一点P(x，y)，P与原点与原点距离是距离是r，则则sin=y/r，cos=x/r ， tan=y/x，cot=x/y，sec=r/x，csc=r/y. 1.1.角的概念的推广角的概念的推广 所有与所有与角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合S=|+k360，kZ 2.2.弧度制弧度制 任一个已知角任一个已知角的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值|l/r ( l是弧长，是弧长，r是是半

2、径半径)，1/180弧度，弧度，1rad=(180/)57.305718 弧长公式弧长公式l=|r，扇形面积公式扇形面积公式S1/2lr 4.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式倒数关系：倒数关系：sincsc1，cossec1 ， tancot1商数关系：商数关系：tan=sincos，cotcossin 平方关系：平方关系：sin2+cos21，1+tan2=sec2，1+cot2=csc2 返回返回5.三角函数值的符号三角函数值的符号sin与与csc，一、二正，三、四负，一、二正，三、四负，cos与与sec，一、四正，一、四正，二、三负，二、三负，tan与与cot,一、三正，

3、二、一、三正，二、四负四负 1.已知已知0，2)，命题命题P：点点P(sin-cos，tan)在第一在第一象限象限.命题命题q:/2，.则命题则命题P是命题是命题q的的( )(A)充分不必要条件充分不必要条件 (B)必要不充分条件必要不充分条件(C)充要条件充要条件 (D)既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件课课 前前 热热 身身A2.已知角已知角的终边过点的终边过点P(-5，-12)，则则cos= _ ，tan =_. -5/1312/5A3.已知集合已知集合A=第一象限的角第一象限的角，B=锐角锐角，C=小于小于90的角的角，下列四个命题：，下列四个命题：A=B=C； AC; CA；

4、AC=B. 其中正确命题个数为其中正确命题个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 返回返回5.在在(0，2)内，使内，使sincos0，sincos0，同时成同时成立的立的的取值范围是的取值范围是( ) (A)(/2，3/4)(B)(3/4，) (C)(/2，3/4)(7/4，2)(D)(3/4，)(3/，7/4) 4.已知已知2终边在终边在x轴上方，则轴上方，则是是( ) (A)第一象限角第一象限角 (B)第一、二象限角第一、二象限角 (C)第一、三象限角第一、三象限角 (D)第一、四象限角第一、四象限角 CC【解法回顾】【解法回顾】 各个象限的半角范围可以用下图记忆，图各个象

5、限的半角范围可以用下图记忆，图中的中的、分别指第一、二、分别指第一、二、三、四象限角的半角范围；再根据限三、四象限角的半角范围；再根据限制条件，解的范围又进一步缩小制条件，解的范围又进一步缩小. 1.若若是第三象限的角，问是第三象限的角，问/2是哪个象限的角是哪个象限的角?2是哪个是哪个象限的角象限的角? 2已知已知sin=m (|m|1) ，求求tan. 【解题回顾】此类例题的结果可分为以下三种情况【解题回顾】此类例题的结果可分为以下三种情况.(1)已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解已知一个角的某三角函数值，又知角所在象限，有一解.(2)已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象

6、限，有两已知一个角的某三角函数值，且不知角所在象限，有两解解.(3)已知角已知角的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论的三角函数值是用字母表示时，要分象限讨论.分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那分象限讨论的依据是已知三角函数值具有平方关系的那个三角函数值符号，一般有四解个三角函数值符号，一般有四解.【解题回顾】在各象限中，各三角函数的符号特征是去绝【解题回顾】在各象限中，各三角函数的符号特征是去绝对值的依据对值的依据. .另外，本题之所以没有讨论角的终边落在坐另外，本题之所以没有讨论角的终边落在坐标轴上的情况，是因为此时所给式子无意义，否则同样要标轴上的情况，是因为此时所给式子

7、无意义，否则同样要讨论讨论 3化简化简1sectantan13sec22【解题回顾】容易出错的地方是得到【解题回顾】容易出错的地方是得到x23后，不考虑后，不考虑P点所在的象限，分点所在的象限，分x取值的正负两种情况去讨论，一般地，取值的正负两种情况去讨论，一般地，在解此类问题时，可以优先注意角在解此类问题时，可以优先注意角所在的象限，对最终所在的象限，对最终结果作一个合理性的预测结果作一个合理性的预测返回返回4设设为第四象限角，其终边上的一个点是为第四象限角，其终边上的一个点是P(x， )，且且cos ，求求sin和和tan. 5x425.已知一扇形的中心角是已知一扇形的中心角是，所在圆的半

8、径是所在圆的半径是R. 若若60，R10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积形面积. 若扇形的周长是一定值若扇形的周长是一定值C(C0)，当当为多少弧度时，为多少弧度时，该扇形的面积有最大值该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值并求出这一最大值? 【解题回顾】扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧【解题回顾】扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用记，而且好用. .在使用时，先要将问题中涉及到的角度换在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度算为弧度. .

9、 返回返回1.答案不惟一是三角函数习题的显著特点之一，因此在答案不惟一是三角函数习题的显著特点之一，因此在解题时，一定要适时讨论，讨论不全必然招致漏解解题时，一定要适时讨论，讨论不全必然招致漏解. 2.角的范围容易忽视，从而三角函数值也易出错角的范围容易忽视，从而三角函数值也易出错. 返回返回xyoa的终边a的终边P(x，y)a的终边P(x，y)a的终边P(x，y)P(x，y)X0y0X0y0X0y0X0r0 xyororororya =sin=rya =sin=rya =sin=rya =sin=正弦值正弦值 对于第一、二象限的角是对于第一、二象限的角是正正的，对的，对于第三、四象限的角是于

10、第三、四象限的角是负负的。的。ryy0y0yo0000X0XororoX0rorxa=cosrxa =cosrxa =cosrxa =cos=0000X0X0y0y0y0 xya =tanxya =tanxya =tanxya =tan正切值 对于第一、三象限的角是正正的，对于第二、四象限的角是负负的。xy=00 0时，乙 甲 甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。继续例五、（P43 例一）已知 ),2(,135sin=求sin2，cos2，tan2的值。 cos2 = tan2 = 解：),2(,135sin=1312sin1cos2=sin2 = 2sincos = 169120169

11、119sin212=119120返回的值是？、4cos2sin212的值为？则、若tan1tan,2cossin2=_52cos5cos3=、27254、若_sin1sin1=，则练习2cos32412sin2返回1、二倍角公式是和角公式的特例，体现将一般化归为特殊的基本数学思想方法。2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角的三角函数值表示复角（和、差、倍）的三角函数值，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。归纳总结返回三角形中的三角问题三角形中的三角问题知识点：知识点：一、正、余弦定理的应用。二、公式：2cos2sinCBA

12、=2sin2cosCBA=22CctgBAtg=22CtgBActg=在非直角三角形中：tgAtgBtgCtgCtgBtgA=1222222=AtgCtgCtgBtgBtgAtg1、若ABC中1)43cos()4sin(=CAA，则ABC的形状为2、在ABC中，若2coscoscos2=CBA，则A的取值范围为3、=)6()3()3(2)6(2tgtgttgtgtgtg00600 A14、在ABC中，已知2cos2sin2sin2sin2222BCBA=2Atg求证：（1）、6tg、2Ctg成等比数列；（2）54coscos1coscos=CACA注意几个结论：注意几个结论：（1）若）若A、B

13、、C成等差数列，则：成等差数列，则：00120,60=CAB（2）若三边）若三边a、b、c成等差数列，则：成等差数列，则：2cos22cosCACA=3122=CtgAtg（或2Atg、6tg2Ctg、成等比数列）（或2ACtg、2BCtg、2CCtg成等差数列）5、ABC的三个内角A、B、C成等比数列，公比为0.5则_111=cba6、在ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C所对边，若cba45=，求22BtgAtg的值。7、在ABC中，求2sin2sin2sin222CBAT=的最小值。并指出取最小值时ABC的形状，并说明理由。8、 设a、b、c分别为ABC的边BC、CA、AB的长，且2

14、22mcba=，若1000= ctgBctgActgC，求实数m的值。9、在ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C所对边，已知27, 33=ctgAtgBtgBtgA，又ABC的面积为233求a+b的值。分析：由33=tgAtgBtgBtgA得：)1(3tgAtgBtgBtgA=31=tgAtgBtgBtgA3)(=BAtg)60(12000=CBA即由233=S得：23360sin21sin210=abCab6= ab另一方面由余弦定理得：44922=abba联立得：2114121)(2=baba分析：已知复合函数的解析式，求函数的解析式，可用换元法。分析：已知复合函数的解析式，求函数的解

15、析式，可用换元法。因为f(cos2C)=cos(B+C-A)=-cos2A所以只需寻找角A与 角C之间的关系式即可。tgBtgCtgA2=)cos()sin(2)(2cossincossinCACACAtgCCAA=)cos()sin(2coscos)sin(CACACACA=CACAcoscos2)cos(=3=tgCtgACtgCtgtgCtgCAtgAtgCtgCtgfACf22222222991)3(1)3(11)11(2cos)2(cos=ttCtgCtgCtgt=1111222令tttttttttf4554810108119119)(=则xxxf4554)(=故成等差数列成等差数列

16、10、在锐角三角形、在锐角三角形ABC中，已知中，已知 若若f(cos2C)=cos(B+C-A)，求函数，求函数y=f(x)的解析式。的解析式。tgCtgBtgA,已知两个复数集合, )4(cos|2RRmimzzM=,)sin(|RRmimzzN=若MN=，求实数的取值范围。已知复数sincos1,sincos121iziz=（其中)20，且13| ,613argarg2121=zzzz求)(tg的值。已知复数sincos,sincos21iziz=，其中,为某一三角形的两个内角，求复数21zz 的模与辐角主值。1、若ABC中1)43cos()4sin(=CAA，则ABC的形状为分析：由三

17、角函数的有界性可得：1)4sin(=A1)43cos(=CA或1)4sin(=A1)43cos(=CA（舍去？）（舍去？）24=A043=CA4=A2=C即即ABC为等腰为等腰RT2、在ABC中，若2coscoscos2=CBA，则A的取值范围为分析：2coscoscos2=CBA)cos1 (2coscosACB=2sin222cos2cos22ACBCB=2cos212sinCBA=620212sinAA30 A故分析：因为三个内角成等比数列，且公比为0.5，所以可设三个内角分别为：A、A21、A41744121=AAAACBA则：7,72=CB72sin74sin72sin74sin21

18、)sin1sin1(2111=RBARbacRR17sin1217cos7sin273sin7cos73sin221=0111=cba分析：cba45=CBAsin45sinsin=)sin(45sinsinBABA=2cos2sin2452cos2sin2BABABABA=2cos452cosBABA=)2sin2sin2cos2(cos452sin2sin2cos2cosBABABABA=2sin2sin492cos2cos41BABA=9122=BtgAtg正弦、余弦的诱导公式 能否再把 间的角的三角函数求值，化为我们熟悉的 间的角的三角函数求值问题呢？ 36009000 如果能的话，那

19、么任意角的三角函数求值，都可以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到最终解决，本课就来讨论这一问题设 ，对于任意一个到的角，9000360以下四种情形中有且仅有一种成立=36027036027018018018090180900，当，当，当，当，诱导公式二、三的推导过程 请同学们思考回答点关于轴、轴、原点对称的已知任意角的终边与单位圆相交于点，yxP，Pxy三个点的坐标间的关系点关于轴对称点，关于轴对称yxP，xyxP，1yyxP，2yxP ，3点，关于原点对称点演示课件sin180sin=cos180cos公式二：公式二：轴对称，所以 角的终边与单位圆相交于点，这两个角的终边关于如图，

20、利用单位圆作出任意角与单位圆相交于点，我们再来研究角与的三角函数值之间的关系，yxP，PxyxP ，演示课件 =sinsin=coscos公式三：公式三：例题讲解225sin（3）；（4）（1）；（2）；例1求下列三角函数值：1290cos 1011sin21240cos例2化简：180cos180sin360sin180cos推导诱导公式四、五，与的三角函值之间的关系？180360请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导阅读课本公式四、五推导过程阅读课本公式四、五推导过程=sin180sin=cos180cos公式四：公式四：公式五：公式五：=sin360sin=cos360cos诱导公式小

21、结前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，的三角函数值，等于的同名函数值，概括如下：，Zkk360180360公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀例题讲解（1）；（2）413sin1665cos 例3求下列各三角函数：解题一般步骤任意负角的三角函数用公式三或公式一任意正角的三角函数用公式一0到360的 角 的 三 角函数用公式二或四或五锐 角 三角函数查表求值练习反馈 （3）已知，求的值（2）已知，求的值（1）已知，求的值 21cos=9tan336cos=65cos323cos=23cos本课小结（1）求任意角的三角函数式的一般程序：负（角）变正（角）大

22、（角）变小（角）（一直）变到 之间（能查表） 090（2）变角是有一定技巧的，如 可写成 ，也可以写成 不同表达方法，决定着使用不同的诱导公式 23222（3）凑角方法也体现出很大技巧。如，已知角“ ”，求未知角“ ”，可把 改写成 665656正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数、余弦函数的图象

23、和性质1. sin、cos、tg的几何意义的几何意义. oxy11PMAT正弦线正弦线MP余弦线余弦线OM正切线正切线AT想一想想一想?三角三角问题问题几何几何问题问题4.8 正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质4.7 两倍角的正弦、余弦、正切两倍角的正弦、余弦、正切4.8 正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质能否利用正弦线作出正弦函数的图像？能否利用正弦线作出正弦函数的图像？单击图像动画演示在作函数在作函数 的图像中起关键作用的点有哪些？的图像中起关键作用的点有哪些？2 , 0 ,sin=xxy几何画板课件简图作法简图作法4.8 正弦函数正弦函数.

24、余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质与与x轴的轴的交点交点)0 ,0()0 ,()0 ,2(图象的图象的最高点最高点图象的图象的最低点最低点) 1,(23五点作图法五点作图法(1) 列表列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(2) 描点描点(定出五个关键点定出五个关键点)(3) 连线连线(用光滑的曲线顺次连结五个点用光滑的曲线顺次连结五个点)2oxy-11-13232656734233561126) 1 ,2(y-1-12o46246)cos(cosxxy=)2sin()(2sin=xx由于由于所以余弦函数所以余弦函数Rxxy=,cos与函数与函数Rx

25、xy=),2sin(是同一个函数；是同一个函数；余弦曲线余弦曲线2 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 各单位长度而得到各单位长度而得到4.8 正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质利用变换法作余弦函数的图像利用变换法作余弦函数的图像4.8 正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质-oxy-11-13232656734233561126与与x轴的轴的交点交点)0 ,(2) 0 ,(23图象的图象的最高点最高点)1 ,0() 1 ,2(图象的图象的最低点最低点) 1,( 在作函数在作函数 的图像中起关键作用的点有哪些

26、？的图像中起关键作用的点有哪些？2 , 0 ,cos=xxy4.8 正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质例例1画出下列函数的简图画出下列函数的简图（1）y=sinx+1, x0,2列表列表描点作图描点作图-2223211-xyo-xxsin1sinx101010210102232（2）y=cosx , x0,2解解:（1）2 , 0,sin1=xxy2 , 0,sin=xxy2-22311xyo-（2）xxcosxcos0223210-101-1010-12 , 0,cos=xxy2 , 0 ,cos=xxy练习练习：（：（1）作函数作函数 y=1+3cosx，x0,2的

27、简图的简图()作函数作函数 y=2sinx-1，x0,2的简图的简图4.8 正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质（1）yx我们的目标我们的目标 掌握两角和与差的余弦公式，初步理解二倍角的余弦公式；1. 掌握“变角”和“拆角”的思想方法解决问题两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式1、两点间的距离公式、两点间的距离公式xy0Q1P1N1M2N2M111()P xy，222()P xy，11212PQM Mxx=21212PQN Nyy=221212221212PPPQPQxxyy=2P两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式2、两角和的余弦公式、两角和的余弦公式xy01P

28、2P3P4P11,0P2cos ,sinP3cos,sinP4cos,sinP1 324PPP P=cos)coscossinsin=(cos)coscossinsin=(3、两角差的余弦公式、两角差的余弦公式用代1.、不查表求cos105 与cos15coscoscoscos45sin60 sin4512322222264=（1）105（6045）=60解：解：coscoscoscos45sin60 sin451232222262.4=（2）15（60 -45）=601.、不查表求cos105 与cos15解：解：3).2332、已知cos = ，2，求cos(5解：解：223cos2sin

29、1 cos1cos()coscossinsin333132234 3.10= = = = =3= ，25345534553sincos,22cos).233、已知= ，=-，34求(解：解：5sincos2337cos,sin24cos)coscossinsin57343 52 7.12= = = =2= ，33=-，4(32-43coscos()0,2cos. 1474、已知=，=-，,1751求提示：提示：coscos ().=拆角思想:7cos()cos(),2,43,cos2 .4 445、已知=，=-，且 +55-求提示：提示：cos2cos (.)()=拆角思想:sin,2cos2

30、 .56、已知=，13求解：解：2cos21 2sin.= =119169我们的目标我们的目标 掌握两角和与差的正弦公式1. 结合余弦公式初步涉及“变角”和“拆角”以及“合一变形”的方法两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式1、两角和的余弦公式、两角和的余弦公式sin)sincoscossin=(sin)sincoscossin=(2、两角差的余弦公式、两角差的余弦公式用代1.、不查表求sin105、sin75 与cos15sinsinsincos45cos60 sin4532122222624=（1）105（6045）=60解：解：62sin4=（3）1562sin74=（2）50sin)

31、.2632、已知cos = ， ，求(5解：解：22cos02sin1 cos1sin()sincoscossin6663224 33.10=3= ，5345543 1552222sin() sin()1 cottan.sincos= 3、证明：(1)6sin(2sin3cos)2(=.)6sin(2sin6coscos6sin2sin23cos212右边左边=cos75 sin15sin75 cos154、求值(1)sin3cos1212(2)132sincos2122122sincoscossin12312352sin2sin12312=50,cos()cos().21212xyxx=5、

32、已知，求函数的值域提示：提示：函数化为“一个角”的三角弦公式将原函数利用和角与差角的正余cos()cos()12212cos()sin()12122sincos()cossin()4124122 sin()4122 sin()6yxxxxxxxx=解：x1 ,216sin32,662, 0 xxx=2,226sin2xysin()sin().55xx6、把化为积的形式我们的目标我们的目标 掌握正、余弦的和、差角及二倍角公式1. 掌握角的组合（变角）及正切变形公式1、两角和、差角的余弦公式、两角和、差角的余弦公式cos)coscossinsin=(cos)coscossinsin=(C C 2、

33、两角和、差角的正弦公式、两角和、差角的正弦公式sin)sincoscossin=(sin)sincoscossin=(S S 3、二倍角的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式2222cos2cossin2cos1 1 2sin= = sin22sincos=2C2S两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式1、两角和的正切公式、两角和的正切公式tantantan)1tantan=(2、两角差的正切公式、两角差的正切公式用代tantantan)1tantan=(3、二倍角的正切公式、二倍角的正切公式22tantan21tan=用 代TT 2Ttantan2cot)= 11、已知， 求值 (1)(3解

34、：解：0,2 2 (2)若，求的值11tantan1cot)tan)tantan7=(1)(tantan(2)tan)11tantan= (30,2 222 34=1tan75.1tan752、求值：tan45tan751tan45 tan75tan(4575 )tan1203.= 2tantan0(0,)cot()axbxcbac=3、已知、是方程的两根，求解：解：tantantantanbaca= =由定理：tantantan)1tantan1bbaccaa=(1cot).tan()cab=(21tan(),tan()tan().5444=4、已知，求tan()tan ()()44tan(

35、)tan()41tan()tan()421354.2122154=解：解：cos15 cos105sin15 sin1051、求值：(1)cos15sin15cos15sin15(2)22sin50sin10 (13 tan10 )2sin 80 .2、求值：23sin()2sin()3cos().333xxx、化：学习目标学习目标目标目标1目标目标2目标目标1目标目标2目标目标1目标目标1和角与差角正切公式的应用学习目标学习目标目标目标1目标目标2目标目标1目标目标2目标目标2和角与差角正切变形公式的应用和角与差角正切公式的应用学习目标学习目标朝花夕拾朝花夕拾目标目标1目标目标2目标目标1和

36、角与差角正切公式的应用tantantan1tantan=tantantan1tantan=目标目标2和角与差角正切变形公式的应用 tantantan1tantan= tantantan1tantan=基础应用基础应用例题例题1例题例题3例题例题2例题1例题例题3例题例题2基础应用基础应用例题例题1例题例题1、不查表求值、不查表求值1 tan105（）75tan2）（15tan3）（tan(6045 )=tan(4530 )23=tan(4530 )23=tan60tan451tan60tan45=3113 1=23= 1221tan,tan(),tan(2).25= 例题 、（）已知求例题例题

37、1例题例题3例题2例题例题2基础应用基础应用2=解：tan(2)tan()=tantan()1tantan()=12()25121()25 = 112=442tan,tan(),tan2 .55= 例题 、（2）已知求例题例题1例题例题3例题2例题例题2基础应用基础应用 2=解：tan2tan ()()=tan()tan()01tan() tan()=212tan,tan(),tan().5444=例题 、（3）已知求基础应用基础应用例题例题1例题例题3例题2例题例题244=解：tantan44=tan()tan41tan() tan4=322=例题例题3、计算、计算例题例题1例题3例题例题2

38、例题例题3基础应用基础应用1tan341tan=（ ）已知，化简1tan151tan15（1）1 cot151tan75（2）1tan153tan60 tan15（4）计算tan45tan151tan45tan15=1tan75tan 4575tan1203.1tan75= =（）tan4=，=11 tan1511tan30333 1tan15=tantan1tantantan.1tan1tantan=tan 4515tan603.=（）变形应用变形应用变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题6 tantantan1tantantantantan1tantan

39、=变形应用变形应用变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题6例题例题1 tantantan1tantantantantan1tantan=1 tan17tan433tan17 tan43例题 、tan 17431 tan17 tan433tan17 tan43=变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题6tan601tan17 tan433tan17 tan43=3.=变形应用变形应用 tantantan1tantantantantan1tantan=tan3tan2tantan3 tan2tan .=例题2、求证：tan 32

40、1tan3tan2tantan1tan3tan2tantan3tan2tan.=证明：左边右边原等式成立变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题2例题例题6变形应用变形应用 tantantan1tantantantantan1tantan=tantantantantantan.ABCABC=例题3、在非直角三角形中，求证：ABC=证明：由题意变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题3例题例题6tan1tantantanABABC=左边 tan1tantantanCABC=tan1tantantanCABC= tantantan

41、ABC=右边.原等式成立变形应用变形应用 tantantan1tantantantantan1tantan=tantantantantantan.ABCkABCABC=例题4、已知 ，求证： tan1tantantantan1tantantanABABCkCABC=证明： 左边 tan 21tantantan21,()tan1tantantantan1tantantantantantannCABCknnZCABCCABCABC= =当时，左边右边 tan 21tantantan2 ,()tan1tantantantan1tantantantantantannCABCkn nZCABCCABCA

42、BC= =当时，左边右边讨论：讨论：原等式成立原等式成立变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题4例题例题6变形应用变形应用 tantantan1tantantantantan1tantan=1tan1tan.4=例题5、已知 、 满足，求的值1tan1tan1tantantantan= 解：变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题5例题例题6 1tan1tantantantan= 1tan1tantantantan4= 2=变形应用变形应用 tantantan1tantantantantan1tantan=1tan1tan.

43、4=例题5、已知 、 满足，求的值 1tan1tan1tantantantan1tan1tantantantan1tan1tantantantan42= = = =解：1tan1tan.4k=例题6、若，求的值1tan11tan21tan31tan45 .（思考）求值变形公式变形公式例题例题1例题例题3例题例题2例题例题4例题例题5例题例题6例题例题6变形应用变形应用小结小结 tantantan1tantantantantan1tantan=变形公式变形公式基础应用基础应用变形应用变形应用1、非特殊角的求值、非特殊角的求值2、角的组合、角的组合3、公式逆用、公式逆用1、典型例题、典型例题2、注

44、意事项、注意事项达标测试达标测试2tantan()04xpxqpq=1、已知和是方程的两个根，问 、 满足的关系式？tan45cot.tanAAA=12、已知，求的值13(1)1tan66tan69tan66 tan69、计算：(2)tan16tan1013tan16 tan101tan20tan40tan120tan20 tan404、求值：1 tan11 tan21 tan431 tan445、计算：作业作业10987641、书双号P我们的目标我们的目标 掌握“合一变形”的技巧及其应用1、两角和、差角的余弦公式、两角和、差角的余弦公式cos)coscossinsin=(cos)coscos

45、sinsin=(C C 2、两角和、差角的正弦公式、两角和、差角的正弦公式sin)sincoscossin=(sin)sincoscossin=(S S 3、二倍角的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式2222cos2cossin2cos1 1 2sin= = sin22sincos=2C2S4、两角和、差的正切公式、两角和、差的正切公式tantantan)1tantan=(tantantan)1tantan=(5、二倍角的正切公式、二倍角的正切公式22tantan21tan=用 代T T 2T引例引例31sincos22(1)把下列各式化为一个角的三角函数形式把下列各式化为一个角的三角函数形式

46、sincos(2)sincosxbx(3)asincosxbxa化化 为一个角的三角函数形式为一个角的三角函数形式sincosxbxa222222sincosbabxxabab=a令令2222cossinabbab=a22cossisc sninoabxx=22sinabx=22cosabx=练习练习把下列各式化为一个角的三角函数形式把下列各式化为一个角的三角函数形式sincos(1) 231sincos22(2)sincos44xx26(3)44cos15sin15cos15sin1522sin50sin10 (13 tan10 )2sin 80 .2、求值：2sin()2sin()3cos

47、().333xxx1、化简：、化简：3、化简：、化简：4sincos.yxx=、(1)求函数的值域3sin23 3cos21yxxxx=(2)函数的最小值是，对应的 值是；最大值是，对应的的 值是？3sin5.2cosxyx=、求函数的值域1、化简：、化简：sin()sincos()cosxyxxyx2sin3cos0.2yxxx=、求函数的值域0.23logsincos.yxx=、求函数的最值55sin1cos2tan2sec1xyxy=、求下列函数的值域：(1)(2)4sincos.y=、若 是一个三角形的最小内角，则函数的值域为引例引例一组三角函数式的应用一组三角函数式的应用2sinco

48、s12sincos= 2sincos1 2sincos= 1sinsinsin,coscoscos,.=、已知角 、 、 足求的值2sincossincosyxxxx=、求函数的值域.sin cos11 sincosxxyxx=、求函数的最大值.2,sincosaRyxaxa=、若求函数的最小值.1、化简：、化简：sin()sincos()cosxyxxyx2sin3cos0.2yxxx=、求函数的值域0.23logsincos.yxx=、求函数的最值55sin1cos2tan2sec1xyxy=、求下列函数的值域：(1)(2)4sincos.y=、若 是一个三角形的最小内角，则函数的值域为s

49、incos1 sincosxxyxx=6、求函数的最大值.,sincosaRyxaxa=7、若求函数的最小值.我们的目标我们的目标1、掌握二倍角的正、余弦，正切公式2、会用二倍角公式求值，化简及简单的证明1、二倍角的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式22cos2cossin=sin22sincos=2C2S22cos1=21 2sin= 2、二倍角的正切公式、二倍角的正切公式22tantan21tan=2T144P练习sin,sin2 ,cos2 ,tan2 .2=51、已知，求134344、练习Psin,2=5解：，13cos= 1213120sin22sincos169= 2119cos2

50、12sin169= =sin2120tan2.cos2119= (1)sin50 (13tan10 )2、化简：、化简：cos103sin10sin50cos10=2sin40sin50cos10=2sin40cos40cos10=sin80cos10=1=2(2)(sincos)244P练习21 sin4cos41 sin4cos4.2tan1 tan=3、求证：、求证：证明：证明：22tan1 sin4cos41 sin4cos4.1tan=原式等价于（）tan21 sin4cos4.=（）（1(1)tan21 sin4cos4=右边（）2sin2(2cos 22sin2 cos2.cos

51、2=）22sin2 cos22sin 2=sin41 cos4= =左边.原等式成立544P练习1、余弦二倍角公式的变形公式：、余弦二倍角公式的变形公式：21 cos22cos=21 cos22sin=2、证明题的证明方向：、证明题的证明方向：右）左（1左）右（2中间）两边（3单号、习题3217 . 447P我们的目标我们的目标 灵活应用二倍角的正、余弦公式1、二倍角的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式22cos2cossin=sin22sincos=22cos1=21 2sin= 2、二倍角的正、余弦的变形公式、二倍角的正、余弦的变形公式sin2cos2sin=21 cos22cos=21

52、cos22sin=0322cos0322sin1 、45sin21=42=125cos12cos2、12sin12cos=6sin21=41=72cos36cos3、36sin272cos36cos36sin2=36sin272cos72sin=36sin4144sin=41=178cos174cos172cos17cos5、10cos310sin16、81=80cos40cos20cos4、161=10cos10sin10sin310cos=20sin21)1030sin(2=4=7cos3 ,sin2 .2= 41、已知，求523cos,sincos) .222= 32、已知，求(5252

53、4=59=sin,cos22= 433、已知，问 是第几象限角？55三22cossin2sin cos.yxxxx=4、求函数的值域cos2sin22sin(2)4yxxx=2,2y cossin2().4xx=5-15、已知，求2sin2()sin(2)42xx=sin(2 )2x= cos2x= 22sin1x=25=sincos,0,sin2cos2=16、已知求和3221sincossin29=1即138sin29= 即22sincos1=1320cos0sincos324322217cos21 sin 29= = 1,0,tan,tan23.= = 17、已知，7求2tan2tant

54、an(2)11tan2tan= 22tan3tan21tan4= 022232221tan7= 00222724=练习、461P双号习题、37 . 4247P三角函数三角函数复复 习习 课课一、任意角的三角函数1、角的概念的推广正角正角负角负角oxy的终边的终边),(零角零角度 弧度 003064543602120321354315065270231803602902、角度与弧度的互化=3602=1801801185730.57)180(1,=弧度特殊角的角度数与弧度数的对应表特殊角的角度数与弧度数的对应表3、任意角的三角函数定义xyoP(x,y)r的终边yxxryrxyrxry=cot,se

55、c,csctan,cos,sin4、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1seccos1cscsin1cottan=商关系：sincoscotcossintan=平方关系：222222csccot1sectan11cossin=22yxr=定义：三角函数值的符号：三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦一全正，二正弦，三两切，四余弦”5、诱导公式：,:2符号看象限奇变偶不变口诀为的各三角函数值的化简诱导公式是针对k例：=)23sin(cos（即把 看作是锐角）=)2cos(sin=)sin(sin=)cos(cos二、两角和与差的三角函数1、预备知识：两点间距离公式xyo),(111yxp),(222yxp22122121)()(|yyxxpp=),(21yxQ2、两角和与差的三角函数sinsincoscos)cos(=sincoscossin)sin(=tantan1tantan)tan(