求图形面积的几种常用方法

1、第十二讲求图形面积的几种常用方法在组合图形中，求阴影部分的面积的常用方法是：割补法、加减法、旋转法、构造法、等积的变换，抓不变量、等分、一半的应用、代换、比例等。A、割补法：对于一些求不在一起的几块阴影面积的和，往往需要把它们通过剪割、拼补在一起，才便于计算，在剪割、拼补过程中，一定要注意割下来的图形和补上去的图形的形状、大小必须完全一样。【例1】如图，每个小圆的半径是2厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如图，通过剪割、拼补，阴影部分的面积就变成了圆的面积减去正方形的面积，则阴影部分面积为：阴影=S圆一S正方形=兀>424X4+2X4=50.24-32=18.24(方厘米

2、)【例2】右图中三个圆的半径都是4厘米，三个圆两两交于圆心。求阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】如图，三个阴影部分的面积都相等，只需要求出其中一个面积即可，但非常困难。这时我们可以考虑采用割补的方法，同时利用对称性，将其个半圆形，则阴影部分的面积=3。14X4X4+2=25。12(平方厘米)B、加减法：注意观察，所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加，再减去哪个图形变可以得到。我们把这种通过加、减就能求出它的面积的方法，我们的把它称为“加减法”【例3】如图，正方形的边长为4厘米，求阴影部分的面积是多少?【分析与解】如图，显然阴影部分的面积=扇形的面积空白c的面积，而空白c的面积=正方形

3、的面积一扇形的面积,即S阴影=S扇一(S正一S扇)=S扇一S正+$扇=S扇+S扇一S正即S扇+S扇比S正的面积多了b那部分的面积，即b=(b+c)+(b+a)(a+b+c)阴影部分的面积，S阴=兀>42+4*24X4=25.12-16=9.12（平方厘米）。【例4】如图，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，求阴影部分的面积是多少？【分析与解】如图，S阴影=s大扇一Sa=S大扇一（S长一S小扇）=S大扇+S小扇一S长=TtX122-4+TtX82-4-12X8=163.28-96=67.28（平方厘米）C、旋转法：在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼在起，变成另一个比

4、较方便求的图形。【例5】如图，梯形ABCD的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米，E是梯形的中点。求阴影部分的面积是多少？【分析与解】如图，由于E是梯形的中点，若以E为圆心，将三角形BEC绕反时针方向放置，使C点与D点重合，显然可得，阴影部分的面积与三角形ABE的面积相等，所以阴影部分的面积=梯形面积的一半=（3+4）X4+2+2=8（平方厘米）。D、等分法：就是将整个图形，平均分成若干份，再看所求的图形的面积占多少份，从而求得阴影部分的面积。【例6】将三角形ABC的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角形ABC的面积是6平方厘米，求大六边形的面积。【分析与解】要求六边形的面积

5、，似乎很困难，但通过三角形的顶点A、B、C的三条边对六边形进行等分,就很容易得出，六边形的面积是三角形面积的13倍，故所求面积为：6X13=78（平方厘米）【例7】如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是180平方厘米,求甲乙两个小正方形有面积各是多少?1【分析与解】经过等分，可以得到，甲的面积占正方形面积的一半的2,即甲的面积为4180+2+2=45（平万厘米）；乙的面积占正万形面积的一半的-,即乙的面积=180-2-9X94=40（平方厘米）。E、抓不变量：若甲比乙的面积大a,则甲和乙同时加上或减去相同的数，它们的大小不变，而图形发生变化，再通过变化后的图形进行求解，就可以使

6、问题得到简便；若两个面积相等的图形，同时加上或差动相同的面积，则剩下的面积仍然相等。例8如图，已知半圆的AB=20（厘米），阴影比阴影面积大57平方厘米，求直角三角形的高BC的长？N【分析与解】根据条件，可以求得半圆的面积为：3.14X10X10+2=157（平方（、厘米），又“阴影比阴影面积大57平方厘米”，若阴影和阴影都加上空白部分，则半圆的面积比三角形的面积大57平方厘米，因此可求得三角形面积是157-57=100（平方厘米），高BC为：100X2+20=10（厘米）F、“一半”的应用：在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条边为底，在它的对边上任意取一点，所得的三角形的面积等于整个面

7、积的一半。例9一个长方形长边为12厘米，宽AB=8厘米，E是BC上一点，AE长10厘米,AE和DF互相垂直，DF长是多少厘米？【分析与解】如图，如果连接DE,则可得三角形ADE的面积是长方形面积的一半，由“AE和DF互相垂直”，可知DF是三角形ADE的高，贝UDF=12X8+2X2+10=9.6（厘米）【例10如图，在长方形中，四条直线把长方形分成了八部分，已知其中的三部分的面积分别是17、45、34平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】首先可得，两个大三角形的面积都是长方形面积的半，所剩下的部分也是长方形的一半，为了能比较清楚的表示它们之间的关系，不妨用字母a、b、c来表木其

8、余部分的面积。显然有a+b+c=a+17+45+c+34,所以阴影部分的面积b=17+45+34=96（平方厘米）【另解】也可根据覆盖原理，当覆盖部分面积之和等于总面积时，必有重叠面积等于外露面积。b是重叠面积，17、45、34都是外露面积，所以有b=17+45+34=96（平方厘米）G、等积变换：根据图形的特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而使问题解决得到简便。6厘米，求图【例11如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是中阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】根据已知条件，要求阴影部分的面积是比较难的。但是，如果我们连接BD,再仔细观察三角形ACD与三角形A

9、BC,不难得出它们都是以小正方形的对角线AC为底，以梯形ABDC的高为高，所以三角形ACD的面积=三角形ABC的面积=小正方形面积的一半，所以阴影部分的面积=6X6+2=18（平方厘米）【例12】三角形ABC的面积为60平方厘米，AE=ED,BD=|BC,求阴影部分的面积3是多少平方厘米？【分析与解】BC看成3份，DC就是1份，由“AE=ED”可得三角形ABE的面积=三角形BDE的面积。又以BD为底的三角形在图上有三角形BDE和三角形BDF,所以需要连接的线有EC或DF,如果连接EC,则会发现三角形AEF与三角形BED的联系不大；如果连接DF,则有三角形AEF与三角形EFD的面积相等，阴影部分

10、的面积变变成为三角形BFD的面积。这时我们把三角形FDC的面积看作1份，三角形BDF的面积就是2份，三角形ABF的面积=三角形BDF的面积，所以三角形ABF的面积也为2份，三角形ABC的面积就被平分成了1+2+2=5（份），阴影部分的面积为：60X2=24（平方厘米）。H、构造法：就是根据已知数据的特殊性，构造出一个我们比较熟悉的图形来进行解答。这种方法在以后的学习中应用得更加广泛，在这里我们主要讲如何将直角三角形构造成正方形来计算的题型。【例13】一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积？Q6【分析与解】如果我们用四个同样的等腰直角三角形就可以构造成一个正方形，4倍。所求直角三角形个正方

11、形的边长就是这个三角形的斜边长度，面积是这个三角形的的面积是6X6+4=9（平方厘米）【例14】一个直角三角形的斜边长10厘米，两直角边相差6厘米,【分析与解】如果我们用四个同样的直角三角形就可以构造成一个空心正方形，正方形中阴影部分的面积=大正方形的面积一小正方形的面积，小正方形的边长恰好是两条直角边的差，所以直角三角形的面积=6X6）+4=16（平方厘米）I、比例法：如果两个三角形的高相等，则它们面积的比等于它们底的比；如果两个三角形的底相等，则它们面积的比等于它们高的比；如果两个长方形的宽相等，则它们面积的比就等于长的比。【例15如图，在梯形ABCD,两条对角线相交于O,下底是上底的3倍

12、，三角形AOD的面积是12平方厘米，那么梯形的面积为多少平方厘米？【分析与解】在梯形ABCD中，容易得出三角形AOB的面积=三角形DOC的面积=12平方厘米；又AO:OC=OB:OD=AB:DC=1:3,12:a=3:1,a=4,12:b=1:3,b=36,则梯形的面积为：12+12+4+36=64（平方厘米）。【例16如图，长方形被两条直线分成了四个小长方形，已知其中三个长方形的面积46x21分别是：4、6、21平方厘米，那么阴影部分的面积是多少？【分析与解】设阴影部分的面积是x平方厘米，则有4:6=x:21,则阴影部分x的面积=21X4y=14（平方厘米）J、利用r2和r3代换：有解有关圆

13、和圆柱的题目时，如果没有告诉半径以及没有给出求半径的条件，直接给出图形的面积时，往往不需要求半径，只需求出r2和r3即可。【例17如图，阴影部分的面积为20平方厘米，求圆环的面积是多少？【分析与解】圆环的面积=大圆面积一小圆面积=兀R2兀r2=MR2r2);而R2所表示的意义为大正方形的面积，r2所表示的意义为小正方形的面积，(R2r2)恰好表示阴影部分的面积，所以圆环的面积=兀(R2r2)=3.14X20=62.8(平方厘米)【例18】一个正方体的体积50立方厘米，一个圆柱体的底面半径、高与正方体的棱长都相等，求这个圆柱体的体积？【分析与解】设正方体的棱长为a,圆柱体的底面半径为r,高为h,

14、则有a3=50,r=h=a,V=Hr2h=Ha3=3.14X50=157（立方厘米）解法练习题12A、割补法：1、求下列图形中阴影部分的面积。(单位：厘米)4图1-64图8-8B、加减法：2、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）图2-1图2-3图2-884442图2-1044图2-14A8A图C-1312图2-155图2-9B图2-12AB=17BO102=10DAC=2图2-16C、旋转法：3、求下列图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）D、等分法：4、下列每个正六边形的面积都是36平方厘米，求图形中阴影部分的面积。图4-1图4-2图4-35、四个相同的正六边形，每个面积都是6平方厘米，

15、求图形中三角形的面积。6、如图所示，四个等腰直角三角形和一个正方形拼成一个长方形，已知正方形的面积是5平方厘米，求长方形的面积。8、长方形ABCD的长是15厘米，宽是8厘米，E、F是中点，求阴影部分的面积。E、F、G、H分别是中点，求阴影部分的面积。几？10、下面是两个等腰直角三角形组成的图形，求阴影部分的面积占整个图形的几分之E、抓不变量:11、正方形ABCD的边长为5厘米，CEF的面积比ABE的面积大5平方厘米，求CE的长。12、已知长方形ABCD,长是8厘米，宽是6厘米，阴影比阴影面积小10.5平方厘米，求线段CE的长？13、在平行四边形BCDG中，BC长10厘米，直角三角形ABC的直角

16、边AB的长是8厘米，已知阴影部分的面积比AEF的面积大10平方厘米。求BF的长？14、已知半圆的半径是4,阴影部分比阴影部分面积大4.44平方厘米，求BC的长?B15、如图三角形ABC与三角形DEF是两个完全一样的三角形，已知AB=12,BE=5,DG=4,求阴影部分的面积？16、如图，OB把半径为6厘米，圆心角为900的扇形分成两部分，扇形OBC的面积是扇形OAB面积的2倍。ODBE是长方形，那么图中甲的面积比乙的面积大多少？F、“一半”的应用：17、已知长方形的长为8厘米，宽为6厘米，求阴影部分的面积?818、已知平行四边形被分为4个三角形，已知其中3个三角形有面积分别为11、30、43平

17、方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？19、如图所示，已知平行四边形中的3个三角形的面积分别为7、2、9平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？20、如图所示，已知正方形图中的五块面积分别为65、20、50、15、70平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？21、在平行四边形ABCD中，三角形ABP的面积为15,三角形PBC的面积为34,那么阴影部分的面积为多少平方厘米？ADPCBDE=?EADFADPBCBC0.62A0.80BDFCEDGF是长方形，CD=4厘米，DG=5厘米三角形ABP的面积为12,三角形PBC的面积为21,那么阴DHA_GBGC25、正方形外面有A、B两点，

18、图形内所标数据分别为各小三角形的面积，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？EP26、如图，ABCD为平行四边形，三角形DCE的面积是97平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？24、平行四边形ABCD中，被两条直线分成四个平行四边形，已知平行四边形PFBG=26平方厘米，平行四边形DHPE=16平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？23、在长方形ABCD中影部分的面积为多少平方厘米?27、如图，在四边形ABCD中，DCFG为正方形，ADEB为梯形，DE=30厘米，DG=24厘米，AB=39厘米，求梯形ABED的面积？28、如图，长方形被分成四个小三角形，其中一个三角形占长方形面积的21

19、%,另个面积为87平方厘米，求长方形的面积？29、在四边形ABCD中，AB=BC=10厘米，BE=8厘米，求AD的长?30、在正方形ABCD中，AB=8厘米,AF=10厘米，求DE的长?31、BD、CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，绿色四边形的面积是多少平方厘米?AD32、AED和BFC是两个相等的等腰直角三角形，面积都是2003平方厘米，求平行四边形ABCD的面积?33、AE:ED=9:5,BF:FC=7:4。比较红色与蓝色面积的大小。G、等积变换:234、二角形ABC的面积为1,AE=ED,BD=-3BC,求阴影部分的面积。BBC,AE=

20、ED,若三角形ABC的面积是14平方厘米，求阴影部36、三角形ABC的面积是40平方厘米，AE=ED,DC=2DB,则阴影部分的面积是多三角形ABC的面积是12平方厘米，EC=2AE,F是中点，则阴影部分的面积是37、38、由大小两个正方形组成的图形中,小正方形的边长是6厘米，则阴影部分的面积是39、由大小两个正方形的边长分别是10厘米、6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘40、已知长方形的长是15厘米，宽是8厘米，四边形EFGH的面积是12平方厘米,求空白部分的面积？41、已知长方形的长是8厘米，宽是6厘米，四边形EFGH的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积？H、构造法：42、如图，求四边形

21、的面积是多少？（单位：厘米）43、一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积?44、一个正方形的对角线长5厘米，求这个正方形的面积。45、一个直角三角形的斜边长是的面积？10厘米，两直角边的差是3厘米，求这个直角三角形46、一个直角三角形的斜边长是15厘米，两直角边的差是4厘米，求这个直角三角形的面积?47、如图，小正方形的边长是3厘米，大正方形的边长是5厘米，求阴影部分的面积是I、比例法：48、四边形的两条对角线，将四边形分为四个小三角形，别是15平方米、75平方米、65平方米，求阴影部分的面积?已知其中三个三角形的面积分49、一个长方形被两条直线分成四个长方形，其中三个的面积分别是方米、30平方米，求阴影部分的面积？20平方米、25平50、一个长方形被四条直线分成九个长方形，其中五个的面积分别是1、2、3、4、551、如图所示，图形内所标数据分别为各小长方形的面积，那么大长方形的面积是多少?203616301252、如图所示，已知梯形中的两个小三角形的面积为3、9平方厘米，那么梯形的面积是多少？ABCD中，三角形CDE的面积为20平方厘米,AE:ED=2:53、如图所示，已知梯形5,那么梯形的面积是多