D11_7斯托克斯公式

1、目录 上页 下页 返回 结束 *三、环流量与旋度三、环流量与旋度 斯托克斯公式 *环流量与旋度 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 yzxO一一、 斯托克斯公式斯托克斯公式 定理定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, RQP,在包含 在内的一证证:情形情形1. 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为yxDyxyxf

2、z),(, ),(:n为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).yxDC则有简介 目录 上页 下页 返回 结束 则xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyzxOnyxDC定理1 目录 上页 下页 返回 结束 因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ;定理1 目录 上页 下页 返回 结束 情

3、形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕定理1 yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd 目录 上页 下页 返回 结束 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcos

4、coscoszRyQxPddd 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 zxy111Oyxzyxxzzyzyxdddddd例例1. 利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整解解: 记三角形域为 , 取上侧,则个边界, 方向如图所示. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性yxDyxdd323yxD目录 上页 下页 返回 结束 z2xyO例例2. 为柱面与平面 y = z 的交线, 从 z 轴正向看为顺时针, .ddd2zxzyxyxyI解解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,0cos利用斯托克斯公

5、式得SIdSzyd)(210则其法线方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222公式其他形式 计算目录 上页 下页 返回 结束 zRyQxPudddd*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 内在函数GRQP,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有0dddzRyQxP(2) 对G内任一分段光滑曲线 , zRyQxPddd与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有zPxRyRzQxQyP,目录 上页 下页 返回 结束 zRy

6、QxPudddd(2) 对G内任一分段光滑曲线 , zRyQxPddd与路径无关(3) 在G内存在某一函数 u, 使),(),(000ddd),(zyxzyxzRyQxPzyxu证证:) 1 ()4(由斯托克斯公式可知结论成立;)2() 1 (自证) )3()2(设函数 则xu),(),(0ddd1limzyxxzyxxzRyQxPx0limxxzyxuzyxxu),(),(xxxxxPxd1lim0),(lim0zyxxpx),(zyxP定理2 目录 上页 下页 返回 结束 zRyQxPudddd(3) 在G内存在某一函数 u, 使(4) 在G内处处有zPxRyRzQxQyP,同理可证 ),

7、(zyxQyu),(zyxRzu故有zRyQxPudddd)4()3(若(3)成立, 则必有RzuQyuPxu,因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有yxuyP2xQ同理 zPxRyRzQ,证毕定理2 目录 上页 下页 返回 结束 zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路径无关, zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: 令yxRxzQzyP,1xQyP,1yRzQ1RPxz 积分与路径无关,),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyO),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因此例例3. 验证曲

8、线积分定理2 并求函数目录 上页 下页 返回 结束 *三、三、 环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式yxxzzyyPxQxRzPzQyRdd)(dd)(dd)(zRyQxPddd设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 SyPxQxRzPzQyRdcoscoscossRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos目录 上页 下页 返回 结束 yPxQxRzPzQyR,令 , 引进一个向量),(RQPA Arotrot记作向量 rot A 称为向量场 A 的RQPkjizyx称为向量场 A 定义定义: sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线

9、 的环流量环流量.sASnAddrotrot或 sASAndd)(rotrot于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度旋度. A目录 上页 下页 返回 结束 zxyOl设某刚体绕定轴 l 转动,M 为刚体上任一点, 建立坐标系如图,M则),(zyxr 角速度为,r), 0, 0(点 M 的线速度为rvvrotrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2, 0, 0(2(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:目录 上页 下页 返回 结束 向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! sASAndd)(rotrot向量场 A 沿 的环流量斯托克斯

10、公式斯托克斯公式的物理意义的物理意义:例例4. 求电场强度 rrqE3zyxkjiErotrot的旋度 .解解: )0, 0, 0(除原点外)这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.3rxq3ryq3rzqn目录 上页 下页 返回 结束 的外法向量,计算解解: ) 1,0,0(, 4:222zyx例例5. 设),3,2(2zxyA .dSnAIrotrot)cos,cos,(cosn为nSIdcos0ddddxyxyDDyxyxyxyxdddd下上zyxkjiAArotrot232zxy目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQP

11、yxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos也可写成:SAsAnd)(d),(RQPA 其中AnA)(A 的旋度AA在 的切向量 上投影在 的法向量 n 上投影目录 上页 下页 返回 结束 zRyQxPddd在 内与路径无关在 内处处有在 内处处有),(RQProtrotxQyP,yRzQ,zPxR2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件空间曲线积分与路径无关的充要条件设 P, Q, R 在 内具有一阶连续偏导数, 则RQPkjizyx0目录 上页 下页 返回 结束 zuyuxu,3. 场论中的三个度场论中的三个度设, ),(zyxuu 梯度梯度:uradradg gu,zy

12、xzRyQxPRQPkjizyxArotrotAAdivA散度散度:旋度旋度:则, ),(RQPA 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习,222zyxr设则.)(;)(divrrradradg grotrotradradg g提示提示:rradradg grzryrx,)(rxx2rrrxx,322rxr )(ryy322ryr )(rzz322rzr )0,0,0(r2)(rradradg grotrot三式相加即得)(divrradradg grzryrxzyxkji0目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P243 *2 (1),(4) ; *3(1),(3) ; *4(1); *5 (2) ; *7习题课 目录 上页 下页 返回