2011年高三数列_常用解法和习题及近几年高考题_齐全

1、数列知识点和常用的解题方法归纳数列知识点和常用的解题方法归纳一、一、 等差数列的定义与性质等差数列的定义与性质 定义：为常数 ，aad daandnnn111() 等差中项： ， ， 成等差数列xAyAxy2 前 项和nSaannan ndnn11212 性质：是等差数列an （ ）若，则；1mnpqaaaamnpq （ ）数列，仍为等差数列；2212aakabnnn SSSSSnnnnn，仍为等差数列；232 （ ）若三个数成等差数列，可设为， ，；3adaad （ ）若，是等差数列，为前 项和，则；42121abSTnabSTnnnnmmmm （ ）为等差数列（ ， 为常数，是关于 的常数

2、项为52aSanbnabnnn0 的二次函数 SSanbnannn的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界2项，即： 当，解不等式组可得达到最大值时的 值。adaaSnnnn110000 当，由可得达到最小值时的 值。adaaSnnnn110000 如：等差数列，则aSaaaSnnnnnn1831123 （由，aaaaannnnn12113331又，Saaaa31322233113 Saanaannnnn12122131218 n27）二、等比数列的定义与性质二、等比数列的定义与性质 定义：（ 为常数，），aaqqqaa qnnnn1110 等比中项： 、 、 成等比数列，或xGyGx

3、yGxy 2 前 项和：（要注意 ）nSnaqaqqqnn111111()()! 性质：是等比数列an （ ）若，则1mnpqaaaamnpq （ ），仍为等比数列2232SSSSSnnnnn三、你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？三、你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 1、公式法公式法2、nnaS 求由 （时，时，）naSnaSSnnn121113、求差、求差商商法法 如：满足aaaannnn121212251122 解：解：naa 1122151411时， naaannn 2121212215212211时， 12122得：nna ann21annnn141221()()练习 数列满足，求a

4、SSaaannnnn111534 （注意到代入得：aSSSSnnnnn1114 又，是等比数列，SSSnnn144 naSSnnnn23411时， 4、叠乘法、叠乘法 例如：数列中，求aaaannannnn1131 解：解：aaaaaannaannnn213211122311， 又，aann133 5、等差型递推公式、等差型递推公式 由，求，用迭加法aaf naaannn110( ) naafaafaaf nnn22321321时，两边相加，得：( )( )( ) aafff nn123( )( )( ) aafff nn023( )( )( )练习 数列，求aaaanannnnn111132

5、 （）ann1231 6、等比型递推公式、等比型递推公式 acad cdccdnn1010、 为常数， 可转化为等比数列，设axc axnn1acacxnn 11 令，()cxdxdc11 是首项为， 为公比的等比数列adcadccn111 adcadccnn1111 aadccdcnn1111练习 数列满足，求aaaaannnn11934 （）ann84311 7、倒数法、倒数法 例如：，求aaaaannnn11122 由已知得：1221211aaaannnn 11121aann 111121aan为等差数列，公差为 11112121annn ann21三、三、 你熟悉求数列前你熟悉求数列前

6、 n 项和的常用方法吗？项和的常用方法吗？1、公式法：等差、等比前、公式法：等差、等比前 n 项和公式项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：是公差为 的等差数列，求ada ankkkn111解：解：由11111011aaaadd aadkkkkkk 11111111a ad aakkknkkkn 11111111111223111daaaaaad aannn练习 求和：111211231123 n （，）aSnnn211 3、错位相减法：、错位相减法： 若为等差数列，为等比数列，求

7、数列（差比数列）前 项aba bnnnnn 和，可由求，其中 为的公比。SqSSqbnnnn 如：Sxxxnxnn12341231 xSxxxxnxnxnnn234122341 121121：x Sxxxnxnnn xSxxnxxnnn11112时， xSnn nn112312时， 4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 SaaaaSaaaannnnnn121121相加 21211Saaaaaannnn练习已知，则f xxxfffffff( )( )( )( )( ) 2211212313414 （由f xfx

8、xxxxxxx( ) 1111111112222222 原式 fffffff( )( )( )( )1212313414 12111312）2021 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编数列数列2021 浙江理数浙江理数 3设为等比数列的前项和，那么nS nan2580aa52SSA11 B5 C D811解析：解析：通过，设公比为，将该式转化为，解2580aaq08322qaa得=-2，带入所求式可知答案选 D，此题主要考察了此题主要考察了等比数列q的通项公式与前 n 项和公式，属中档题20212021 全国卷全国卷 2 2 理数理数 4.如果等差数列 na中，34512aaa，那么

9、127.aaaA14 B21 C28 D35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的根本公式和性质.【解析】173454412747()312,4,7282aaaaaaaaaaa20212021 辽宁文数辽宁文数 3设为等比数列的前项和，nS nan3432Sa，那么公比2332Saq A3 B4 C5 D6解析：选 B. 两式相减得， ，.3433aaa44334,4aaaqa2021 辽宁理数辽宁理数 6设an是有正数组成的等比数列，为其前 n 项和。nSa2a4=1, ,那么37S 5S A (B) (C) (D) 152314334172【答案】B【命题立意】此题考查了等比数列

10、的通项公式与前 n 项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由 a2a4=1 可得，因此，又因为2411a q 121aq，联力两式有，所以 q=,所以231(1)7Saqq11(3)(2)0qq12，应选 B。5514(1)3121412S2021 全国卷全国卷 2 文数文数(6)如果等差数列中，+=12，那么 na3a4a5a+=1a2a7aA14 (B) 21 (C) 28 (D) 35【 【解析解析】 】C：此：此题题考考查查了数列的根底知了数列的根底知识识。 。 ， ， 34512aaa44a 12717417 ()7282aaaaaa 20212021 江西理数江西理数5.等

11、比数列中，=4，函数 na12a 8a，那么 128()()()f xx xaxaxa 0fA B. C. D. 6292122152【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有 x 项均取 0，那么只与函数的一次项有关；得：。 0f f x412123818()2a aaaa a20212021 江西理数江西理数4. 2111lim 1333nx A. 53 B. 32 C. 2 D. 不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。1133lim()1213nn2021

12、安徽文数安徽文数(5)设数列的前 n 项和，那么的值为na2nSn8aA 15 (B) 16 (C) 49 D645.A【解析】.887644915aSS【方法技巧】直接根据即可得出结论.1(2)nnnaSSn2021 重庆文数 2在等差数列中，那么的值为 na1910aa5aA5 B6来源:高&考%资(源#网 KS5U C8 D10解析：由角标性质得，所以=51952aaa5a2021 浙江文数浙江文数(5)设为等比数列的前 n 项和，那么nsna2580aa52SS(A)-11 (B)-8(C)5(D)11解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2580aaq08322qaaq

13、2，带入所求式可知答案选 A，此题主要考察了此题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公式2021 重庆理数重庆理数 1在等比数列中， ，那么公比 q 的值为 na201020078aaA. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析： 8320072010qaa2q20212021 北京理数北京理数 2在等比数列中，公比.假设 na11a 1q ，那么 m=12345maa a a a aA9 B10 C11 D12答案：C2021 四川理数四川理数 8数列的首项，其前项的和为，且 na10a nnS，那么112nnSSalimnnnaSA0 B C 1 D212解析：由,且 w_w_w.k

14、*s 5*u.c o*m112nnSSa2112nnSSa作差得 an22an1又 S22S1a1，即 a2a12a1a1 a22a1w_w w. k#s5_u.c o*m故an是公比为 2 的等比数列Sna12a122a12n1a1(2n1)a1那么11121limlim(21)2nnnnnnaaSa答案：B20212021 天津理数天津理数 6是首项为 1 的等比数列，是的前 n 项和， nans na且，那么数列的前 5 项和为369ss1naA或 5 B或 5 C D15831163116158【答案】C【解析】此题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。显然 q

15、1，所以，所以是首项为 1，公3639(1 q )1-=121-q1qqqq 1na比为的等比数列， 前 5 项和.125511 ( )31211612T【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意根本量法的应用。2021 广东理数广东理数4. 为等比数列，Sn是它的前 n 项和。假设， na2312aaa且与 2的等差中项为，那么=4a7a545SA35 B.33 C.31 D.294C设的公比为，那么由等比数列的性质知，即naq231412aaa aa。由与 2的等差中项为知，即42a 4a7a54475224aa7415151(2)(22)24244aa ，即，

16、即来源:高考资源37418aqa12q 3411128aa qa116a 网 K 2021 广广东东文数文数 20212021 全国卷全国卷 1 1 文数文数 4各项均为正数的等比数列，na=5，=10，那么=123a a a789a a a456a a a(A) (B) 7 (C) 6 (D) 5 24 24.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由等比数列的性质知，31231322()5a a aa aaaA10,所以,37897988()a a aa aaaA132850a a 所以133364564

17、65528()()(50 )5 2a a aa aaaa aA20212021 全国卷全国卷 1 1 理数理数 4各项均为正数的等比数列中，=5，na123a a a=10，那么=789a a a456a a a (A) (B) 7 (C) 6 (D) 5 24 22021 湖北文数湖北文数7.等比数列中，各项都是正数，且，成等差ma1a321,22aa数列，那么91078aaaaA.B. C. D121232 232 220212021 山东理数山东理数1.2021 安徽理数10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与 nan2n前项和分别为，那么以下等式中恒成立的是3n, ,X Y ZA、

18、B、2XZYY YXZ ZXC、D、2YXZY YXX ZX10.D【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项 D 满1,2,41n 1,3,7XYZ足。【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，假设能排除 3 个选项，剩下唯一正确的就一定正确；假设不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.此题也可以首项、公比即项数 n 表示代入验证得结论.2021 湖北理数7、如图，在半径为 r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前 n 个圆的面积之和，那么= nslimnnsA 2 B. C.4 D.62r8

19、32r2r2r20212021 福建理数福建理数3设等差数列的前 n 项和为,假设, nanS111a ,那么当取最小值时,n 等于466aa nSA6 B7 C8 D9【答案】A【解析】设该数列的公差为，那么，d461282 ( 11)86aaadd 解得，2d 所以，所以当时，取22(1)11212(6)362nn nSnnnn 6n nS最小值。【命题意图】此题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。2021 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编数列数列2021 浙江理数浙江理数 14设112,(2)(3)23nnnnNxx，2012n

20、naa xa xa x将的最小值记为，那么(0)kaknnT2345335511110,0,2323nTTTTT其中=_ .nT解析：此题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题20212021 陕西文数陕西文数11.观察以下等式：1323122，1323331232，1323334312342，根据上述规律，第四个等式为1323334353123452或 152.解析：第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和，右边为 1 到 i+1 和的完全平方所以第四个等式为 1323334353123452或 152.20212021 辽宁文数辽宁文数 14设为等差数列的前项和，

21、假设，nSnan36324SS，那么 。9a 解析：填 15. ,解得，31613 23326 56242SadSad112ad 91815.aad2021 辽宁理数辽宁理数 16数列满足那么的最小值为 na1133,2 ,nnaaannan_. 【答案】212【命题立意】此题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以331nannn设，令，那么在上是( )f n 331nn( )f n 23310n (

22、)f n( 33,)单调递增，在上是递减的，因为 nN+,所以当 n=5 或 6 时有最小(0, 33)( )f n值。又因为，所以，的最小值为55355a66321662anan62162a2021 浙江文数浙江文数 14在如下数表中，每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 。答案：2nn20212021 天津文数天津文数 15设an是等比数列，公比，Sn为an的前 n 项和。2q 记设为数列的最大项，那么= 。*2117,.nnnnSSTnNa0nTnT0n【答案】4【解析】此题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等

23、题。2112117 1 ( 2) 1 ( 2) 1( 2)17( 2)161212( 2)12( 2)nnnnnnnaaTa因为8，当且仅当=4，即116( 2)1712( 2)nn16( 2)( 2)nn( 2)nn=4 时取等号，所以当 n0=4 时 Tn有最大值。【温馨提示】此题的实质是求 Tn取得最大值时的 n 值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用别离变量的方法( 2)n求解.2021 湖南理数湖南理数15假设数列满足：对任意的，只有有限个正整 nanN数使得成立，记这样的的个数为，那么得到一个新数mmanm()na列例如，假设数列是，那么数列是(

24、)na na1,2,3, n ，()na对任意的，那么 ，0,1,2,1,n ，Nn2nan5()a () )na 20212021 福建理数福建理数11在等比数列中,假设公比,且前 3 项之和等于 21,那 naq=4么该数列的通项公式 na 【答案】n-14【解析】由题意知，解得，所以通项。11141621aaa11a na n-14【命题意图】此题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用，属根底题。3. 2021 江苏卷江苏卷8、函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,k 为正整数，a1=16，那么 a1+a3+a5=_解析考查函

25、数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，22(),kkkyaaxa0y 2kax 所以。1135,164 1212kkaaaaa 2021 年高考数学试题分类汇编年高考数学试题分类汇编数列数列2021 上海文数上海文数21.(21.(此题总分值此题总分值 1414 分分) )此题共有此题共有 2 2 个小题，第一个小题总分个小题，第一个小题总分值值 6 6 分，第分，第 2 2 个小题总分值个小题总分值 8 8 分。分。数列的前项和为，且， nannS585nnSna*nN(1)证明：是等比数列；1na (2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数. n

26、S1nnSSn解析：(1) 当 n1 时，a114；当 n2 时，anSnSn15an5an11，所以，151(1)6nnaa 又 a11150，所以数列an1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而151156nna 151 156nna (nN*)；1575906nnSn由 Sn1Sn，得，最小正整数 n1515265n562log114.925n 2021 湖南文数湖南文数20.本小题总分值 13 分给出下面的数表序列：其中表 nn=1,2,3 有 n 行，第 1 行的 n 个数是 1,3,5，2n-1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。I写出表 4，验证表 4 各

27、行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 nn3 不要求证明 ； II每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列 1,4,12，记此数列为 求和： nb3241 22 31nnnbbbbbb bb b20212021 全国卷全国卷 2 2 理数理数 18 本小题总分值 12 分数列 na的前n项和2() 3nnSnnA求limnnnaS；证明：12222312nnaaan【命题意图】本试题主要考查数列根本公式11(1)(2)nnns nassn的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】【点评】2021 年高考数学全国 I I、这

28、两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和根底知识、根本方法根本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的根本公式、根本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.20212021 陕西文数陕西文数16.本小题总分值 12 分an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.求数列an的通项;求数列2an的前n项和Sn.解 由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，121d1 812

29、dd解得d1，d0舍去 ， 故an的通项an1+n11n.()由知=2n，由等比数列前 n 项和公式得2maSm=2+22+23+2n=2n+1-2.2(1 2 )1 2n2021 全国卷全国卷 2 文数文数 18 本小题总分值 12 分是各项均为正数的等比数列，且na，1212112()aaaa34534511164()aaaaaa求的通项公式；na设，求数列的前项和。21()nnnbaa nbnnT【 【解析解析】 】此此题题考考查查了数列通了数列通项项、前、前项项和及方程与方程和及方程与方程组组的根底知的根底知识识。 。n 1 设设出公比根据条件列出关于出公比根据条件列出关于与与的方程求

30、得的方程求得与与，可求得数列的通，可求得数列的通项项公公1ad1ad式。式。 2 由由 1 中求得数列通中求得数列通项项公式，可求出公式，可求出 BN 的通的通项项公式，由其通公式，由其通项项公式化可知其公式化可知其和可分成两个等比数列分和可分成两个等比数列分别别求和即可求得。求和即可求得。20212021 江西理数江西理数22. 本小题总分值 14 分证明以下命题：（1） 对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得成等差数列。222abc，（2） 存在无穷多个互不相似的三角形 ，其边长为正整数且nnnnabc，成等差数列。222nnnabc，【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能

31、力以及创新能力。 1考虑到结构要证， ；类似勾股数进行拼凑。2222acb证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，2221 ,5 ,7对一切正整数 a 均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当成等差数列，那么，222nnnabc，2222nnnnbacb分解得：()()()()nnnnnnnnbabacbcb选取关于 n 的一个多项式，做两种途径的分解24 (1)n n 2224 (1)(22)(22 )(22 )(22)n nnnnnnn24 (1)n n 比照目标式，构造，由第一

32、问结论得，等差数列成立，222211(4)21nnnannbnncnn考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数 m，n，假设m， 相似：那么三边对应成比例n， 2222222112121121mmmmmnnnnn由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。1111mmmnnn2021 安徽文数安徽文数 21 本小题总分值 13 分)设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且12,nC CCx都与直线相切，对每一个正整数,圆33yxn都与圆相互外切，以表示的半径，nC1nCnrnC为递增数列. nr()证明：为等比数列； nr设，求数列的前项和. 11r

33、 nnrn【命题意图】此题考查等比列的根本知识，利用错位相减法求和等根本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】 1求直线倾斜角的正弦，设的圆心为，得，同nC(,0)n2nnr理得，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关112nnr系，即中与的关系，证明为等比数列；2利用1的结论求 nr1nrnr nr的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和. nrnnrnnnnnnn+1n+1n+1nnn+1n+1nnn+1nnn 11 nnnnn12331,sin,332r12r22rrr2r2rr3rrq3nr1q3r3n*3r12.rrxC解：（1）将直线y=的倾斜角记为

34、, 则有t an =设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。（）由于，故，从而，记S121n121n121n11,r12*33*3. *31*32*3.(1)*3*331 33.3*331 333*3()*3 ,22239139(23)*3()*34224nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSn 则有SS, 得2S【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项与之间的关系，然后根据这个递推关系，结na1na合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，假设数列的通项公式由等差与等比数列的

35、积构成的数列时，通常是利用前 n 项和乘以nS公比，然后错位相减解决.2021 重庆文数 16 本小题总分值 13 分， 小问 6 分， 小问 7分. 是首项为 19，公差为-2 的等差数列，为的前项和. nanS nan求通项及；nanS设是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列的通项公nnba nb式及其前项和.nnT2021 浙江文数浙江文数 19 此题总分值 14 分设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足+15=0。56S S假设=5，求及 a1；5S6S求 d 的取值范围。2021 重庆理数重庆理数 21 本小题总分值 12 分

36、， I小问 5 分， II小问 7 分在数列中，=1，其中实数。 na1a1121*nnnacacnnN0c （I）求的通项公式； na（II）假设对一切有，求 c 的取值范围。*kN21kzkaa2021 山东文数山东文数 18 本小题总分值 12 分 等差数列满足：，.的前 n 项和为. na37a 5726aa nanS 求 及；nanS令,求数列的前 n 项和.211nnbanN nbnT20212021 北京文数北京文数 16 本小题共 13 分为等差数列，且，。|na36a 60a 求的通项公式；|na假设等差数列满足，求的前 n 项和|nb18b 2123baaa|nb公式解：设

37、等差数列的公差。nad 因为366,0aa 所以 解得112650adad 110,2ad 所以10(1) 2212nann 设等比数列的公比为 nbq 因为212324,8baaab 所以 即=3824q q所以的前项和公式为 nbn1(1)4(1 3 )1nnnbqSq20212021 北京理数北京理数 20 本小题共 13 分集合对于121|( ,),0,1,1,2, (2)nnSX Xx xxxin n ，定义 A 与 B 的差为12(,)nAa aa12( ,)nnBb bbS1122(|,|,|);nnABabababA 与 B 之间的距离为111( , )|id A Bab证明：

38、，且;, ,nnA B CSABS有(,)( , )d AC BCd A B证明：三个数中至少有一个是偶数, , ( , ), ( ,), ( ,)nA B CSd A B d A C d B C() 设 P，P 中有 m(m2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为nS(P).d 证明：P.d2(1)mnm考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效证明：I设，12(,.,)nAa aa12( ,.,)nBb bb12( ,.,)nCc ccnS 因为，所以, ks5u ia 0,1ib 0,1iiab(1,2,., )in 从而1122(|,|,.,|)nnnABabababS 又1

39、(,)| |niiiiid AC BCacbc由题意知，.iaibic 0,1(1,2,., )in当时，;0ic | |iiiiiia cbcab 当时，1ic | |(1)(1)| |iiiiiiiia cbcabab所以1(,)|( , )niiid AC BCabd A B(II)设，12(,.,)nAa aa12( ,.,)nBb bb12( ,.,)nCc ccnS ，.( , )d A Bk( ,)d A Cl( ,)d B Ch 记，由I可知(0,0,.,0)nOS ( , )(,)( ,)d A Bd AA BAd O BAk ( ,)(,)( ,)d A Cd AA CAd

40、 O CAl ( ,)(,)d B Cd BA CAh 所以中 1 的个数为，的 1|(1,2,., )iibaink|(1,2,., )iicain的个数为 。l 设 是使成立的 的个数，那么t| | 1iiiibacai2hlkt 由此可知，三个数不可能都是奇数，, ,k l h 即,三个数中至少有一个是偶数。( , )d A B( ,)d A C( ,)d B CIII,其中表示中所有两个元素间距离的2,1( )( , )A B Pmd Pd A BC,( , )A B Pd A BP总和， ks5u 设种所有元素的第 个位置的数字中共有 个 1，个 0Piitimt那么=,( , )A

41、 B Pd A B1()niiit mt由于it ()imt2(1,2,., )4min所以,( , )A B Pd A B24nm从而222,1( )( , )42(1)A B Pmmnmmnd Pd A BCCm2021 四川理数四川理数 21 本小题总分值 12 分数列an满足 a10，a22，且对任意 m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2求 a3，a5；设 bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；设 cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前 n 项和 Sn.本小题主要考查数列的根底知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问

42、题的能力.解：(1)由题意，零 m2,n1,可得 a32a2a126 再令 m3,n1，可得a52a3a18202 分(2)当 nN *时，由(以 n2 代替 m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8w_w w. k#s5_u.c o*m即 bn1bn8所以bn是公差为 8 的等差数列5分(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为 b1a3a16,公差为 8 的等差数列那么 bn8n2，即 a2n+=1a2n18n2另由(令 m1)可得an-(n1)2.2112naa那么 an1an2n1w_w w. k#s5_u.c o*m21212nnaa

43、2n1822n 2n于是 cn2nqn1.当 q1 时，Sn2462nn(n1)当 q1 时，Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以 q，可得 qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqnw_w w. k#s5_u.c o*m 22nqn11nqq 211 (1)1nnnqnqq所以 Sn212(1)1(1)nnnqnqq综上所述，Sn12 分12(1)(1)(1)12(1)(1)nnn nqnqnqqqA20212021 天津文数天津文数 22 本小题总分值 14 分在数列中，=0，且对任意 k，成等差数列，其公差为 na1a*N2k 12

44、k2k+1a,a,a2k.证明成等比数列；456a ,a ,a求数列的通项公式； na记，证明.2222323nnnTaaaA A An32nT2 n2（2）【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，总分值 14 分。I证明：由题设可知，2122aa3224aa4348aa，54412aa。65618aa从而，所以，成等比数列。655432aaaa4a5a6aII解：由题设可得21214 ,*kkaak kN所以 2112121212331.kkkkkaaaaaaaa 4

45、41.4 1kk .21 ,*k kkN由，得 ，从而.10a 2121kak k222122kkaakk所以数列的通项公式为或写为， na221,2,2nnnann为奇数为偶数 21124nnna。*nNIII证明：由II可知，2121kak k222kak以下分两种情况进行讨论：（1） 当 n 为偶数时，设 n=2m*mN假设，那么，1m 2222nkkkna假设，那么2m 22222112211112212214441221nmmmmkkkkkkkkkkkkkkaaakk k 211114411 11222212121mmkkkkmmk kk kkk .11312211222mmnmn所

46、以，从而223122nkkknan22322,4,6,8,.2nkkknna（2） 当 n 为奇数时，设。21*nmmN22222222121213142221nmkkkkmmmkkmaaamm m11314222121mnmn所以，从而2231221nkkknan22322,3,5,7,.2nkkknna综合1和2可知，对任意有2,*,nnN322.2nnT20212021 天津理数天津理数 22 本小题总分值 14 分在数列中，且对任意.，成等差数列，其公差 na10a *kN21ka2ka21ka为。kd假设=，证明，成等比数列kd2k2ka21ka22ka*kN假设对任意，成等比数列，

47、其公比为。*kN2ka21ka22kakq【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。总分值 14 分。证明：由题设，可得。*4 ,2121aak kNkk所以131()().()2121212123aaaaaaaakkkkk=44(1).4 1kk =2k(k+1)由=0，得1a222 (1),22,2(1) .2122122ak kaakkakkkkk从而于是。1121222221,221212aaaakkkkkkakakaakkkk所以所以成等比数列。*2,

48、22122kdkkNaaakkk时，对任意证法一：i证明：由成等差数列，及2,2121kaaakk成等比数列，得,22122aaakkk212112,222121221kaakkaaaqkkkaaqkkk当1 时，可知1，k1qkq*N从而111111,1(2)1111111211kqqqqkkkkqk即所以是等差数列，公差为 1。11qk证明：，可得，从而=1.由有10a 22a 34a 142,2q 111q *1111,1kkkkqkNqkk 得所以2*222211221,2122aaakkkkkkNaakakkkk（）从而因此，2222*2222(1)222214.22.2 (1),2

49、212(1)(2)122242kaaakkkkkaak aak kkNkkaaakkkkk以下分两种情况进行讨论：（1） 当 n 为偶数时，设 n=2m()*mN假设 m=1,那么.2222nkkkna假设 m2，那么+2222122111221(2 )(21)42nmmmkkkkkkkkkkkaaak221111114414411 112222 (1)2 (1)2 (1)21113122(1)(1)222.mmmkkkkkkkmmk kk kk kkkmmnmn所以22223132,22,4,6,8.22nnkkkkkknnnana从而(2)当 n 为奇数时，设 n=2m+1*mN22222

50、2221(21)31(21)4222 (1)nmkkkkmkkmmmaaamm m11314222(1)21mnmn所以从而22312,21nkkknan22322,3,5,72nkkknna综合1 2可知，对任意,有2n nN223222nkkkna证法二：i证明：由题设，可得212222(1),kkkkkkkkdaaq aaaq所以212221222(1),kkkkkkkkkkdaaq aq aa q q1kkkdq d232211122222221111kkkkkkkkkkkkkkaadddqqaaq aq aq 由可知。可得，11q 1,*kqkN111111111kkkkkqqqqq

51、所以是等差数列，公差为 1。11kqii证明：因为所以。120,2,aa1212daa所以，从而，。于是，由i可知所以3214aad3122aqa1111q是公差为 1 的等差数列。由等差数列的通项公式可得= 11kq11kq ，故。11kk1kkqk从而。11kkkdkqdk所以，由，可得12112112.121kkkkkddddkkkddddkk12d 。2kdk于是，由i可知221221 ,2,*kkak kakkN以下同证法一。20212021 全国卷全国卷 1 1 理数理数 22(本小题总分值 12 分)注意：在试题卷上作答无注意：在试题卷上作答无效效数列中， . na1111,nn

52、aaca设，求数列的通项公式；51,22nncba nb求使不等式成立的 的取值范围 .13nnaac2021 四川文数四川文数 20 本小题总分值 12 分w_w w. k#s5_u.c o*m等差数列的前 3 项和为 6，前 8 项和为-4。na求数列的通项公式；w_w w. k#s5_u.c o*mna设，求数列的前 n 项和1*(4)(0,)nnnba qqnN nbnS20212021 山东理数山东理数 18 本小题总分值 12 分等差数列满足：，的前 n 项和为 na37a 5726aa nanS求及；nanS令 bn=(nN*)，求数列的前 n 项和211na nbnT【解析】

53、设等差数列的公差为 d，因为，所以有 na37a 5726aa，解得，112721026adad13,2ad所以；=。321)=2n+1nan（nSn(n-1)3n+222n +2n由知，所以 bn=2n+1na 211na21=2n+1)1（114 n(n+1)，111(-)4n n+1所以=，nT111111(1-+-)4223n n+111(1-)=4n+1n4(n+1)即数列的前 n 项和=。 nbnTn4(n+1)【命题意图】此题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的根底知识是解答好本类题目的关键。2021 湖南理数湖南理数21 本小题总分值 1

54、3 分数列中，是函数 *()nanN的极小值点322211( )(3)332nnnfxxanxn a x当 a=0 时，求通项； na是否存在 a，使数列是等比数列？假设存在，求 a 的取值范围； na假设不存在，请说明理由。2021 湖北理数 111n1ln nn232 nn证明：（+1）+（1）（+1）2. 2021 安徽理数20、 本小题总分值 12 分 设数列中的每一项都不为 0。12,na aa 证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有 nanN。1223111111nnnna aa aa aa a2021 江苏卷江苏卷19、 本小题总分值 16 分设各项均为正数的数列的前 n

55、 项和为，数列是公差 nanS3122aaa nS为的等差数列。d1求数列的通项公式用表示 ； nadn,2设 为实数，对满足的任意正整数，不等式cnmknm且3knm,都成立。求证： 的最大值为。knmcSSSc29解析 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及根本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。总分值 16 分。1由题意知：， 11(1)(1)nSSndand0d ，21323213233()aaaaSSSS2221113()(2 ) ,adaad化简，得：22111120,aaddad ad，22(1),nnSdndnd Sn d当时，适合情形。2n 222221(1)(21

56、)nnnaSSn dndnd1n 故所求2(21)nand2 方法一， 恒成立。222222222mnkSScSm dn dc k dmnc k 222mnck 又，nmknm且3222222292()()92mnmnmnkk故，即 的最大值为。92c c29方法二由及，得，。1ad1(1)nSand0d 22nSn d于是，对满足题设的，有knm,mn。2222222()99()222mnkmnSSmn ddd kS所以 的最大值。cmax92c另一方面，任取实数。设为偶数，令，那么92a k331,122mknk符合条件，且knm,。22222222331()(1)(1) (94)222m

57、nSSmn ddkkdk于是，只要，即当时，。22942kak229ka22122mnkSSdakaS所以满足条件的，从而。92c max92c因此 的最大值为。c92高考文科数学试卷中的数列题浅析数列，在高中数学教学大纲中只有 12 课时，在考纲中也只是要求，理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题；理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题，等等但是，在历年的高考中，都把数列当作重要的内容来考查，题

58、目有一定的难度、深度和综合程度，在考查演绎推理能力中发挥着越来越重要的作用纵观 2021 年全国各省的高考文科数学试卷，涉及数列的题目大都是“一小一大，分值 17 分左右，约占试卷总分值的，难度大都为中低档，但也有少数省份将数列题作为把19关、压轴题，如安徽卷、上海卷的第 21 题，重庆卷的第 22 题等下面，我们仅对其中的一些题目进行简要的分析例 1 设an是等差数列，假设 a2=3，a =13，那么数列an前 8 项的和为 7A128 B80 C64 D56 福建卷第 3 题 略解： a2 +a = a +a =16，an前 8 项的和为 64，故应选 C718例 2 等比数列满足，那么

59、na122336aaaa，7a A64B81C128D243 全国卷第 7 题答案：A例 3 等差数列中，假设，那么数列的前 5 项和 na26a 515a 2nnba nb等于 A30B45C90D186 北京卷第 7 题略解：a -a =3d=9， d=3，b =，b =a=30，的前 5 项和等于 90，52126a 510 nb故答案是 C例 4 记等差数列的前项和为，假设，那么该数列的公差 nnS244,20SSd A2 B3 C6 D7 广东卷第 4 题略解：,应选 B.422412,3SSSdd例 5 在数列中，,其中为na542nan212naaaanbn*nN, a b常数，

60、那么 安徽卷第 15 题ab 答案：1例 6 在数列中， ，那么 na12a 11ln(1)nnaanna A B 2lnn2(1)lnnnC D江西卷第 5 题2lnnn1lnnn答案：A例 7 设数列中，那么通项 _ 四川卷 na112,1nnaaanna 第 16 题此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住中11nnaan系数相同是找到方法的突破口1,nnaa略解： ，112,1nnaaan111nnaan1221nnaan，将以上各式2331nnaan322 1aa211 1aa 121 1a 相加，得， 1232 11nannnn111122nnn nn 故应填+1(1)2n n例