第五章 5-4 奈氏稳定判据

1、能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法1重点回顾重点回顾n幅相曲线绘制三要素幅相曲线绘制三要素（1）开环幅相曲线的起点（）开环幅相曲线的起点（ ）和终点）和终点( )（2）开环幅相曲线与实轴的交点）开环幅相曲线与实轴的交点 交点处的频率交点处的频率 -穿越频率交点处坐标交点处坐标（3）开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）00)()(:xxmxjHjGI2 , 1 , 0,)()()(kkjHjGxxx或)()(xxejHjGRx能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析

2、法2重点回顾重点回顾n对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤1）典型环节分解；）典型环节分解；2）在）在轴上标注交接频率；轴上标注交接频率；3）绘制低频段渐进线）绘制低频段渐进线min)0(min斜率：斜率：-20db/dec直线或延长线上一点直线或延长线上一点：)(0)(,)(lg20)(1)(lg20lg20)(,10000dbLKdbKLdbKLaaa 任选任选4)min 斜率发生变化斜率发生变化K能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法3重点练习重点练习n1. 负反馈系统开环传递函数为负反馈系统开环传递函数为n试绘制试绘

3、制 时系统概略开环幅相曲线；时系统概略开环幅相曲线； n解：解：（1）b=3时时 3b0,)(1()()(KbsssKsHsG12)()(Re, 32700)()(,90)0()0()9)(1()3(4)9)(1()3)(1 () 3)(1()()(0022222KjHjGjHjGjHjGKjKjjKjjjjKjHjGxxxj12K能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法4重点练习重点练习n2.已知单位负反馈系统的开环传递函数为已知单位负反馈系统的开环传递函数为 n试绘制系统的开环对数渐近特性曲线。试绘制系统的开环对数渐近特性曲线。n解：解：1 .

4、0210)(2ssssG21 . 002.46lg20,2002min1KK能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法5200能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法6能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法75-4 频率域稳定判据 奈氏判据数学基础奈氏判据数学基础 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 对数频率稳定判据对数频率稳定判据本节内容：能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法82121)(pspszszssF2121

5、)(pspszszssF2)2()2(021 、 奈氏判据数学基础（1）幅角原理）幅角原理 s为复数变量为复数变量F（s）为）为s的有理分式函数，设：的有理分式函数，设：)()()(2121pspszszssFs0j2p1p2z1z平面s映射)(sFs F0j)(sF平面)(sF)(sF能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法91 、 奈氏判据数学基础幅角原理：R=P-Z Z s平面闭合曲线包围F(s)的零点个数 P s平面闭合曲线包围F(s)的极点个数 R 当s沿顺时针运动一周，F(s)平面上闭合曲线F 逆时针包围原点的圈数。s0j2p1p2z1z

6、平面s映射)(sFs F0j)(sF平面)(sF)(sF能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法10（2）复变函数）复变函数F(s)的选择的选择)()()()()(1)()(1)(sAsBsAsAsBsHsGsF1 、 奈氏判据数学基础则则: 1) F(s)的零点的零点=闭环极点，闭环极点， F(s)的极点的极点=开环极点开环极点 2)因为因为mn，所以，所以 F(s)零点数零点数= F(s)的极点数的极点数 3） 和和 只相差常数只相差常数1， 对原点的包围的圈数对原点的包围的圈数= 对（对（-1，j0）点包围的圈数）点包围的圈数GHFFGH能源与

7、动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法11（3）s平面闭合曲线平面闭合曲线 的选择的选择虚轴上无极点)()(sHsG有虚数极点)()(sHsG1 、 奈氏判据数学基础j0jej0je在原点有极点)()(sHsGj0jejenjnj能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法121 、 奈氏判据数学基础（4）G(s)H(s)闭合曲线的绘制闭合曲线的绘制的半封闭曲线因此只需画关于虚轴对称，而即平面上封闭曲线0:)()(:)()(jHjGjHjGGHGHFj01能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分

8、析法线性系统的频域分析法131）G(s)H(s)无虚轴上的极点无虚轴上的极点 在在 上映射的开环幅相曲线上映射的开环幅相曲线 在在 上映射为原点（上映射为原点（nm） 或（或（ ，j0）点（）点（n=m）), 0, js), 0),()( jHjG90, 0,ojes *K1 、 奈氏判据数学基础j0je能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法14)0)(1)()(jGjeSesHsGj（1 、 奈氏判据数学基础)(1)()(1sGssHsG90, 0,ojes2）G(s)H(s)含积分环节含积分环节在原点附近在原点附近映射为映射为j0jej0)()

9、(jHjG)0()0(jHjG)0()0( jHjG1能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法15)()2(1)()(1221jnjjnejsejGeejsHsGjn)()2(1)90(11nvnvjjGeo)90()(101njGje)(1njGje180)(011njGjenjs，090)90,90(00 njs，0901 、 奈氏判据数学基础3)G(S)H(S)含等幅振荡环节：含等幅振荡环节：)()(1)()(1221sGssHsGnj0jejenjnj能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法161

10、、 奈氏判据数学基础j0j0j0)0,() 1)(1(: )()(22TKsTssKsHsGn222) 1)(1(nsTssK2223) 1)(1(nsTssK能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法17R= 包围（包围（-1，j0）点圈数）点圈数N2N： 穿越（穿越（-1，j0）左侧实轴的次数）左侧实轴的次数 ：正穿越次数和（从上向下）：正穿越次数和（从上向下） ：负穿越次数和（从下向上）：负穿越次数和（从下向上）FGHGHNN)(22NNNRj0110, 0NN0Rj0010, 1NN2R1 、 奈氏判据数学基础（5）闭合曲线 包围原点圈数R的计

11、算能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法18j0210R1, 1NNj00121, 1NN1R211 、 奈氏判据数学基础j0410,23NN3R121能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法191）稳定）稳定 P=2N=R2）Z=P-2N 0，不稳定，不稳定，Z 为正实部闭环极点个数为正实部闭环极点个数3）半闭合曲线穿过（）半闭合曲线穿过（-1，j0），临界稳定），临界稳定2、奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据:完成书完成书P216习题习题5-14：指出：指出N-、N+、R、Z切记：切记：

12、Z为为s右半平面闭环极点个数，右半平面闭环极点个数，P开环右半平面开环右半平面极点数。任何时候极点数。任何时候Z（个数）均不能小于零。（个数）均不能小于零。能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法20例例5-8 单位负反馈系统开环幅相曲线如图（单位负反馈系统开环幅相曲线如图（k=10，p=0，v=1），试确定系统闭环稳定的），试确定系统闭环稳定的k值范围值范围解：)()(1sGsksG)()(1jGjkjG1)(lim10sGS且j05 . 015 . 123122、奈奎斯特稳定判据;20,320, 51021)(1, 1)(5 . 0)(, 5 .

13、 1)(, 2)(10321111321kkjjGkkjGjGjGjGki值：得相应令时取当k=10能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法210, 0, 00, 1RPZPRkk2、奈奎斯特稳定判据j01j012, 0, 2, 21RPZPRkkk系统稳定系统稳定系统不稳定系统不稳定能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法22j01j012、奈奎斯特稳定判据0, 0, 1, 32ZRNNkkk稳定。稳定。），为（为（)20,320( ,50k22, 21, 3ZRNNkk，系统稳定系统稳定系统不稳定系统不

14、稳定条件稳定系统条件稳定系统能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法23例5-9，值范围确定系统稳定的, 0,12)()(sesHsGsxxxarctg)(解：212)(xxA3 , 2 , 1 , 0;) 12(kkj012xm2、奈奎斯特稳定判据能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法24xmxmxmarctg)(0) 12(xxarctgk31)(xmxmA01) 12(22xxxxxarctgkdd的减函数亦为的减函数为xmx2、奈奎斯特稳定判据j012xm稳定，临界稳定）（时，,332332333arctgxm能源与动力学院能源与动力学院 第五章第五章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法25奈氏稳定判据总结：奈氏稳定判据总结：Z=P-2NZ闭环系统正实部极点个数闭环系统正实部极点个数P开环系统正实部极点个数开环系统正实部极点个数R开环幅相曲线（开环幅相曲线（：0 +）逆时针包围临界点）逆时针包围临界点（-1，j0）的圈数）的圈数NNNNR,2j012、奈奎斯特稳定判据