第二十五讲 方阵相似于对角阵的充分必要条件

1、1 1 1第三讲第三讲 矩阵对角化的步骤矩阵对角化的步骤第五章第五章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 2 2 2定理定理 n 阶矩阵阶矩阵 A 相似于对角矩阵相似于对角矩阵 的充的充要条件是要条件是 A 有有 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.推论推论 若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 有有 n 个不同的特征值个不同的特征值则则A 必能相似于对角矩阵必能相似于对角矩阵.矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件3 3 3 n,diag 1 APP1我们先假设存在可逆矩阵 ，使P将将 用其列向量表示为用其列向量表示为P np,p,pP21 由由 得得 ，即，即 APP1 PAP 1212121

2、21122,nnnnnnA ppppppAp ApApppp 4 4 4i n,i ,pApiii21 i AipA于是是 ，这说明是是 的特征值， 是 的对应于特征值的特征向量。这就是 的具体构造方法.P12,nPp pp因为 可逆，所以12,nppp线性无关.5 5 5n1 + n2 + + ns = n. 矩阵对角化的步骤矩阵对角化的步骤设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的步骤如下： ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有 s 个不同的特征值 1 , 2 , , s ，它们的重数分别为 n1, n2 , , ns , 有6 6 6 对 A 的每个特征值 i ,求(A - - i

3、E)x = 0的基础解系, 设为iiniip,p,p21( i = 1, 2, , s ) . 以这些向量为列构造矩阵),(21222211121121ssnssnn,p,pp,p,p,pp,ppP),diag(212211 snssnn7 7 7上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系.则 P- -1AP = .要注意矩阵 P 的列与对角矩阵 主对角线8 8 8例例2 2 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？若可，若可，则将其对角化，并写出相似变换矩阵则将其对角化，并写出相似变换矩阵P及及对角对角矩阵矩阵 。 122(1) 224242A 212(2) 53310

4、2A 122(1)224242AE 解：解：9 9 9得得1232,7 722 0 当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为122 20AE X得基础解系得基础解系12221,0 .01pp 当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为 70AE X37 得基础解系得基础解系3122p 1010102211020012 123,ppp线性无关线性无关即即A有有3个线性无关的特征向量，所以个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。可以对角化。221102012P -1 P AP 使使得得相似变换矩阵相似变换矩阵200020007 相似对角阵相似对角阵111111212(2)533102AE

5、 310 1231. 0AE X当当 时，解时，解1231 得基础解系得基础解系11 ,1 所以所以 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A121212实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化定理定理1 1实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数. .定理定理2 2设设A为为 n 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，是是A的特征方的特征方程的程的r r 重根重根, ,则矩阵则矩阵A- E的秩的秩R(A-E)=n-r，从从而对应而对应于特征值于特征值恰有恰有 r 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. .定理定理3 3设设A为为 n 阶实对称矩阵，则必有可逆阵阶实对称矩阵，则必有可逆阵P，

6、使得使得 P-1AP = ，其中其中 是以是以A的的n 个特征值为对个特征值为对角元素的对角阵角元素的对角阵. .131313400031013A 例例3 3 将下面实对称矩阵将下面实对称矩阵A相似对角化相似对角化 310130004EA ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值解：特征多项式解：特征多项式141414 得得基基础础解解系系由由对对, 04, 432 xEA 得基础解系得基础解系由由对对, 02, 21 xEA 1011p 23100 ,1 .01pp 123010,10 11 0 1Pp p p 记记1200 040 .004PAP 则则151515小结：小结：3. 若若A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 2. 0;iAE xA 求求的的基基础础解解系系得得 的的特特征征向向量量1. ;iA 求求的的特特征征值值一、矩阵对角化的步骤一、矩阵对角化的步骤12,nppp1124