河南省中考数学专题复习专题八二次函数综合题训练

1、专题八二次函数综合题类型突破茴类型一新定义问题24 2<11'I (2022 河南)如图，直线y = + c与x轴交于点A(3 , 0)，与y轴交于点B,抛物线y= 3X +bx + c经过点A, B.(1) 求点B的坐标和抛物线的解析式；M(m , 0)为x轴上一动点，过点 M且垂直于x轴的直线与直线 AB及抛物线分别交于点 P, N. 点M在线段OA上运动，假设以 B, P, N为顶点的三角形与 APM相似，求点 M的坐标； 点M在x轴上自由运动，假设三个点 M, P, N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外),那么称M, P, N三点为“共谐点.请直接写出使得M

2、, P, N三点成为“共谐点的 m的值.【分析】(1)把A点坐标代入直线解析式可求得c,那么可求得B点坐标，由点A, B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；由M点坐标可表示点 P, N的坐标，从而可表示出 MA MP PN, PB的长，分/ NBP= 90°和/ BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，可求得 m的值；用m可表示出点M, P, N的坐标，由题意可知有 P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM 的中点，可分别得到关于m的方程，即可求得 m的值.【自主解答】解：(1) Ty= / + c过点A(3 , 0)，与y轴交

3、于点B,0= 2+ c,解得 c= 2, B(0,2)抛物线y=+ bx + c经过点A,B,12+ 3b+ c= 0, c = 2,解得10b= 3,抛物线的解析式为y4x2 + 130x+ 2.由可知直线的解析式为y 一 3x + 2,2 M(m 0)为X轴上一动点，过点 M且垂直于x轴的直线与直线 AB及抛物线分别交于点 P, N. P(m -m34 2 1024 21024 2+ 2) ,N(m,3m+ m+2) , PM=30+ 2 ,AM= 3 m,PN=3m + m+ 2 ( 30+2) = 3m + 4m,3333333/ BPN和 APM相似,且/ BPNhZ APM / B

4、NP=Z AM= 90° 或/ NBP=Z AM= 90°当/BNP= 90° 时，那么有 BNL MN N点的纵坐标为2 ,410 §m+ "3+ 2 = 2,解得 m= 0(舍去)或 m= 2.5 , M(2.5 , 0);当/ NBP= 90°时，过点N作NCLy轴于点C,例1题解图410410那么/NBCFZ BNC= 90° , NC= m BC= -m m+ 2 2=-卅+ m3333/ NBP= 90° ,/ NBCFZ ABO= 90° ,/ ABO=Z BNC Rt NCB- Rt BO

5、ANC CB oB" OA4 210一 m +m3311解得m= 0(舍去)或m=83m2=11- ms , 0；11综上可知，当以 B , P, N为顶点的三角形与 APM相似时，点 M的坐标为2.5 , 0或；,0;8/ M P, N三点为“共谐点，2 4101当P为线段MN的中点时，那么有2( §m+ 2) =-3+ jm+ 2，解得m= 3(三点重合，舍去)或m=；2410当M为线段PN的中点时，那么有一3+ 2+ ( 3吊+ ym+ 2) = 0,解得m= 3(舍去)或m= 1;24101当N为线段PM的中点时，那么有一3+ 2= 2( 3帘+ ym+ 2)，解得

6、 m= 3(舍去)或m= 4.1 1综上可知，当 M P, N三点成为“共谐点时，m的值为或一1或一4.1 . (2022 -河南)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点 C为顶点的抛物线经过点 A,点 P是抛物线上点 A, C间的一个动点(含端点)，过点P作PF丄BC于点F,点D, E的坐标分别为(0 , 6),( 4, 0)，连接 PD, PE DE.(1) 请直接写出抛物线的解析式；(2) 小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜测：对于任意一点P, PD与PF的差为定值，请你判断该猜测是否正确，并说明理由；(3) 小明进一步探究得出结论

7、：假设将“使PDE的面积为整数的点P记作“好点，那么存在多个“好点，且使AP DE的周长最小的点 P也是一个“好点.请直接写出所有“好点的个数，并求出厶 PDE 周长最小时“好点的坐标.第1题图备用图，抛物线L2的顶点B在抛物线Li，可见一条抛物线的“伴随抛L2的顶点B的横坐标为4，求抛y= a2(x h) + k，请写出 ai 与 a2C,它的一条“伴随抛物线为2. (2022 -崇仁一中二模)如图，假设抛物线 Li的顶点A在抛物线L2 上 上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线 Li, L2称为“伴随抛物线 物线可以有多条.(1) 抛物线L仁y = x2+ 4x 3与抛物线L2是“伴

8、随抛物线，且抛物线物线L2的表达式；假设抛物线y = ai(x m)2+ n的任意一条“伴随抛物线的表达式为的关系式，并说明理由； 在图中，抛物线4： y = mX 2mx 3m(m>0)与y轴相交于点图L2，抛物线L2与y轴相交于点D.假设CD= 4m求抛物线L2的对称轴.3. (2022 -郑州模拟)如图，点C(0, 3)，抛物线的顶点为 A(2 , 0)，与y轴交于点B(0, 1)，点P是 抛物线上的一个动点，过点P作PMLx轴于点M.(1)求抛物线的解析式；假设点F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，连接PF, PC, CF,求证：对于任意点 P, PF与PM的差为常数.记中的常数

9、为a，假设将“使 PCF面积为2a的点P记作"巧点，那么存在多个"巧点，且使 PCF的周长最小的点 P也是一个“巧点，请直接写出所有“巧点的个数，并求出厶PCF 的周长最小时“巧点的坐标.3 1 24. (2022焦作一模)如图，直线y= 4X + m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0, - 1)，抛物线y=乂2+ bx + c经过点B,点C的横坐标为4.(1)请直接写出抛物线的解析式； 如图，点D在抛物线上，DE/y轴交直线AB于点E,且四边形DFEG矩形，设点 D的横坐标为x(0V XV 4)，矩形DFEG勺周长为I，求I与x的函数关系式以及I的最大值； 将厶AOB绕平

10、面内某点 M旋转90°或180°,得到AOBi，点A,O,B的对应点分别是点A,O, B.假设AA 1OB的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点，请直接写出“落点的个数和旋转180°时点A的横坐标.类型二线段、角度数量关系探究42 2wie (2022 河南)如图，直线y =- 3X + n交x轴于点A,交y轴于点C(0, 4)，抛物线y = 3X + bx + c经过点A,交y轴于点B(0，- 2).点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD,过点B作BDL PD于点D,连接PB,设点P的横坐标为 m.(1) 求抛物线的解析式；(2) 当厶

11、BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长； 如图，将 BDP绕点B逆时针旋转，得到 BD P',且旋转角/ PBP =Z OAC当点P的对应点P'落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.y /A图U.图【分析】先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；(2) 由厶BDP为等腰直角三角形，判断出BD= PD建立m的方程计算出 m从而求出PD;分点P'落在x轴和y轴两种情况计算即可.当点 P落在x轴上时，过点 D'作D' N±x轴，垂足 为N,交BD于点M先利用互余和旋转角相等得出/ DBD =Z ND / PBP，进而表示出ND的长度，

12、通过构造方程求解；的思路同.【自主解答】4解：T点C(0 , 4)在直线y = 3X + n上，t,4当 y = 0 时，0 = 3X + 4,解得 x = 3,.A(3, 0).t抛物线y= 2x2 + bx + c经过点A,交y轴于点B(0， 2),6 + 3b+ c = 0,c = 2,解得c= 2,抛物线的解析式为点p为抛物线上一个动点，且横坐标为m2 2 4 P(m, 3m §m- 2) , D(m, 2), BD= |m| ,2 2 42 24PD= | 3m 3m- 2 + 2| = | 3m §m|. BDP为等腰直角三角形，且 PDL BD BD= PD.

13、2 24 当点P在直线BD上方时，PD= -m -m.3 3(i) 假设点P在y轴左侧，那么 m<0, BD= m.2 2 4 ：m ： m= m3 3'1 解得1 = 0(舍去)，m= 2(舍去).(ii) 假设点P在y轴右侧，那么 m>Q BD= m.2 2 4 3m 30= m解得3 = 0(舍去)，m>=2 24 当点P在直线BD下方时，m>0, BD= m, PD= n2 + 3m. 2 2 4" p 人，1 m+ m= m 解得 5= 0(舍去),m = .3 327171综上所述，m= 或勺即当 BDP为等腰直角三角形时，PD的长为-或.

14、(3)P 1( .5, 4 3+ 4),),珂石,25提示：I/ PBP =Z OAC OA= 3, OC= 4,AC= 5, sin / PBP =4,cos / PBP =535.当点P'落在x轴上时，过点D'作D N±x轴，垂足为点 N,交 BD于点 M / DBD =/ ND P'/ PBP .如解图,/ ND MD =2,例2题解图例2题解图刖3 2 244即 53 3m 5m=2 ； m= .'5舍去或 m='5;如解图,当点P'落在y轴上时，如解图，过点D'作D Ml x轴，交BD于点M过点P作P N丄y轴，交MD

15、的延长线于点 N,例2题解图/ DBD =z nd p,=z pbp/ P' N= BM4 2 2即 5(3m433m)= 5m252511m= T， P(E，32)-.针对训练(3B(5 , 0)两点，直线 y=；x + 34P作PF丄x轴于点F,交直线1. (2022河南)如图，抛物线 y= x2+ bx+ c与x轴交于点A( 1, 0),与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点 CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；假设PE= 5EF,求m的值；y轴上？假设存在，请直接写出(3) 假设点E'是点E关于直线PC的对称点，是否存在

16、点 P,使点E'落在相应的点P的坐标；假设不存在，请说明理由.2. 2022 -洛阳一模如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = ax2 + bx 2a丰0与x轴交于A1 ,0，B3，0两点，与y轴交于点C,其顶点为点D,点E的坐标为0， 1，该抛物线与BE交于另一点F,连接BC.BM设运动时P的坐标;1求该抛物线的解析式；一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与 y轴平行的方向向上运动，连接0M间为t秒t > 0，在点M的运动过程中，当t为何值时，/ 0M&90°?3在x轴上方的抛物线上，是否存在点P,使得/ PBF被BA平分？假设存在，请直接写出点假设不存

17、在，请说明理由.2 13. (2022 -新野一模)抛物线y= ax2+ bx+ 2经过A( 1, 0) , B(2 , 0), C三点.直线 y = m灶交抛物线于A, Q两点，点P是抛物线上直线 AQ上方的一个动点，作 PF丄x轴，垂足为F,交AQ于点N.(1)求抛物线的解析式； 如图，当点 P运动到什么位置时，线段PN= 2NF,求出此时点P的坐标；如图，线段 AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,点M为抛物线的顶点，在直线 DE上是否存在 一点6,使厶CMG勺周长最小？假设存在，请求出点G的坐标；假设不存在，请说明理由.图4.如图，抛物线 y= ax2+ bx + 3(a丰0)与x轴

18、交于点A( 1, 0) , B(3 , 0)，与y轴交于点(1)求抛物线的表达式；抛物线上是否存在点 M,使得 MBC的面积与厶OBC的面积相等，假设存在，请直接写出点 假设不存在，请说明理由；(3)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BD在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,/ DBC如果存在，请求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由.C,连接BC.M的坐标;满足/ PBC=备用图类型三特殊图形判定问题 2m (2022 河南)如图，抛物线y= ax + 6x + c交x轴于A, B两点，交y轴于点C,直线y = x 5经过 点 B, C.(1) 求抛物线的解析式；过点A的直线交直线

19、BC于点M. 当AML BC时，过抛物线上一动点 P(不与点B, C重合)，作直线AM的平行线交直线 BC于点Q.假设以点A, M, P, Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； 连接AC当直线AM与直线BC的夹角等于/ ACB的2倍时，请直接写出点 M的坐标.备用图【分析】(1)利用一次函数解析式确定 C(0, 5) , B(5 , 0)，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2) 先解方程一x2+ 6x 5= 0得A(1 , 0)，再判断厶OCB为等腰直角三角形得到/ OBC=Z OCB= 45°,那么 AMB为等腰直角三角形，所以AM= 2 2 ,接着根据平行四边形的性

20、质得到PQ= AM= 2 , 2 , PQLBQ作PDLx轴交直线BC于 D,如解图，利用/ PDQ= 45°得到 PD= 2PQ= 4.设P(m,卅+ 6m 5),那么D(m, m 5),讨论：当 P点在直线 BC上方时，PD=吊+ 6m- 5 (m 5) = 4 ;当P点在直线 BC下方时，PD= m 5- ( mi + 6m- 5),然后分别解方程即可得到P点的横坐标；作ANLBC于N, NHLx轴于H,作AC的垂直平分线交 BC于M,交AC于 E,如解图，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到/AMB= 2/ACB再确定 N(3 , 2) , AC的解析式为y = 5x 5

21、 , E点坐标为(2, 5),利用两直线垂直的问题可设直线EM的解析式为y= 1x + b,把E(1 ,弓代入求出b得到直1 12线EM的解析式为y=，那么解方程组55y= x 5 ,112得M点的坐标；在直线5xE ,BC上作点M关于N点的对称点M ,如解图，利用对称性得到/ AM 2C=Z AMB= 2/ACB设M(x , x 5),根据中点坐标公式得13 6到3= ，然后求出x即可得到点 M的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标.【自主解答】解：当 x = 0 时，y = x 5=- 5;当 y = x 5= 0 时，x= 5 B(5, 0) , C(0, 5) 025a + 30 + c

22、,a 1,将B, C两点的坐标代入y = ax + 6x + c中，得解得c = 5,c= 5,抛物线的解析式为 y = x2+ 6x 5.2 解方程一x + 6x 5= 0 得 xi= 1, X2= 5,贝y A(1 , 0), B(5, 0) , C(0， 5), OCB为等腰直角三角形，/ OB(=Z OC= 45°./ AML BC AMB为等腰直角三角形，以点A , M, P, Q为顶点的四边形是平行四边形，AM/ PQPQ= AM= 2 2 , PQL BC作PDLx轴交直线BC于D,如解图，那么/ PDQ= 45° , PD= 2PQ= 4,设 P(m , m

23、f+ 6m- 5),贝U D(m, m 5).当P点在直线BC上方时，PD= nf+ 6m 5 (m 5) = m + 5m= 4,解得 m= 1, m>= 4.当P点在直线BC下方时；225 + 苗5 PD= m 5 ( m + 6m- 5) = m 5m= 4, 解得 m = 2- , m = 2.综上所述, P点的横坐标为 4或52' 41或-_2-. 作ANL BC于N, NHLx轴于H,作AC的垂直平分线交 BC于 M ,交AC于E ,如解图./M1A= M1C,/ ACM1=Z CAM,/ AMB= 2/ACB. ANB为等腰直角三角形,AH BH= NH= 2, -

24、N(3 , 2),易得AC的解析式为y= 5x 5, E点坐标为(2, 5),1设直线EM的解析式为y = - 1x + b,151512把E(2,)代入，得10+ b = 2，解得b =,.直线EM的解析式为y =，解方程组5121 12 y 一 5xT，13x =,6心 1317仃，那么M(百，y)；y 一 ?，作直线BC上作点M关于N点的对称点如解图，那么/ AM2C= 2/ACBM设 M(x , x 5),13石+ x 3= 丁，23.x= 6，图例3题解图一 2 11. (2022 -河南)如图，抛物线y = x + bx + c与直线y = ?x+ 2交于C, D两点，其中点 C在

25、y轴上，点D的坐标为(3 , 7)，点p是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PELx轴于点E,交CD于点F.(1) 求抛物线的解析式； 假设点P的横坐标为m,当m为何值时，以O, C, P, F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由;假设存在点P,使/ PCF= 45°,请直接写出相应的点P的坐标.2. (2022 河南名校模拟)如图，二次函数 y = x2 + bx + c的图象经过 A( 1, 0)和B(3 , 0)两点，且交 y 轴于点C, M为抛物线的顶点.(1) 求这个二次函数的表达式；(2) 假设将该二次函数图象向上平移m(m> 0)个单位，使平移后得到的二次函数图

26、象的顶点落在厶BOC的内部(不包含边界)，求m的取值范围；(3) 点P是抛物线上一动点，PQ/ BC交x轴于点Q当以点B, C, P, Q为顶点的四边形是平行四边形时， 求点P的坐标.3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = ax2 + bx + c与x轴交于A( 1, 0)、B两点，其顶点为(1 ,-4)，直线y = x 2与x轴交于点D,与y轴交于点C,点P是x轴下方的抛物线上一动点，过 P点作PF丄x 轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；假设PE= 3EF,求m的值;(3) 连接PC,是否存在点 巳使厶PCE是以PE为底边的等腰三角形？假设存在，请

27、直接写出m的值；假设不存在，请说明理由.参考答案类型一针对训练A,1解：边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点 C(0, 8)，A( 8, 0),设抛物线的解析式为：y = ax2 + c,1c = 8,a=石，那么解得：864a + c = 0, c= 8,1 2故抛物线的解析式为：y = 8x + 8.正确，1 2理由：设 P(a, 8a + 8)，贝U F(a , 8), PF= 8 -訐+ 8=評,8*2+ 22=討+ 2. PD- PF= 2; 在点P运动时，DE大小不变，那么 PE与PD的和最小时， PDE的周长最小,/ PD- PF= 2 , PD=

28、 PF+ 2, PE+ PD= PE+ PF+ 2,C7rV第1题解图如解图，当 P、E、F三点共线时，PE+ PF最小,此时点P, E的横坐标都为一4,1 2将 x = 4 代入 y = + 8,得 y = 6,8 P( 4, 6)，此时 PDE的周长最小，且 PDE的面积为12,点P恰为“好点, PDE的周长最小时“好点的坐标为 (一4, 6)由(2)得：P(a , 1a2+ 8),点D、E的坐标分别为(0, 6) , ( 4, 0),第1题解图如解图，当一4W av 0时，1 1 2 1 1Spde= Spe卄 Spod Sdoe= 2 4X ( + 8) + 2 6x ( a) x 4

29、X61 2 1 2 =4a 3a+ 4= 4(a + b) + 13, I 4V SapdeW 12.当 a = 0 时，Sapde= 4;第1题解图 如解图，过点 P作PNLx轴于点N,当一8 v av 4 时，SPDE= S 梯形 PNOD SPNE一 SDOEx 1 = 4a2 3a + 4 =寸(a + b)2+ 13,1 2 1 1 1 2 (+ 8+6) x ( a) x ? ?x 4X 6 ( a 4) x ( + 8)12v SapdeC 13； 当 a = 8 时，Sapde= 12 , PDE的面积可以等于4到13的所有整数，在面积为12时，a的值有两个,11个之内，“好点

30、共有 11 个.面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这综上所述，共有11个，“好点，P( 4, 6).22解：(1)由y= x + 4x 3可得点A的坐标为(2 , 1), n = a2 mi- h + k,可列方程组、2k = ai h m + n,整理，得(ai + a2)(m h)2= 0.“伴随抛物线的顶点不重合，im h ,a i = a2.h,那么其纵坐标抛物线Li： y = mX 2mx- 3m的顶点坐标为(1 , 4m),设抛物线L2的顶点的横坐标为为 mh 2mh- 3m,抛物线 L2的表达式为 y= m(x h) + mh 2mh 3m,2化简，得 y= m

31、x + 2mhx- 2mh- 3m,点 D 的坐标为(0 , 2mh- 3m),又点C的坐标为(0 , 3m), 1( 2mh- 3m) ( 3m)| = 4m,解得 h=± 2 ,抛物线L2的对称轴为直线x=± 2.23. (1)解：设抛物线的解析式为 y = a(x 2).一 1将点B的坐标代入得4a = 1，解得a= 4.1 2 1 2抛物线的解析式为y=4(x 2)，即y=4x x +1 证明：设点P的坐标为(m , 1(m 2)2), PM= 4(m 2)2 , M(m 0).依据两点间的距离公式可知PF=1m- 22+ , m- 22 12=416吩 2m- 2

32、2+ 1 m 2+ 1 m-22+ 1 =、/#m 22+ 12=；(m 2)2+ 1 , PF PM= 1.对于任意点P, PF与PM的差为常数. 解：设直线CF的解析式为y= kx + 3,将点F的坐标代入，得 2k+ 3= 1,解得k= 1 ,直线CF的解析式为y= x+ 3.由两点间的距离公式可知CF= 2 2.a= 1, 2a= 2.1 m- 22+ 1 =1设在 PCF中，边CF的上的高线长为x,那么2X2''2x = 2,解得x= :2如解图，过点 C作CGL CF,取CG= '2.那么点G的坐标为一1, 2.过点G作GH/ FC设直线GH的解析式为y =

33、 x + b,将点G的坐标代入，得1 + b = 2,解得b= 1, 直线GH的解析式为y= x+ 1,12令一x + 1 = 4x 2，解得 x = 0, PCF的一个巧点的坐标为0, 1.显然，直线 GH在 CF的另一侧时，直线 GH与抛物线有两个交点. F, C为定点， CF的长度不变，当PC+ PF最小时， PCF的周长最小.PF PM= 1 ,PO PF= PC+ PW 1 ,当C、P、M在一条直线上时， PCF的周长最小.此时 P0 , 1.综上所述， PCF的巧点有3个， PCF的周长最小时，“巧点的坐标为0 , 1.34. 解：1 T直线 I : y= 4X + m经过点 B0

34、， 1,-m= 1,直线I的解析式为y = 3x 1.3直线I : y = 4X 1经过点C,且点C的横坐标为4,3 y= X 4 1 = 2.y 4抛物线 y= 2x2 + bx + c 经过点 C(4, 2)和点 B(0， 1),2 X42+ 4b+ c = 2b=2，解得c= 1c= 11 25抛物线的解析式为 y = 2x 1；34 令y= 0,那么4X 1= 0,解得x= 3,一 4点A的坐标为(3, 0),二 OA=在 Rt OAB中，OB= 1 , AB=：oA+ oB=；2 + i2= 3.DE/y 轴,/ ABO=Z DEFOB 3在矩形 DFEG中, EF= DE cos/

35、 DE= DE丽=5DE DF= DE sin / DE= DEOA 4AB= 5dE4 314 I = 2(DF+ EF) = 2( 5+ 5)DE= 5DE.点D的横坐标为t(0 V t V 4),1 2 53 D(t , 2t t 1) , E(t , 4t 1),31 2 51 2 DE= (4! 1)(孑4t 1) = 2t + 2t,l = 3 (扩+ 2t)28+ P7228 口 7j =-5 2)+ 了 ,且5<0 ,当t =2时,281有最大值-.(3) “落点的个数为 4 ,如解图，解图，解图，解图所示.图/7 .图>1如解图，设点 A的横坐标为m那么点O的横坐

36、标为m+ 41 2 514 254 qm 4m- 1= 2(m+ 3) -4(m + 3) - 1,解得m= 12,A1的纵坐标大1 ,一一4一如解图，设点 A1的横坐标为m那么点B1的横坐标为- , B的纵坐标比点31 2 514 2544 2m 4m 1+ 1 = 2(m+ 3) 4(m+ 3) 1，解得 m= 3,一 74旋转180°时点A的横坐标为12或3.类型二针对训练1.解：(1)将点A, B的坐标代入抛物线解析式，得：1 b+ c= 0,b = 4,解得25+ 5b + c= 0,c = 5,抛物线的解析式为 y = x2+ 4x + 5,/点P的横坐标为m23 P(m

37、, m+ 4m+ 5), E(m,-m+ 3) , F(m , 0),423219 PE= |y pyE| = |( m+ 4m+ 5) ( m+ 3)| = |m +"4+ 2| ,3 3EF= |y e yF| = |( 40+ 3) 0| = | 严 3| ,19315由题意，得 PE= 5EF,即 | m + 2| = 5| 3| = | 15|.13解得 mi= 2或 mi=;2 19152假设m+ mi+ 2 = ( 4 15)，整理，得 m mi- 17 = 0,解得m=廿异或m=匕尹9由题意，得m的取值范围为1v m< 5，故m=券, m=匕牙69这两个解不符合

38、题意,/ m= 2 或 m=1+ 692(3)假设存在.作出示意图如解图：点 E、E'关于直线PC对称,/ 1 = 7 2, CE= CE , PE= PE . PE平行于 y 轴，/ 1 = 7 3,7 2=7 3,. PE= CE, PE= CE= PE' = CE，即四边形 PECE是菱形.当四边形PECE是菱形存在时， 由直线CD的解析式y= |x + 3,可得0D= 4, OC= 3，由勾股定理，得 CD= 5,过点E作EM/x轴，交y轴于点M,易得 CEMh CDQ MD CD 即 m=CE5百，解得ce=4冋， PE= CE= 4|m|，又由(2)可知：PE= |

39、 mi + 罟口+ 2| ,I m+ 乎 m+ 2| = 4|m|.219521假设m + m+ 2 = 4m,整理，得 2m 7m 4= 0,解得 m= 4 或 m=-;195 假设一m+ m+ 2 = 4m,整理，得 m 6m- 2 = 0,解得 m= 3+ , 11, m= 3 11.由题意，得 m的取值范围为1v m< 5，故m= 3+ , 11这个解舍去，当四边形PECE是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0, E, C, E'三点重合于y轴上，也符合题意，- P(0, 5).1 11综上所述，存在满足条件的点P,可求得点P的坐标为(0 , 5)或(？或匸)或(4

40、, 5)或(3 11, 2.11 第1题解图22 .解：(1) T 抛物线 y = ax + bx 2(a 丰 0)与 x 轴交于 A(1 , 0) , B(3 , 0)两点,a + b 2= 0,9a+ 3b 2 = 0,解得2a= 3,2 2 8抛物线的解析式为 y = 3X + §x 2;2 2822 2(2)如解图，由(1)知y = 3X2 +3X 2 = 3(x 2)2+ 3；3333TD为抛物线的顶点，2二 d(2, 3).一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行与 y轴平行的方向向上运动,2设 M(2, m)(m> 3),.oM= m+ 4, bM= m+

41、1, 0百=9./ OM=90°, oM+ bM= oB,2,2小 m + 4+ m+ 1= 9,解得m=或m=、2(舍去)， M(2,、: 2), MD= '2 3.图图第2题解图 存在点P,使得/ PBF被BA平分，如解图，/ PBO=Z EBO- E(0, - 1),在y轴上取一点 N(0, 1).- B(3, 0),1直线BN的解析式为y= 3X + 1.2 2 8点P在抛物线y = 3X + §x 2上,1y = 3X+ 1,联立，得2 28y 一 3X+ 3X 2，解得3x=-，或1尸2X = 3 y = 0 p2，2.3.解：(1) T 抛物线 y =

42、 ax2+ bx+ 2 经过 A( 1, 0) , B(2, 0),将点A和点B的坐标代入，得a b + 2= 0, 4a+ 2b+ 2= 0,解得a = 1,b = 1,抛物线的解析式为 y = x2+ x + 2.1 1 直线y= mx+ -交抛物线与A, Q两点，把A( 1, 0)代入解析式，得 m=-,1 1直线AQ的解析式为y= ?x +一 2 1 1设点 P 的横坐标为 n,那么 P(n , n+n + 2) , N(n ,尹+ ) , F(n , 0),21121311PN= n + n + 2 (2口+ 2)= n + ? + ? , NF= ?+ ?/ PN= 2NF, n2

43、+ h+ 3= 2X(1 n +1),解得 n= 1 或12 2 2 2 2当n = 1时，点P与点A重合，不符合题意舍去. 点P的坐标为& 4).(3) y= x2+ x + 2, = (x 2)2+ 4, m(2 , 9).如解图所示，连接 AM交直线DE与点G,连接 CG CM此时， CMG的周长最小.设直线AM的函数解析式为y = kx + b，且过 A( 1, 0) , M(2 9),k + b = 0,根据题意，得192k+ b=4,解得直线AM的函数解析式为3k= 2，3b= 2.32.D为AC的中点, D( 2, 1).设直线AC的解析式为y= kx + 2,将点A的坐

44、标代入，得一k + 2 = 0,解得k= 2,直线AC的解析式为y= 2x+ 2.设直线DE的解析式为1 一y=+ c,将点D的坐标代入，得14 + c =1,解得3c=4,直线DE的解析式为13y= 2x + 4.15133332x+4与 y=?x+ 2联立，解得 x= 8 y=16,315在直线 DE上存在一点 6使厶CMG的周长最小，此时 G( 8 ).24 .解：(1) T抛物线 y = ax + bx+ 3(a丰0)与x轴交于点 A( 1, 0),B(3 ,0),a b + 3= 0,9a+ 3b+ 3= 0,解得a= 1,抛物线的表达式为 y = x2 + 2x + 3;存在.抛物

45、线的表达式为 y = x2 + 2x + 3,点C的坐标为(0 , 3),C(0, 3) , B(3 , 0),直线BC的解析式为y= x+ 3,过点0与BC平行的直线y = x，与抛物线的交点即为M,y = x,解方程组y= x2 + 2x + 3,3+ 0x =2,可得3 , 21 x=2,y=42!y=4!M1(宁3 21),M(3 212，3 + 21存在.如解图，设BP交y轴于点G.点D(2 , m)在第一象限的抛物线上，2.当 x = 2 时，m= 2 + 2X 2+ 3 = 3,点D的坐标为(2 , 3),2把 x = 0 代入 y = x + 2x + 3,得 y = 3,点C

46、的坐标为(0 , 3), CD/x 轴，CD= 2,点 B(3 , 0), 0B= 0C= 3, / OB(=Z 0C= 45 / DCB=Z OB(=Z 0C= 45° 又/ PBC=Z DBC BC= BC CGB2A CDB(ASA) CG= CD= 2. 0G= 0C- CG= 1,点G的坐标为(0,1),设直线BP的解析式为y= kx + 1,将 B(3 , 0)代入，得 3k + 1 = 0,1解得k = -3，1直线BP的解析式为y=+ 1,人12令一-x + 1 = x + 2x+ 3,32解得 X1= 3, X2= 3,点P是抛物线对称轴 x = = 1左侧的一点，

47、即 xV 1 ,2a2 x= 3，2 2把x =-代入抛物线y= x + 2x + 3中，311解得y = 丁，2 11当点P的坐标为(一3，-)时，满足/ PB(=Z DBC.类型三针对训练11 解：(1)在直线解析式y= §x+ 2中，令x = 0，得y = 2, C(0, 2) 72/点 C(0 , 2) , D(3, 2)在抛物线 y = x + bx + c 上,c = 2,79+ 3b + c =,7b= 2 ,解得 2c= 2,2 7抛物线的解析式为 y = x + 2x+ 2./ PF/ 0C且以 O C, P, F为顶点的四边形是平行四边形，PF= OC= 2,1.

48、将直线y= £X+ 2沿y轴上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点即为所求,由解图可以直观地看出，这样的交点有3个，1 1将直线y = 2乂+ 2沿y轴向上平移2个单位，得到直线 y= -x + 4,1y= x + 4,联立解得X1= 1 , X2 = 2;2 7y= x + 2X + 2,1 1将直线y = *+ 2沿y轴向下平行移2个单位，得到直线 y = *,1y= 2X，y=- x2.2x + 2,联立解得 X3= 2 17, X4 = 3_不舍题意，舍去 ,3+0m3= 2 ,当m的值为1或2或3十2仃时，以Q C, P, F为顶点的四边形是平行四边形.存在.一271理由：设点 P的横坐标为 m,贝U P(m, m + 2m+ 2), F(m, m+ 2)如解图所示，过点 C作CML PE于点M贝y CMk m, Eg 2,1 FM= y f EM= m, / tan / CFM= 2,在Rt CFM中，由勾股定理，得 CF=-25m过点P作PNL CD于点N,贝U PNh FN tan / PFNh FN tan / CFW 2FN.PCF= 45°, PNh CN,而 PNh 2FN, FN= CF=-25m PNh