数字信号处理作业

1、2-13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采样频率fs=400 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号和时域离散信号x(n)， 试完成下面各题： （1） 写出的傅里叶变换表示式Xa(j)； （2） 写出和x(n)的表达式； （3） 分别求出的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解解： (1)(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00)()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0m

2、s 5 . 21 rad 2002s00fTf（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksaakkTkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn式中0=0T=0.5 rad2-16 已知112122113)(zzzX求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解解： X(z)有两个极点： z1=0.5, z2=2， 因为收敛域总是以极点为界， 因此收敛域有三种情况： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三种收敛域对应三种不同的原序列。 1( )3 (

3、)2 2 (1)2nnx nun= - + - -(2)收敛域0.5|z|2:（1）收敛域|z|0.5：) 1(22)()21(3)(nununxnn（3）收敛域|z|2: )(22213)( nunxnn3-13 已知序列x(n)=anu(n)， 0a1, 对x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔采样N点， 采样序列为j2 /e( )( )|0,1,1k NzX kX zkN求有限长序列IDFTX(k)N。 解解:)()()(IDFT)(nRnxkXnxNNlNnRlNnx)()(lNlNnnRlNnua)()(由于0nN1， 所以000 0 1)(lllNnlNnu即因此0( )( )(

4、 )1nnlNNNNNlaxnaaRnRna3-14 两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为x(n)=0 n0, 8ny(n)=0 n0, 20n对每个序列作20点DFT， 即X(k)=DFTx(n) k=0, 1, , 19Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , 19试问在哪些点上f(n)与x(n)*y(n)值相等, 为什么？解解: 设 fl(n)=x(n)*y(n)，而f(n)=IDFTF(k)=x(n) 20 y(n)。 fl(n)长度为27， f(n)长度为20。 由教材中式（3.4.3）知道f(n)与fl(n)的关系为mlnRmnfnf)()20()(20只有在如上周期延

5、拓序列中无混叠的点上， 才满足f(n)=fl(n),所以 f(n)=fl(n)=x(n)*y(n) 7n193-18 用微处理机对实数序列作谱分析， 要求谱分辨率F50 Hz， 信号最高频率为 1 kHz， 试确定以下各参数： (1) 最小记录时间Tp min； (2) 最大取样间隔Tmax； (3) 最少采样点数Nmin； (4) 在频带宽度不变的情况下， 使频率分辨率提高1倍（即F缩小一半）的N值。 解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而s02. 05011minpFT（2）ms5 . 010212113maxminsmaxffT（3）pminmin3max0.02s400.5 10T

6、NT（4） 频带宽度不变就意味着采样间隔T不变， 应该使记录时间扩大1倍， 即为0.04 s， 实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）。80ms0.5s04. 0minN3-19 已知调幅信号的载波频率fc=1 kHz， 调制信号频率fm=100 Hz， 用FFT对其进行谱分析， 试求： (1) 最小记录时间Tp min; (2) 最低采样频率fs min; (3) 最少采样点数Nmin。解解： 调制信号为单一频率正弦波时， 已调AM信号为x(t)=cos(2fct+jc)1+cos(2fmt+jm)所以， 已调AM信号x(t) 只有3个频率： fc、 fc+fm、 fcfm。 x(t)

7、的最高频率fmax=1.1 kHz， 频率分辨率F100 Hz（对本题所给单频AM调制信号应满足100/F=整数， 以便能采样到这三个频率成分）。 故ms10s01. 010011minpFT(1)(2)sminmax22.2 kHzFf(3)22102 . 2101033minpmaxpminfTTTN5-1. 已知系统用下面差分方程描述:) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。 解解： 将原式移项得) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny将上式进行

8、Z变换， 得到121)(31)()(81)(43)(zzXzXzzYzzYzY21181431311)(zzzzH (1) 按照系统函数H(z)， 根据Masson公式， 画出直接型结构如题1解图（一）所示。题1解图（一）(2) 将H(z)的分母进行因式分解： )411)(211 (31181431311)(111211zzzzzzzH按照上式可以有两种级联型结构: 1114111 211311)(zzzzH画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。 111411311 2111)(zzzzH画出级联型结构如题1解图（二）（b)所示。 题1解图（二）(3) 将H(z)进行部分分式展开： )41

9、1)(211 (311)(111zzzzH4121)41)(21(31)(zBzAzzzzzH310)21()41)(21(3121zzzzzA37)41()41)(21(3141zzzzzB413721310)(zzzzH11411372113104137)21(310)(zzzzzzzH根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。题1解图（三）5-6 题6图中画出了10种不同的流图， 试分别写出它们的系统函数及差分方程。解解： 图(c) H(z)=a+bz1+cz2( )( )(1)(2)y nax nbx ncx n图（i） 13221122110111)(zazazazbzbbzH13

10、13223012( )() (1)() (2)(3)( )(1)(2)y naay na aay na a y nb x nb x nb x n6-5 已知模拟滤波器的系统函数如下： a21( )1Hsss (1)(2)a21( )231Hsss试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。 设T=2 s。 解解: . 用脉冲响应不变法(1)a21( )1Hsss Ha(s)的极点为121313j,j2222ss a1313jj22221133jj33( )1313jj232233jj33( )1 e1 eTTHsssH zzz 将T=2代入上式， 得1 j 311 j 311111

11、2233jj33( )1 e1 e2 3e sin331 2ecos 3eH zzzzzz 21112112111( )|1 e1 e111 e1 eTTTH zzzzz或通分合并两项得12112132(ee )( )1 (ee )ezH zzz(2)a2111( )123112Hsssss 用双线性变换法（1） 11a22111,21111 21 2111 21221( )( )|11111(1) (1)(1)(1)(1)12 3zsTTzH zHszzzzzzzzzzzz(2)11a21111111 21 221 21211( )( )|1123111(1)2(1)3(1)(1) 12 6

12、2zszH zHszzzzzzzzzzz7-8 题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列， N=8， 设 H1(k)=DFTh1(n) k=0， 1， ， N1 H2(k)=DFTh2(n) k=0， 1， ， N 1 （1） 试确定H1(k)与 H2(k)的具体关系式。 | H1(k)|=| H2(k)|是否成立？为什么？（2） 用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？题8图解解： （1） 由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系： h2(n)=h1(n+4)8R8(n)由DFT的循环移位性质可得)() 1()(e)()(11j1482kHk

13、HkHWkHkkk| )(| )(| )(|11482kHkHWkHk(2) 由题8图可知， h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件： h1(n)=h1(N1n)h2(n)=h2(N1n)所以， 用h1(n)和h2(n)构成的低通滤波器具有线性相位。 直接计算FTh1(n)和h2(n)也可以得到同样的结论。 设 )(jg11j11e )()(FT)e (HnhH27) 1(21)()(21N)(jg22j22e )()(FT)e (HnhH所以， 群延时为27d)(d1127-13. 用窗函数法设计一个线性相位低通FIRDF， 要求通带截止频率为/4 rad， 过渡带宽度为8/51 rad，

14、 阻带最小衰减为45 dB。 （1） 选择合适的窗函数及其长度， 求出h(n)的表达式。 （2*） 用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。 解： （1） 根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。 根据对阻带衰减及过渡带的指标要求， 选择窗函数的类型， 并估计窗口长度N。 查表可知， 本题应选择哈明窗。 因为过渡带宽度Bt=8/51， 所以窗口长度N为N6.6/Bt=42.075， 取N=43。 窗函数表达式为)(12cos46. 054. 0)(HmnRNnnN 构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej):jj(1)/2ddg(e)( )eNHHjcce0 0 式中tcp1421, 0.08

15、332251BN 求hd(n):jjjjddc11( )(e)edeed22sin() ()ccnnh nHnn 加窗:cdsin()2( )( ) ( )0.540.46cos( )()1Nnnh nh n w nRnnN题13解图7-14. 要求用数字低通滤波器对模拟信号进行滤波， 要求： 通带截止频率为10 kHz， 阻带截止频率为22 kHz， 阻带最小衰减为75 dB， 采样频率为Fs=50 kHz。 用窗函数法设计数字低通滤波器。 （1） 选择合适的窗函数及其长度， 求出h(n)的表达式。 （2*） 用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。 解解： （1） 根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。 根据对阻带衰减及过渡带的指标要求， 选择窗函数的类型， 并估计窗口长度N。 本题要求设计的FIRDF指标： 通带截止频率： ps210 00022 rad50 0005pfFss222 000222rad50 00025sfF阻带截止频率： 阻带最小衰减： s=75 dB16rad225spcwwpw+=3 dB通带