线性代数 线代复习

1、编辑ppt1矩阵矩阵1. 矩阵的定义矩阵的定义一些特殊的矩阵：一些特殊的矩阵：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵对角阵、数量阵、单位阵编辑ppt22. 矩阵的基本运算矩阵的基本运算矩阵相等矩阵相等: :同型矩阵：同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：乘法满足乘法满足);()(BCACAB );(),()()(为数为数其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACAB

2、CBA 矩阵乘法不满足：交换律、消去律矩阵乘法不满足：交换律、消去律编辑ppt3 A是是n 阶方阵，阶方阵， 个个kkAAAA 方阵的幂：方阵的幂：方阵的多项式：方阵的多项式：0111)(axaxaxaxfkkkk 0111)(aAaAaAaAfkkkk Emkm kA AA kmmkAA 并且并且（m,k为正整数）为正整数）方阵的行列式：方阵的行列式：三种基本计算方法三种基本计算方法满足满足: : ;1AAT ;2AAn BAAB 3编辑ppt410220310020130120210310212123211)11D，求设BAAAAA,2,)232133解解312132,AAAA132cc

3、B21cc 3213,AAA.63A3122132,AAAAAB其中nnDn121) 3 !112112) 1(1nnnnnn编辑ppt5转置矩阵转置矩阵: :一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵: 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . . AAA满足：满足： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：AAA ATTAA 是是反反对对称称矩矩阵阵是是对对称称矩矩阵阵编辑ppt6伴随矩阵：伴随矩阵： nnnnnnAAAAAAAAAA2122212

4、12111.EAAAAA |,.|AAA AAAA110| |.nAA1,()1,0,nr A 若若();r An 若若( )1;r An若若( )1.r An 编辑ppt73. 逆矩阵逆矩阵定义：定义：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得ABBAE 则称矩阵则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A的逆矩阵。的逆矩阵。唯一性：唯一性： 若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可逆可逆0A 11AAA 且且推论：推论：设设A、B为同阶方

5、阵，若为同阶方阵，若,ABE 则则A、B都可逆，且都可逆，且11ABBA ，编辑ppt8111111111, (0)()(), ()()TTAAAAAAAA 满足规律：满足规律：逆矩阵求法：逆矩阵求法： （1）伴随矩阵法）伴随矩阵法（2）推论法）推论法（3）初等变换法）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4. 分块矩阵分块矩阵编辑ppt95. 5. 初等变换初等变换对换变换、倍乘变换、倍加变换对换变换、倍乘变换、倍加变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换矩阵的

6、等价：矩阵的等价：如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩阵B等价。记作等价。记作AB初等矩阵：初等矩阵： 由单位矩阵由单位矩阵E E经过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵. . 与矩阵的相似、合同相互比较与矩阵的相似、合同相互比较定理：定理：左乘变行，右乘变列左乘变行，右乘变列编辑ppt10AXB 解矩阵方程的初等变换法解矩阵方程的初等变换法(A、B可逆可逆)(BA)(1BAE 初初等等行行变变换换BAX1 矩阵方程矩阵方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 编辑

7、ppt11、秩（、秩（A）：）：A的不等于的不等于0的子式的最高阶数。的子式的最高阶数。、秩的基本关系式：、秩的基本关系式：BAABAAAAnmATnm秩秩秩秩秩秩秩,min3002;,min1、关于秩的重要结论：、关于秩的重要结论： PAQAQPAAnmAnmQP秩秩秩秩则矩阵是阶可逆矩阵，阶、分别是、设矩阵的秩；矩阵的初等变换不改变216、矩阵的秩编辑ppt12、秩的求法：、秩的求法：1）初等变法：）初等变法：TA阶梯形2）若）若P可逆，则可逆，则 AAP秩秩 003AnAAAnAnA秩可逆阶方阵，则秩是设4 ),m nn pAB当当 时，时，0AB ( )( )r Ar Bn0( )(

8、)0Arr Ar BB5 )6) ()()()r ABr Ar B 3) A有有r阶子式不为阶子式不为0所有所有r+1阶子式全为阶子式全为0 ()r Ar 编辑ppt13例题例题2 2 设设 A、B 都是都是 n 阶方阵，则阶方阵，则 2222)(BABABAa e成立时当,BAAB ABBAn1阶的时候成立是当1A成立时当,BAAB BAABBAAB ABBAb 1:, 1AthenAIfc )(22BABABAd BAABe编辑ppt14, 1, 23,. 3BABA阶方阵，如果都是设 计算*2 BAABABAAAA计算设,3321321解解 1*352A 3221,3ABAABA3221

9、,4ABAA12124,4321321ABAAAA *1,41AA计算 114141AA413A*13,128141AA编辑ppt15 BARBAAR求，若此时求、例,011101110876565434321,4000064204321A可逆，B 2ARBAR解：解：R(A)=2编辑ppt1641312114321 TA例例5,4 , 3 , 2 , 1 ,41,31,21, 1 , TA ,TBNnARABAnn),(,求解解13424431233213212413121143214131211TB 4.4)()(11AAnTnTn1)(nAR编辑ppt17一一. 向量组的线性相关性向量组

10、的线性相关性1. 向量间的线性运算：加法、数乘。向量间的线性运算：加法、数乘。2. 线性组合、线性表示线性组合、线性表示(1) 判断向量判断向量 可由向量组可由向量组 线性表示的常用方法线性表示的常用方法 12,m 方法方法1：向量组的线性相关性向量组的线性相关性,21nmR设向量组.,21线性表示可由则称向量m使使如如果果存存在在,21Rkkkm mmkkk2211是否非零无要求是否非零无要求 关键：存在某组关键：存在某组 使上式成立，使上式成立，mkkk,21编辑ppt18(2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论在判断或证明中，常用到的两个重要结论结论结论1： 向量向量 可由向量组可由

11、向量组 线性表示线性表示 12,m 1212(,)(,)mmrr 结论结论2： 若向量组若向量组12,m 线性无关，线性无关，而向量组而向量组12,m 线性相关，线性相关，则向量则向量 必能由向量组必能由向量组 线性表示，线性表示， 12,m 且表示式唯一。且表示式唯一。方法方法2：证下列非齐次线性方程组有解证下列非齐次线性方程组有解AX 即：即：利用矩阵的初等行变换利用矩阵的初等行变换12(,)m 行最简形矩阵行最简形矩阵编辑ppt193. 线性相关性的判别方法线性相关性的判别方法(1) 一般方法：设数一般方法：设数12,mk kk使得使得11220mmkkk 成立成立求系数是有非零解还是只

12、有零解的问题。求系数是有非零解还是只有零解的问题。(2) 利用向量组的秩判断：利用向量组的秩判断：设向量组设向量组12,m 的秩为的秩为r当当 时，时， 线性相关；线性相关；rm 12,m 当当 时，时， 线性无关。线性无关。rm 12,m (3) 利用常用结论：利用常用结论：1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。2个非零向量线性相关个非零向量线性相关对应分量成比例对应分量成比例编辑ppt204. 最大无关组的选取或证明最大无关组的选取或证明(1) 初等变换法（最常用）初等变换法（最常用）将列向量组写成矩阵将列向量组写成矩阵初等行变换初等行变换行阶梯

13、或行最简形矩阵行阶梯或行最简形矩阵的一个极大无关组，的一个极大无关组，例例6：求向量组求向量组12345(1, 1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1, 1,2,0),(2,1,5,6) 并把其余向量用该极大无关组线性表示。并把其余向量用该极大无关组线性表示。n1个个n维向量线性相关。维向量线性相关。部分相关部分相关 整体相关；整体无关整体相关；整体无关 部分无关。部分无关。短的无关，长的也无关；短的无关，长的也无关；长的相关，短的也相关。长的相关，短的也相关。编辑ppt21解：解：124, 是一个极大无关组是一个极大无关组并且并且31251243111考虑：还有那些极大

14、无关组？考虑：还有那些极大无关组？125134135, 初等行变换初等行变换10312103011301101101217250001142140600000A 编辑ppt22二二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法矩阵的秩、向量组的秩的求法初等变换后，看非零行的行数。初等变换后，看非零行的行数。三三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩、矩阵的秩的证明关于向量组的秩的两个重要定理：关于向量组的秩的两个重要定理：（1）若向量组）若向量组可以由向量组可以由向量组12,t 线性表示，则线性表示，则12,s 1212(,)(,)strr 12,s 那么那么 线性相关。线性相关。(3)(3)(三秩

15、相等三秩相等) ) 矩阵矩阵A的秩的秩A的行秩的行秩A的列秩。的列秩。（2）若向量组）若向量组 可以由向量组可以由向量组12,t 线性表示，并且线性表示，并且12,s , ts 编辑ppt23向量空间的概念：向量空间的概念： 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间由向量组生成的向量空间子空间的概念子空间的概念向量空间的基，维数和坐标；向量空间的基，维数和坐标；求向量空间基和维数的方法（生成子空间）；求向量空间基和维数的方法（生成子空间）； 求向量在给定基底下的坐标。求向量在给定基底下的坐标。四四. 向量空间向量空间编辑ppt24五五. 正

16、交化与正交矩阵正交化与正交矩阵1. 正交化、单位化正交化、单位化2. 正交矩阵正交矩阵ATA AE 1TAA A的的n个列（行）向量组为单位正交向量组个列（行）向量组为单位正交向量组1A TA也是正交矩阵也是正交矩阵是正交矩阵，则是正交矩阵，则 也是正交矩阵也是正交矩阵,A BAB 编辑ppt25定理1 设有非齐次线性方程组(1)0,XAnm 有解；则如果1,2ArAr 无解；则如果1,1ArAr 有惟一解；则有解时，如果1, nAr 有无穷多解；则如果1, nAr定理2 设有齐次线性方程组（2）0XAnm设r(A)=r,则 仅有零解；则如果2,1nr 必有非零解；则如果2,2nr 线性方程组

17、的解法与解的结构编辑ppt26定理1 设有齐次线性方程组（2）方程组的通解、基础解系0XAnm 必有非零解；方程组 21 则设, nrAr个解向量；基础解系中含rn2可构成基础解系。个线性无关的解向量均任意rn3 的通解为：则的基础解系是设2,2,421rnRkkkkkkXrnrnrn,212211编辑ppt27定理2 设有非齐次线性方程组（1）0,XAnm 则如果设,nrArArrAr必有无穷多解；方程组AX1的通解为：则的基础解系是设的一个特解是设AXAXAXrn,0,221RkkkkkkXrnrnrn,212211编辑ppt28例例7 7、的基础解系，是线性方程组设0,4321AX 的解

18、向量？是不是，014321AX 解解1）是；2） 1044332211xxxx设0144433322211txtxtxtx即0443332221141xtxxtxxtxtxx即是基础解系，因为4321,144433322211tttt，设 线性无关？，满足什么条件时，43212t 的基础解系？也是，满足什么条件时，034321AXt线性无关。故故4321,编辑ppt29043332221141xxtxxtxxtxtx即000043322141xxtxxtxxtxtx因为系数行列式3）是基础解系，个解向量因为43214由（2）即得条件是实数，所以因为t 线性无关，仅有零解，此时时当线性相关，有非

19、零解，此时时当41411, 0,11, 0,1DtDt线性无关，4321411111tttttD编辑ppt301 1、特征值的求法、特征值的求法个特征值的就是，的根nAEAn2102 2、特征向量的求法、特征向量的求法riiXEA, 0,1得基础解系解对特征值所对应的特征向量为i不全为零rrrkkkk,111特征值和特征向量特征值和特征向量3、对角化、对角化看清要求的是可逆矩阵还是正交矩阵。看清要求的是可逆矩阵还是正交矩阵。方阵方阵 与对角矩阵与对角矩阵 相似的条件相似的条件: :A充要条件充要条件: :充分条件充分条件: : 有有n 个个不同特征值不同特征值; ;或或 A为实对称矩阵为实对称

20、矩阵编辑ppt31填空题填空题已知三阶方阵已知三阶方阵的三个特征值为，则的三个特征值为，则| |A| |（ ），），的特征值为（的特征值为（ ），），的特征值为（的特征值为（ ），），的特征值为（的特征值为（ ）设设k=0，k是正整数，则是正整数，则的特征值为（的特征值为（ ） 若若，则，则的特征值为（的特征值为（ ） ，-1/2, 1/3，4, 1, 1600, 1编辑ppt324设设A是是3阶方阵，已知方阵阶方阵，已知方阵，都不可逆，则都不可逆，则的特征值为（的特征值为（ ）已知三阶矩阵已知三阶矩阵A的特征值为，的特征值为，则则（ ）。）。1, -1, 3-726E 、单单位位矩矩阵阵 的的特特征征值值，特特征征